MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fitop Unicode version

Theorem fitop 16702
Description: A topology is closed under finite intersections. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Oct-2009.)
Assertion
Ref Expression
fitop  |-  ( J  e.  Top  ->  ( fi `  J )  =  J )

Proof of Theorem fitop
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inopn 16701 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  y  e.  J )  ->  ( x  i^i  y
)  e.  J )
213expib 1154 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( x  e.  J  /\  y  e.  J
)  ->  ( x  i^i  y )  e.  J
) )
32ralrimivv 2668 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
)
4 inficl 7223 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y
)  e.  J  <->  ( fi `  J )  =  J ) )
53, 4mpbid 201 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( fi `  J )  =  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577    i^i cin 3185   ` cfv 5292   ficfi 7209   Topctop 16687
This theorem is referenced by:  tgfiss  16785  leordtval2  16998  2ndcsb  17231  alexsubALTlem1  17793  prdsxmslem2  18127
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-en 6907  df-fin 6910  df-fi 7210  df-top 16692
  Copyright terms: Public domain W3C validator