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Theorem fiuncmp 17147
Description: A finite union of compact sets is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fiuncmp.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
fiuncmp  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( Jt  U_ x  e.  A  B )  e.  Comp )
Distinct variable groups:    x, A    x, J
Allowed substitution hints:    B( x)    X( x)

Proof of Theorem fiuncmp
Dummy variables  t 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3210 . 2  |-  A  C_  A
2 simp2 956 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( t  =  (/)  ->  ( t 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
4 iuneq1 3934 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  (/)  ->  U_ x  e.  t  B  =  U_ x  e.  (/)  B )
5 0iun 3975 . . . . . . . . 9  |-  U_ x  e.  (/)  B  =  (/)
64, 5syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  (/)  ->  U_ x  e.  t  B  =  (/) )
76oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( t  =  (/)  ->  ( Jt  U_ x  e.  t  B
)  =  ( Jt  (/) ) )
87eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( Jt 
U_ x  e.  t  B )  e.  Comp  <->  ( Jt  (/) )  e.  Comp )
)
93, 8imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( t  C_  A  ->  ( Jt 
U_ x  e.  t  B )  e.  Comp ) 
<->  ( (/)  C_  A  -> 
( Jt  (/) )  e.  Comp ) ) )
109imbi2d 307 . . . 4  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( t  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  t  B )  e.  Comp ) )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B
)  e.  Comp )  ->  ( (/)  C_  A  -> 
( Jt  (/) )  e.  Comp ) ) ) )
11 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( t  =  y  ->  (
t  C_  A  <->  y  C_  A ) )
12 iuneq1 3934 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  y  ->  U_ x  e.  t  B  =  U_ x  e.  y  B )
1312oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( t  =  y  ->  ( Jt  U_ x  e.  t  B )  =  ( Jt  U_ x  e.  y  B
) )
1413eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( t  =  y  ->  (
( Jt  U_ x  e.  t  B )  e.  Comp  <->  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp )
)
1511, 14imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( t  =  y  ->  (
( t  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  t  B )  e.  Comp ) 
<->  ( y  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) ) )
1615imbi2d 307 . . . 4  |-  ( t  =  y  ->  (
( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  (
t  C_  A  ->  ( Jt 
U_ x  e.  t  B )  e.  Comp ) )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B
)  e.  Comp )  ->  ( y  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) ) ) )
17 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( t  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( t  C_  A 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )
18 iuneq1 3934 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ x  e.  t  B  =  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
1918oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( Jt  U_ x  e.  t  B )  =  ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B ) )
2019eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( t  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( Jt  U_ x  e.  t  B
)  e.  Comp  <->  ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  e.  Comp )
)
2117, 20imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( t  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( t 
C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  t  B )  e.  Comp )  <->  ( ( y  u.  {
z } )  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  e.  Comp )
) )
2221imbi2d 307 . . . 4  |-  ( t  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( t  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  t  B )  e.  Comp ) )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B
)  e.  Comp )  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e. 
Comp ) ) ) )
23 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( t  =  A  ->  (
t  C_  A  <->  A  C_  A
) )
24 iuneq1 3934 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  A  ->  U_ x  e.  t  B  =  U_ x  e.  A  B
)
2524oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( t  =  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  t  B )  =  ( Jt  U_ x  e.  A  B
) )
2625eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( t  =  A  ->  (
( Jt  U_ x  e.  t  B )  e.  Comp  <->  ( Jt  U_ x  e.  A  B
)  e.  Comp )
)
2723, 26imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( t  =  A  ->  (
( t  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  t  B )  e.  Comp ) 
<->  ( A  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  A  B )  e.  Comp ) ) )
2827imbi2d 307 . . . 4  |-  ( t  =  A  ->  (
( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  (
t  C_  A  ->  ( Jt 
U_ x  e.  t  B )  e.  Comp ) )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B
)  e.  Comp )  ->  ( A  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  A  B )  e.  Comp ) ) ) )
29 rest0 16916 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  =  { (/) } )
30 0cmp 17137 . . . . . . 7  |-  { (/) }  e.  Comp
3129, 30syl6eqel 2384 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  e.  Comp )
32313ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( Jt  (/) )  e. 
