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Theorem fixpc 25094
Description: A cross product is finite iff one of its components is empty or both its components are finite. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
fixpc  |-  ( ( A  X.  B )  e.  Fin  <->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/)  \/  ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin ) ) )

Proof of Theorem fixpc
StepHypRef Expression
1 neanior 2531 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  <->  -.  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) )
2 fixpb 25093 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  ->  (
( A  X.  B
)  e.  Fin  <->  ( A  e.  Fin  /\  B  e. 
Fin ) ) )
32biimpd 198 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  ->  (
( A  X.  B
)  e.  Fin  ->  ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )
) )
41, 3sylbir 204 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) )  -> 
( ( A  X.  B )  e.  Fin  ->  ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )
) )
54com12 27 . . . 4  |-  ( ( A  X.  B )  e.  Fin  ->  ( -.  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) )  -> 
( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )
) )
65orrd 367 . . 3  |-  ( ( A  X.  B )  e.  Fin  ->  (
( A  =  (/)  \/  B  =  (/) )  \/  ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )
) )
7 df-3or 935 . . 3  |-  ( ( A  =  (/)  \/  B  =  (/)  \/  ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin ) )  <->  ( ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) )  \/  ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin ) ) )
86, 7sylibr 203 . 2  |-  ( ( A  X.  B )  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/)  \/  ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin ) ) )
9 xpeq1 4703 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  X.  B )  =  ( (/)  X.  B
) )
10 xp0r 4768 . . . . 5  |-  ( (/)  X.  B )  =  (/)
11 0fin 7087 . . . . 5  |-  (/)  e.  Fin
1210, 11eqeltri 2353 . . . 4  |-  ( (/)  X.  B )  e.  Fin
139, 12syl6eqel 2371 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  X.  B )  e. 
Fin )
14 xpeq2 4704 . . . 4  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A  X.  B )  =  ( A  X.  (/) ) )
15 xp0 5098 . . . . 5  |-  ( A  X.  (/) )  =  (/)
1615, 11eqeltri 2353 . . . 4  |-  ( A  X.  (/) )  e.  Fin
1714, 16syl6eqel 2371 . . 3  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A  X.  B )  e. 
Fin )
18 xpfi 7128 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  X.  B
)  e.  Fin )
1913, 17, 183jaoi 1245 . 2  |-  ( ( A  =  (/)  \/  B  =  (/)  \/  ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin ) )  -> 
( A  X.  B
)  e.  Fin )
208, 19impbii 180 1  |-  ( ( A  X.  B )  e.  Fin  <->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/)  \/  ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    \/ w3o 933    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   (/)c0 3455    X. cxp 4687   Fincfn 6863
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867
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