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Theorem fixufil 17617
Description: The condition describing a fixed ultrafilter always produces an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 29-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fixufil  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  e.  ( UFil `  X ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, X    x, V

Proof of Theorem fixufil
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uffix 17616 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( { { A } }  e.  ( fBas `  X )  /\  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  =  ( X filGen { { A } } ) ) )
21simprd 449 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  =  ( X filGen { { A } } ) )
31simpld 445 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { { A } }  e.  ( fBas `  X ) )
4 fgcl 17573 . . . 4  |-  ( { { A } }  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen { { A } } )  e.  ( Fil `  X ) )
53, 4syl 15 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( X filGen { { A } } )  e.  ( Fil `  X
) )
62, 5eqeltrd 2357 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  e.  ( Fil `  X ) )
7 undif2 3530 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  u.  ( X  \ 
y ) )  =  ( y  u.  X
)
8 elpwi 3633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
y  C_  X )
9 ssequn1 3345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  X  <->  ( y  u.  X )  =  X )
108, 9sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
( y  u.  X
)  =  X )
117, 10syl5req 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~P X  ->  X  =  ( y  u.  ( X  \  y
) ) )
1211eleq2d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
( A  e.  X  <->  A  e.  ( y  u.  ( X  \  y
) ) ) )
1312biimpac 472 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  y  e.  ~P X
)  ->  A  e.  ( y  u.  ( X  \  y ) ) )
14 elun 3316 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( y  u.  ( X  \  y
) )  <->  ( A  e.  y  \/  A  e.  ( X  \  y
) ) )
1513, 14sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  y  e.  ~P X
)  ->  ( A  e.  y  \/  A  e.  ( X  \  y
) ) )
1615adantll 694 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ~P X )  ->  ( A  e.  y  \/  A  e.  ( X  \  y ) ) )
17 ibar 490 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
( A  e.  y  <-> 
( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y ) ) )
1817adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ~P X )  ->  ( A  e.  y  <->  ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y ) ) )
19 difss 3303 . . . . . . . . 9  |-  ( X 
\  y )  C_  X
20 elpw2g 4174 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  V  ->  (
( X  \  y
)  e.  ~P X  <->  ( X  \  y ) 
C_  X ) )
2119, 20mpbiri 224 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  ( X  \  y )  e. 
~P X )
2221ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ~P X )  ->  ( X  \  y )  e. 
~P X )
2322biantrurd 494 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ~P X )  ->  ( A  e.  ( X  \  y )  <->  ( ( X  \  y )  e. 
~P X  /\  A  e.  ( X  \  y
) ) ) )
2418, 23orbi12d 690 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ~P X )  ->  (
( A  e.  y  \/  A  e.  ( X  \  y ) )  <->  ( ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y )  \/  ( ( X  \ 
y )  e.  ~P X  /\  A  e.  ( X  \  y ) ) ) ) )
2516, 24mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ~P X )  ->  (
( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y )  \/  ( ( X  \  y )  e.  ~P X  /\  A  e.  ( X  \  y ) ) ) )
2625ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  A. y  e.  ~P  X ( ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y )  \/  ( ( X  \ 
y )  e.  ~P X  /\  A  e.  ( X  \  y ) ) ) )
27 eleq2 2344 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  y ) )
2827elrab 2923 . . . . 5  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P X  |  A  e.  x }  <->  ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y ) )
29 eleq2 2344 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( X  \ 
y )  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  ( X  \  y
) ) )
3029elrab 2923 . . . . 5  |-  ( ( X  \  y )  e.  { x  e. 
~P X  |  A  e.  x }  <->  ( ( X  \  y )  e. 
~P X  /\  A  e.  ( X  \  y
) ) )
3128, 30orbi12i 507 . . . 4  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  \/  ( X  \  y )  e. 
{ x  e.  ~P X  |  A  e.  x } )  <->  ( (
y  e.  ~P X  /\  A  e.  y
)  \/  ( ( X  \  y )  e.  ~P X  /\  A  e.  ( X  \  y ) ) ) )
3231ralbii 2567 . . 3  |-  ( A. y  e.  ~P  X
( y  e.  {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  \/  ( X  \  y )  e.  {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x } )  <->  A. y  e.  ~P  X ( ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y
)  \/  ( ( X  \  y )  e.  ~P X  /\  A  e.  ( X  \  y ) ) ) )
3326, 32sylibr 203 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  A. y  e.  ~P  X ( y  e. 
{ x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  \/  ( X  \  y )  e. 
{ x  e.  ~P X  |  A  e.  x } ) )
34 isufil 17598 . 2  |-  ( { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  e.  ( UFil `  X )  <->  ( {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  e.  ( Fil `  X )  /\  A. y  e.  ~P  X
( y  e.  {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  \/  ( X  \  y )  e.  {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x } ) ) )
356, 33, 34sylanbrc 645 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  e.  ( UFil `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   fBascfbas 17518   filGencfg 17519   Filcfil 17540   UFilcufil 17594
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-ufil 17596
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