Comp )
3332a1d 22 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( (/)  C_  A  ->  ( Jt  (/) )  e.  Comp ) )
34 ssun1 3351 . . . . . . . . 9  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
35 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( y  u.  {
z } )  C_  A )
3634, 35syl5ss 3203 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  y  C_  A )
3736imim1i 54 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  A  ->  ( Jt 
U_ x  e.  y  B )  e.  Comp )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( Jt 
U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )
38 simpl1 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  J  e.  Top )
39 iunxun 3999 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )
40 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp )
41 cmptop 17138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Jt 
U_ x  e.  y  B )  e.  Comp  -> 
( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Top )
42 restrcl 16904 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Jt 
U_ x  e.  y  B )  e.  Top  ->  ( J  e.  _V  /\ 
U_ x  e.  y  B  e.  _V )
)
4342simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Jt 
U_ x  e.  y  B )  e.  Top  ->  U_ x  e.  y  B  e.  _V )
4440, 41, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  U_ x  e.  y  B  e.  _V )
45 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t B
46 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ t  /  x ]_ B
47 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  t  ->  B  =  [_ t  /  x ]_ B )
4845, 46, 47cbviun 3955 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  { z } B  =  U_ t  e.  {
z } [_ t  /  x ]_ B
49 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  e. 
_V
50 csbeq1 3097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  z  ->  [_ t  /  x ]_ B  = 
[_ z  /  x ]_ B )
5149, 50iunxsn 3997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ t  e.  { z } [_ t  /  x ]_ B  =  [_ z  /  x ]_ B
5248, 51eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ x  e.  { z } B  =  [_ z  /  x ]_ B
53 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
54 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  A
)
5553, 54syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  { z }  C_  A )
5649snss 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
5755, 56sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  z  e.  A )
58 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  A. x  e.  A  ( Jt  B
)  e.  Comp )
59 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ t ( Jt  B )  e.  Comp
60 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x J
61 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ xt
6260, 61, 46nfov 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( Jt  [_ t  /  x ]_ B )
6362nfel1 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( Jt  [_ t  /  x ]_ B )  e.  Comp
6447oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  t  ->  ( Jt  B )  =  ( Jt 
[_ t  /  x ]_ B ) )
6564eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  t  ->  (
( Jt  B )  e.  Comp  <->  ( Jt  [_ t  /  x ]_ B )  e.  Comp ) )
6659, 63, 65cbvral 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp  <->  A. t  e.  A  ( Jt  [_ t  /  x ]_ B )  e.  Comp )
6758, 66sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  A. t  e.  A  ( Jt  [_ t  /  x ]_ B )  e.  Comp )
6850oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  z  ->  ( Jt  [_ t  /  x ]_ B )  =  ( Jt 
[_ z  /  x ]_ B ) )
6968eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  z  ->  (
( Jt  [_ t  /  x ]_ B )  e.  Comp  <->  ( Jt  [_ z  /  x ]_ B )  e.  Comp ) )
7069rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. t  e.  A  ( Jt  [_ t  /  x ]_ B )  e.  Comp  -> 
( Jt  [_ z  /  x ]_ B )  e.  Comp ) )
7157, 67, 70sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  ( Jt  [_ z  /  x ]_ B )  e.  Comp )
72 cmptop 17138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Jt 
[_ z  /  x ]_ B )  e.  Comp  -> 
( Jt  [_ z  /  x ]_ B )  e.  Top )
73 restrcl 16904 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Jt 
[_ z  /  x ]_ B )  e.  Top  ->  ( J  e.  _V  /\ 
[_ z  /  x ]_ B  e.  _V ) )
7473simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Jt 
[_ z  /  x ]_ B )  e.  Top  ->  [_ z  /  x ]_ B  e.  _V )
7571, 72, 743syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  [_ z  /  x ]_ B  e. 
_V )
7652, 75syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  U_ x  e.  { z } B  e.  _V )
77 unexg 4537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  _V  /\  U_ x  e.  { z } B  e.  _V )  ->  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )  e. 
_V )
7844, 76, 77syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e. 
{ z } B
)  e.  _V )
7939, 78syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  _V )
80 resttop 16907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  _V )  ->  ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  e.  Top )
8138, 79, 80syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e. 
Top )
82 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. J  =  U. J
8382restin 16913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  _V )  ->  ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  ( Jt  (
U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  i^i  U. J ) ) )
8438, 79, 83syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( Jt  ( U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  i^i  U. J ) ) )
8584unieqd 3854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  U. ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  = 
U. ( Jt  ( U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  i^i  U. J
) ) )
86 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  i^i  U. J
)  C_  U. J
87 fiuncmp.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X  = 
U. J
8886, 87sseqtr4i 3224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  i^i  U. J
)  C_  X
8987restuni 16909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  i^i  U. J )  C_  X
)  ->  ( U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  i^i  U. J
)  =  U. ( Jt  ( U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  i^i  U. J ) ) )
9038, 88, 89sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  ( U_ x  e.  (
y  u.  { z } ) B  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  ( U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  i^i  U. J ) ) )
9185, 90eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  U. ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  i^i  U. J ) )
9252uneq2i 3339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  {
z } B )  =  ( U_ x  e.  y  B  u.  [_ z  /  x ]_ B )
9339, 92eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( U_ x  e.  y  B  u.  [_ z  /  x ]_ B )
9493ineq1i 3379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  i^i  U. J
)  =  ( (
U_ x  e.  y  B  u.  [_ z  /  x ]_ B )  i^i  U. J )
95 indir 3430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  u.  [_ z  /  x ]_ B )  i^i  U. J )  =  ( ( U_ x  e.  y  B  i^i  U. J )  u.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J ) )
9694, 95eqtri 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  i^i  U. J
)  =  ( (
U_ x  e.  y  B  i^i  U. J
)  u.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J ) )
9791, 96syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  U. ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( ( U_ x  e.  y  B  i^i  U. J )  u.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J
) ) )
98 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U_ x  e.  y  B  i^i  U. J )  C_  U_ x  e.  y  B
99 ssun1 3351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ x  e.  y  B  C_  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e. 
