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Theorem fiuncmp 17469
Description: A finite union of compact sets is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fiuncmp.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
fiuncmp  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( Jt  U_ x  e.  A  B )  e.  Comp )
Distinct variable groups:    x, A    x, J
Allowed substitution hints:    B( x)    X( x)

Proof of Theorem fiuncmp
Dummy variables  t 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3369 . 2  |-  A  C_  A
2 simp2 959 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3371 . . . . . 6  |-  ( t  =  (/)  ->  ( t 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
4 iuneq1 4108 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  (/)  ->  U_ x  e.  t  B  =  U_ x  e.  (/)  B )
5 0iun 4150 . . . . . . . . 9  |-  U_ x  e.  (/)  B  =  (/)
64, 5syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  (/)  ->  U_ x  e.  t  B  =  (/) )
76oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  ( t  =  (/)  ->  ( Jt  U_ x  e.  t  B
)  =  ( Jt  (/) ) )
87eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( Jt 
U_ x  e.  t  B )  e.  Comp  <->  ( Jt  (/) )  e.  Comp )
)
93, 8imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( t  C_  A  ->  ( Jt 
U_ x  e.  t  B )  e.  Comp ) 
<->  ( (/)  C_  A  -> 
( Jt  (/) )  e.  Comp ) ) )
109imbi2d 309 . . . 4  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( t  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  t  B )  e.  Comp ) )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B
)  e.  Comp )  ->  ( (/)  C_  A  -> 
( Jt  (/) )  e.  Comp ) ) ) )
11 sseq1 3371 . . . . . 6  |-  ( t  =  y  ->  (
t  C_  A  <->  y  C_  A ) )
12 iuneq1 4108 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  y  ->  U_ x  e.  t  B  =  U_ x  e.  y  B )
1312oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  ( t  =  y  ->  ( Jt  U_ x  e.  t  B )  =  ( Jt  U_ x  e.  y  B
) )
1413eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( t  =  y  ->  (
( Jt  U_ x  e.  t  B )  e.  Comp  <->  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp )
)
1511, 14imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( t  =  y  ->  (
( t  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  t  B )  e.  Comp ) 
<->  ( y  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) ) )
1615imbi2d 309 . . . 4  |-  ( t  =  y  ->  (
( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  (
t  C_  A  ->  ( Jt 
U_ x  e.  t  B )  e.  Comp ) )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B
)  e.  Comp )  ->  ( y  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) ) ) )
17 sseq1 3371 . . . . . 6  |-  ( t  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( t  C_  A 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )
18 iuneq1 4108 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ x  e.  t  B  =  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
1918oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( Jt  U_ x  e.  t  B )  =  ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B ) )
2019eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( t  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( Jt  U_ x  e.  t  B
)  e.  Comp  <->  ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  e.  Comp )
)
2117, 20imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( t  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( t 
C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  t  B )  e.  Comp )  <->  ( ( y  u.  {
z } )  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  e.  Comp )
) )
2221imbi2d 309 . . . 4  |-  ( t  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( t  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  t  B )  e.  Comp ) )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B
)  e.  Comp )  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e. 
Comp ) ) ) )
23 sseq1 3371 . . . . . 6  |-  ( t  =  A  ->  (
t  C_  A  <->  A  C_  A
) )
24 iuneq1 4108 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  A  ->  U_ x  e.  t  B  =  U_ x  e.  A  B
)
2524oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  ( t  =  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  t  B )  =  ( Jt  U_ x  e.  A  B
) )
2625eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( t  =  A  ->  (
( Jt  U_ x  e.  t  B )  e.  Comp  <->  ( Jt  U_ x  e.  A  B
)  e.  Comp )
)
2723, 26imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( t  =  A  ->  (
( t  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  t  B )  e.  Comp ) 
<->  ( A  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  A  B )  e.  Comp ) ) )
2827imbi2d 309 . . . 4  |-  ( t  =  A  ->  (
( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  (
t  C_  A  ->  ( Jt 
U_ x  e.  t  B )  e.  Comp ) )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B
)  e.  Comp )  ->  ( A  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  A  B )  e.  Comp ) ) ) )
29 rest0 17235 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  =  { (/) } )
30 0cmp 17459 . . . . . . 7  |-  { (/) }  e.  Comp
3129, 30syl6eqel 2526 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  e.  Comp )
32313ad2ant1 979 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( Jt  (/) )  e. 
