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Theorem fixufil 17633
Description: The condition describing a fixed ultrafilter always produces an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 29-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fixufil  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  e.  ( UFil `  X ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, X    x, V

Proof of Theorem fixufil
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uffix 17632 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( { { A } }  e.  ( fBas `  X )  /\  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  =  ( X filGen { { A } } ) ) )
21simprd 449 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  =  ( X filGen { { A } } ) )
31simpld 445 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { { A } }  e.  ( fBas `  X ) )
4 fgcl 17589 . . . 4  |-  ( { { A } }  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen { { A } } )  e.  ( Fil `  X ) )
53, 4syl 15 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( X filGen { { A } } )  e.  ( Fil `  X
) )
62, 5eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  e.  ( Fil `  X ) )
7 undif2 3543 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  u.  ( X  \ 
y ) )  =  ( y  u.  X
)
8 elpwi 3646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
y  C_  X )
9 ssequn1 3358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  X  <->  ( y  u.  X )  =  X )
108, 9sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
( y  u.  X
)  =  X )
117, 10syl5req 2341 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~P X  ->  X  =  ( y  u.  ( X  \  y
) ) )
1211eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
( A  e.  X  <->  A  e.  ( y  u.  ( X  \  y
) ) ) )
1312biimpac 472 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  y  e.  ~P X
)  ->  A  e.  ( y  u.  ( X  \  y ) ) )
14 elun 3329 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( y  u.  ( X  \  y
) )  <->  ( A  e.  y  \/  A  e.  ( X  \  y
) ) )
1513, 14sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  y  e.  ~P X
)  ->  ( A  e.  y  \/  A  e.  ( X  \  y
) ) )
1615adantll 694 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ~P X )  ->  ( A  e.  y  \/  A  e.  ( X  \  y ) ) )
17 ibar 490 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
( A  e.  y  <-> 
( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y ) ) )
1817adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ~P X )  ->  ( A  e.  y  <->  ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y ) ) )
19 difss 3316 . . . . . . . . 9  |-  ( X 
\  y )  C_  X
20 elpw2g 4190 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  V  ->  (
( X  \  y
)  e.  ~P X  <->  ( X  \  y ) 
C_  X ) )
2119, 20mpbiri 224 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  ( X  \  y )  e. 
~P X )
2221ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ~P X )  ->  ( X  \  y )  e. 
~P X )
2322biantrurd 494 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ~P X )  ->  ( A  e.  ( X  \  y )  <->  ( ( X  \  y )  e. 
~P X  /\  A  e.  ( X  \  y
) ) ) )
2418, 23orbi12d 690 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ~P X )  ->  (
( A  e.  y  \/  A  e.  ( X  \  y ) )  <->  ( ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y )  \/  ( ( X  \ 
y )  e.  ~P X  /\  A  e.  ( X  \  y ) ) ) ) )
2516, 24mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ~P X )  ->  (
( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y )  \/  ( ( X  \  y )  e.  ~P X  /\  A  e.  ( X  \  y ) ) ) )
2625ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  A. y  e.  ~P  X ( ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y )  \/  ( ( X  \ 
y )  e.  ~P X  /\  A  e.  ( X  \  y ) ) ) )
27 eleq2 2357 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  y ) )
2827elrab 2936 . . . . 5  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P X  |  A  e.  x }  <->  ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y ) )
29 eleq2 2357 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( X  \ 
y )  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  ( X  \  y
) ) )
3029elrab 2936 . . . . 5  |-  ( ( X  \  y )  e.  { x  e. 
~P X  |  A  e.  x }  <->  ( ( X  \  y )  e. 
~P X  /\  A  e.  ( X  \  y
) ) )
3128, 30orbi12i 507 . . . 4  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  \/  ( X  \  y )  e. 
{ x  e.  ~P X  |  A  e.  x } )  <->  ( (
y  e.  ~P X  /\  A  e.  y
)  \/  ( ( X  \  y )  e.  ~P X  /\  A  e.  ( X  \  y ) ) ) )
3231ralbii 2580 . . 3  |-  ( A. y  e.  ~P  X
( y  e.  {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  \/  ( X  \  y )  e.  {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x } )  <->  A. y  e.  ~P  X ( ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y
)  \/  ( ( X  \  y )  e.  ~P X  /\  A  e.  ( X  \  y ) ) ) )
3326, 32sylibr 203 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  A. y  e.  ~P  X ( y  e. 
{ x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  \/  ( X  \  y )  e. 
{ x  e.  ~P X  |  A  e.  x } ) )
34 isufil 17614 . 2  |-  ( { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  e.  ( UFil `  X )  <->  ( {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  e.  ( Fil `  X )  /\  A. y  e.  ~P  X
( y  e.  {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  \/  ( X  \  y )  e.  {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x } ) ) )
356, 33, 34sylanbrc 645 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  e.  ( UFil `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560    \ cdif 3162    u. cun 3163    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   {csn 3653   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   fBascfbas 17534   filGencfg 17535   Filcfil 17556   UFilcufil 17610
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-ufil 17612
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