{ z } B
)
10099, 39sseqtr4i 3224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  y  B  C_  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B
10198, 100sstri 3201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ x  e.  y  B  i^i  U. J )  C_  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B
102101a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  ( U_ x  e.  y  B  i^i  U. J ) 
C_  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )
103 restabs 16912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U_ x  e.  y  B  i^i  U. J
)  C_  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  /\  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  _V )  -> 
( ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )t  ( U_ x  e.  y  B  i^i  U. J ) )  =  ( Jt  ( U_ x  e.  y  B  i^i  U. J ) ) )
10438, 102, 79, 103syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  (
( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )t  (
U_ x  e.  y  B  i^i  U. J
) )  =  ( Jt  ( U_ x  e.  y  B  i^i  U. J ) ) )
10582restin 16913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U_ x  e.  y  B  e.  _V )  -> 
( Jt  U_ x  e.  y  B )  =  ( Jt  ( U_ x  e.  y  B  i^i  U. J ) ) )
10638, 44, 105syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  =  ( Jt  (
U_ x  e.  y  B  i^i  U. J
) ) )
107104, 106eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  (
( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )t  (
U_ x  e.  y  B  i^i  U. J
) )  =  ( Jt 
U_ x  e.  y  B ) )
108107, 40eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  (
( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )t  (
U_ x  e.  y  B  i^i  U. J
) )  e.  Comp )
109 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J )  C_  [_ z  /  x ]_ B
110 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ x  e.  { z } B  C_  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )
111110, 39sseqtr4i 3224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ x  e.  { z } B  C_ 
U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B
11252, 111eqsstr3i 3222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [_ z  /  x ]_ B  C_  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B
113109, 112sstri 3201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J )  C_  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B
114113a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J
)  C_  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
115 restabs 16912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J
)  C_  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  /\  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  _V )  -> 
( ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )t  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J ) )  =  ( Jt  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J ) ) )
11638, 114, 79, 115syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  (
( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )t  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J
) )  =  ( Jt  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J ) ) )
11782restin 16913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  [_ z  /  x ]_ B  e.  _V )  ->  ( Jt  [_ z  /  x ]_ B )  =  ( Jt  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J ) ) )
11838, 75, 117syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  ( Jt  [_ z  /  x ]_ B )  =  ( Jt  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J ) ) )
119116, 118eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  (
( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )t  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J
) )  =  ( Jt 
[_ z  /  x ]_ B ) )
120119, 71eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  (
( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )t  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J
) )  e.  Comp )
121 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  = 
U. ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
122121uncmp 17146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  e.  Top  /\  U. ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( ( U_ x  e.  y  B  i^i  U. J )  u.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J ) ) )  /\  ( ( ( Jt 
U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )t  (
U_ x  e.  y  B  i^i  U. J
) )  e.  Comp  /\  ( ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )t  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J ) )  e. 
Comp ) )  -> 
( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  Comp )
12381, 97, 108, 120, 122syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e. 
Comp )
124123exp32 588 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp  -> 
( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  Comp ) ) )
125124a2d 23 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( Jt 
U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  Comp ) ) )
12637, 125syl5 28 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( ( y 
C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp )  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e. 
Comp ) ) )
127126a2i 12 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( y  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  -> 
( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  (
( y  u.  {
z } )  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  e.  Comp )
) )
128127a1i 10 . . . 4  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  (
y  C_  A  ->  ( Jt 
U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  (
( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( Jt 
U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  Comp ) ) ) )
12910, 16, 22, 28, 33, 128findcard2 7114 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( A  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  A  B )  e.  Comp ) ) )
1302, 129mpcom 32 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( A  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  A  B )  e.  Comp ) )
1311, 130mpi 16 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( Jt  U_ x  e.  A  B )  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   [_csb 3094    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   U.cuni 3843   U_ciun 3921  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   ↾t crest 13341   Topctop 16647   Compccmp 17129
This theorem is referenced by:  xkococnlem  17369
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cmp 17130
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