Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fival Structured version   Unicode version

Theorem fival 7419
 Description: The set of all the finite intersections of the elements of . (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fival
Distinct variable groups:   ,,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem fival
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2966 . 2
2 simpr 449 . . . . . . 7
3 inss1 3563 . . . . . . . . . 10
43sseli 3346 . . . . . . . . 9
54elpwid 3810 . . . . . . . 8
6 vex 2961 . . . . . . . . . 10
7 eleq1 2498 . . . . . . . . . 10
86, 7mpbii 204 . . . . . . . . 9
9 intex 4358 . . . . . . . . 9
108, 9sylibr 205 . . . . . . . 8
11 intssuni2 4077 . . . . . . . 8
125, 10, 11syl2an 465 . . . . . . 7
132, 12eqsstrd 3384 . . . . . 6
146elpw 3807 . . . . . 6
1513, 14sylibr 205 . . . . 5
1615rexlimiva 2827 . . . 4
1716abssi 3420 . . 3
18 uniexg 4708 . . . 4
19 pwexg 4385 . . . 4
2018, 19syl 16 . . 3
21 ssexg 4351 . . 3
2217, 20, 21sylancr 646 . 2
23 pweq 3804 . . . . . 6
2423ineq1d 3543 . . . . 5
2524rexeqdv 2913 . . . 4
2625abbidv 2552 . . 3
27 df-fi 7418 . . 3
2826, 27fvmptg 5806 . 2
291, 22, 28syl2anc 644 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cab 2424   wne 2601  wrex 2708  cvv 2958   cin 3321   wss 3322  c0 3630  cpw 3801  cuni 4017  cint 4052  cfv 5456  cfn 7111  cfi 7417 This theorem is referenced by:  elfi  7420  fi0  7427 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-fi 7418
 Copyright terms: Public domain W3C validator