Comp )
3332a1d 24 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( (/)  C_  A  ->  ( Jt  (/) )  e.  Comp ) )
34 ssun1 3512 . . . . . . . . 9  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
35 id 21 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( y  u.  {
z } )  C_  A )
3634, 35syl5ss 3361 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  y  C_  A )
3736imim1i 57 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  A  ->  ( Jt 
U_ x  e.  y  B )  e.  Comp )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( Jt 
U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )
38 simpl1 961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  J  e.  Top )
39 iunxun 4174 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )
40 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp )
41 cmptop 17460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Jt 
U_ x  e.  y  B )  e.  Comp  -> 
( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Top )
42 restrcl 17223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Jt 
U_ x  e.  y  B )  e.  Top  ->  ( J  e.  _V  /\ 
U_ x  e.  y  B  e.  _V )
)
4342simprd 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Jt 
U_ x  e.  y  B )  e.  Top  ->  U_ x  e.  y  B  e.  _V )
4440, 41, 433syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  U_ x  e.  y  B  e.  _V )
45 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t B
46 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ t  /  x ]_ B
47 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  t  ->  B  =  [_ t  /  x ]_ B )
4845, 46, 47cbviun 4130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  { z } B  =  U_ t  e.  {
z } [_ t  /  x ]_ B
49 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  e. 
_V
50 csbeq1 3256 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  z  ->  [_ t  /  x ]_ B  = 
[_ z  /  x ]_ B )
5149, 50iunxsn 4172 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ t  e.  { z } [_ t  /  x ]_ B  =  [_ z  /  x ]_ B
5248, 51eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ x  e.  { z } B  =  [_ z  /  x ]_ B
53 ssun2 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
54 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  A
)
5553, 54syl5ss 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  { z }  C_  A )
5649snss 3928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
5755, 56sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  z  e.  A )
58 simpl3 963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  A. x  e.  A  ( Jt  B
)  e.  Comp )
59 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ t ( Jt  B )  e.  Comp
60 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x J
61 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ xt
6260, 61, 46nfov 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( Jt  [_ t  /  x ]_ B )
6362nfel1 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( Jt  [_ t  /  x ]_ B )  e.  Comp
6447oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  t  ->  ( Jt  B )  =  ( Jt 
[_ t  /  x ]_ B ) )
6564eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  t  ->  (
( Jt  B )  e.  Comp  <->  ( Jt  [_ t  /  x ]_ B )  e.  Comp ) )
6659, 63, 65cbvral 2930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp  <->  A. t  e.  A  ( Jt  [_ t  /  x ]_ B )  e.  Comp )
6758, 66sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  A. t  e.  A  ( Jt  [_ t  /  x ]_ B )  e.  Comp )
6850oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  z  ->  ( Jt  [_ t  /  x ]_ B )  =  ( Jt 
[_ z  /  x ]_ B ) )
6968eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  z  ->  (
( Jt  [_ t  /  x ]_ B )  e.  Comp  <->  ( Jt  [_ z  /  x ]_ B )  e.  Comp ) )
7069rspcv 3050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. t  e.  A  ( Jt  [_ t  /  x ]_ B )  e.  Comp  -> 
( Jt  [_ z  /  x ]_ B )  e.  Comp ) )
7157, 67, 70sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  ( Jt  [_ z  /  x ]_ B )  e.  Comp )
72 cmptop 17460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Jt 
[_ z  /  x ]_ B )  e.  Comp  -> 
( Jt  [_ z  /  x ]_ B )  e.  Top )
73 restrcl 17223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Jt 
[_ z  /  x ]_ B )  e.  Top  ->  ( J  e.  _V  /\ 
[_ z  /  x ]_ B  e.  _V ) )
7473simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Jt 
[_ z  /  x ]_ B )  e.  Top  ->  [_ z  /  x ]_ B  e.  _V )
7571, 72, 743syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  [_ z  /  x ]_ B  e. 
_V )
7652, 75syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  U_ x  e.  { z } B  e.  _V )
77 unexg 4712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  _V  /\  U_ x  e.  { z } B  e.  _V )  ->  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )  e. 
_V )
7844, 76, 77syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e. 
{ z } B
)  e.  _V )
7939, 78syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  _V )
80 resttop 17226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  _V )  ->  ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  e.  Top )
8138, 79, 80syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e. 
Top )
82 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. J  =  U. J
8382restin 17232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  _V )  ->  ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  ( Jt  (
U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  i^i  U. J ) ) )
8438, 79, 83syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( Jt  ( U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  i^i  U. J ) ) )
8584unieqd 4028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  U. ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  = 
U. ( Jt  ( U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  i^i  U. J
) ) )
86 inss2 3564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  i^i  U. J
)  C_  U. J
87 fiuncmp.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X  = 
U. J
8886, 87sseqtr4i 3383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  i^i  U. J
)  C_  X
8987restuni 17228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  i^i  U. J )  C_  X
)  ->  ( U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  i^i  U. J
)  =  U. ( Jt  ( U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  i^i  U. J ) ) )
9038, 88, 89sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  ( U_ x  e.  (
y  u.  { z } ) B  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  ( U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  i^i  U. J ) ) )
9185, 90eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  U. ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  i^i  U. J ) )
9252uneq2i 3500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  {
z } B )  =  ( U_ x  e.  y  B  u.  [_ z  /  x ]_ B )
9339, 92eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( U_ x  e.  y  B  u.  [_ z  /  x ]_ B )
9493ineq1i 3540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  i^i  U. J
)  =  ( (
U_ x  e.  y  B  u.  [_ z  /  x ]_ B )  i^i  U. J )
95 indir 3591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  u.  [_ z  /  x ]_ B )  i^i  U. J )  =  ( ( U_ x  e.  y  B  i^i  U. J )  u.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J ) )
9694, 95eqtri 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  i^i  U. J
)  =  ( (
U_ x  e.  y  B  i^i  U. J
)  u.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J ) )
9791, 96syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  U. ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( ( U_ x  e.  y  B  i^i  U. J )  u.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J
) ) )
98 inss1 3563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U_ x  e.  y  B  i^i  U. J )  C_  U_ x  e.  y  B
99 ssun1 3512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ x  e.  y  B  C_  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e. 
