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Theorem fixufil 17954
Description: The condition describing a fixed ultrafilter always produces an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 29-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fixufil  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  e.  ( UFil `  X ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, X    x, V

Proof of Theorem fixufil
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uffix 17953 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( { { A } }  e.  ( fBas `  X )  /\  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  =  ( X filGen { { A } } ) ) )
21simprd 450 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  =  ( X filGen { { A } } ) )
31simpld 446 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { { A } }  e.  ( fBas `  X ) )
4 fgcl 17910 . . . 4  |-  ( { { A } }  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen { { A } } )  e.  ( Fil `  X ) )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( X filGen { { A } } )  e.  ( Fil `  X
) )
62, 5eqeltrd 2510 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  e.  ( Fil `  X ) )
7 undif2 3704 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  u.  ( X  \ 
y ) )  =  ( y  u.  X
)
8 elpwi 3807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
y  C_  X )
9 ssequn1 3517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  X  <->  ( y  u.  X )  =  X )
108, 9sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
( y  u.  X
)  =  X )
117, 10syl5req 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~P X  ->  X  =  ( y  u.  ( X  \  y
) ) )
1211eleq2d 2503 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
( A  e.  X  <->  A  e.  ( y  u.  ( X  \  y
) ) ) )
1312biimpac 473 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  y  e.  ~P X
)  ->  A  e.  ( y  u.  ( X  \  y ) ) )
14 elun 3488 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( y  u.  ( X  \  y
) )  <->  ( A  e.  y  \/  A  e.  ( X  \  y
) ) )
1513, 14sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  y  e.  ~P X
)  ->  ( A  e.  y  \/  A  e.  ( X  \  y
) ) )
1615adantll 695 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ~P X )  ->  ( A  e.  y  \/  A  e.  ( X  \  y ) ) )
17 ibar 491 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
( A  e.  y  <-> 
( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y ) ) )
1817adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ~P X )  ->  ( A  e.  y  <->  ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y ) ) )
19 difss 3474 . . . . . . . . 9  |-  ( X 
\  y )  C_  X
20 elpw2g 4363 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  V  ->  (
( X  \  y
)  e.  ~P X  <->  ( X  \  y ) 
C_  X ) )
2119, 20mpbiri 225 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  ( X  \  y )  e. 
~P X )
2221ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ~P X )  ->  ( X  \  y )  e. 
~P X )
2322biantrurd 495 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ~P X )  ->  ( A  e.  ( X  \  y )  <->  ( ( X  \  y )  e. 
~P X  /\  A  e.  ( X  \  y
) ) ) )
2418, 23orbi12d 691 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ~P X )  ->  (
( A  e.  y  \/  A  e.  ( X  \  y ) )  <->  ( ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y )  \/  ( ( X  \ 
y )  e.  ~P X  /\  A  e.  ( X  \  y ) ) ) ) )
2516, 24mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ~P X )  ->  (
( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y )  \/  ( ( X  \  y )  e.  ~P X  /\  A  e.  ( X  \  y ) ) ) )
2625ralrimiva 2789 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  A. y  e.  ~P  X ( ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y )  \/  ( ( X  \ 
y )  e.  ~P X  /\  A  e.  ( X  \  y ) ) ) )
27 eleq2 2497 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  y ) )
2827elrab 3092 . . . . 5  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P X  |  A  e.  x }  <->  ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y ) )
29 eleq2 2497 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( X  \ 
y )  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  ( X  \  y
) ) )
3029elrab 3092 . . . . 5  |-  ( ( X  \  y )  e.  { x  e. 
~P X  |  A  e.  x }  <->  ( ( X  \  y )  e. 
~P X  /\  A  e.  ( X  \  y
) ) )
3128, 30orbi12i 508 . . . 4  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  \/  ( X  \  y )  e. 
{ x  e.  ~P X  |  A  e.  x } )  <->  ( (
y  e.  ~P X  /\  A  e.  y
)  \/  ( ( X  \  y )  e.  ~P X  /\  A  e.  ( X  \  y ) ) ) )
3231ralbii 2729 . . 3  |-  ( A. y  e.  ~P  X
( y  e.  {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  \/  ( X  \  y )  e.  {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x } )  <->  A. y  e.  ~P  X ( ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y
)  \/  ( ( X  \  y )  e.  ~P X  /\  A  e.  ( X  \  y ) ) ) )
3326, 32sylibr 204 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  A. y  e.  ~P  X ( y  e. 
{ x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  \/  ( X  \  y )  e. 
{ x  e.  ~P X  |  A  e.  x } ) )
34 isufil 17935 . 2  |-  ( { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  e.  ( UFil `  X )  <->  ( {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  e.  ( Fil `  X )  /\  A. y  e.  ~P  X
( y  e.  {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  \/  ( X  \  y )  e.  {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x } ) ) )
356, 33, 34sylanbrc 646 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  e.  ( UFil `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   {crab 2709    \ cdif 3317    u. cun 3318    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   {csn 3814   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   fBascfbas 16689   filGencfg 16690   Filcfil 17877   UFilcufil 17931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-fil 17878  df-ufil 17933
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