{ z } B
)
10099, 39sseqtr4i 3383 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  y  B  C_  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B
10198, 100sstri 3359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ x  e.  y  B  i^i  U. J )  C_  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  ( U_ x  e.  y  B  i^i  U. J ) 
C_  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )
103 restabs 17231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U_ x  e.  y  B  i^i  U. J
)  C_  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  /\  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  _V )  -> 
( ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )t  ( U_ x  e.  y  B  i^i  U. J ) )  =  ( Jt  ( U_ x  e.  y  B  i^i  U. J ) ) )
10438, 102, 79, 103syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  (
( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )t  (
U_ x  e.  y  B  i^i  U. J
) )  =  ( Jt  ( U_ x  e.  y  B  i^i  U. J ) ) )
10582restin 17232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U_ x  e.  y  B  e.  _V )  -> 
( Jt  U_ x  e.  y  B )  =  ( Jt  ( U_ x  e.  y  B  i^i  U. J ) ) )
10638, 44, 105syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  =  ( Jt  (
U_ x  e.  y  B  i^i  U. J
) ) )
107104, 106eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  (
( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )t  (
U_ x  e.  y  B  i^i  U. J
) )  =  ( Jt 
U_ x  e.  y  B ) )
108107, 40eqeltrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  (
( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )t  (
U_ x  e.  y  B  i^i  U. J
) )  e.  Comp )
109 inss1 3563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J )  C_  [_ z  /  x ]_ B
110 ssun2 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ x  e.  { z } B  C_  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )
111110, 39sseqtr4i 3383 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ x  e.  { z } B  C_ 
U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B
11252, 111eqsstr3i 3381 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [_ z  /  x ]_ B  C_  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B
113109, 112sstri 3359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J )  C_  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J
)  C_  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
115 restabs 17231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J
)  C_  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  /\  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  _V )  -> 
( ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )t  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J ) )  =  ( Jt  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J ) ) )
11638, 114, 79, 115syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  (
( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )t  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J
) )  =  ( Jt  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J ) ) )
11782restin 17232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  [_ z  /  x ]_ B  e.  _V )  ->  ( Jt  [_ z  /  x ]_ B )  =  ( Jt  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J ) ) )
11838, 75, 117syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  ( Jt  [_ z  /  x ]_ B )  =  ( Jt  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J ) ) )
119116, 118eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  (
( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )t  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J
) )  =  ( Jt 
[_ z  /  x ]_ B ) )
120119, 71eqeltrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  (
( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )t  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J
) )  e.  Comp )
121 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  = 
U. ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
122121uncmp 17468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  e.  Top  /\  U. ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( ( U_ x  e.  y  B  i^i  U. J )  u.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J ) ) )  /\  ( ( ( Jt 
U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )t  (
U_ x  e.  y  B  i^i  U. J
) )  e.  Comp  /\  ( ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )t  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  U. J ) )  e. 
Comp ) )  -> 
( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  Comp )
12381, 97, 108, 120, 122syl22anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  /\  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e. 
Comp )
124123exp32 590 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp  -> 
( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  Comp ) ) )
125124a2d 25 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( Jt 
U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  Comp ) ) )
12637, 125syl5 31 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( ( y 
C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp )  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e. 
Comp ) ) )
127126a2i 13 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( y  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  -> 
( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  (
( y  u.  {
z } )  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  e.  Comp )
) )
128127a1i 11 . . . 4  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( J  e. 
Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  (
y  C_  A  ->  ( Jt 
U_ x  e.  y  B )  e.  Comp ) )  ->  (
( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( Jt 
U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  Comp ) ) ) )
12910, 16, 22, 28, 33, 128findcard2 7350 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( A  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  A  B )  e.  Comp ) ) )
1302, 129mpcom 35 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( A  C_  A  ->  ( Jt  U_ x  e.  A  B )  e.  Comp ) )
1311, 130mpi 17 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( Jt  B )  e.  Comp )  ->  ( Jt  U_ x  e.  A  B )  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958   [_csb 3253    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   U.cuni 4017   U_ciun 4095  (class class class)co 6083   Fincfn 7111   ↾t crest 13650   Topctop 16960   Compccmp 17451
This theorem is referenced by:  xkococnlem  17693
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-fin 7115  df-fi 7418  df-rest 13652  df-topgen 13669  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cmp 17452
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