MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fladdz Structured version   Unicode version

Theorem fladdz 11228
Description: An integer can be moved in and out of the floor of a sum. (Contributed by NM, 27-Apr-2005.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
fladdz  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  ( A  +  N )
)  =  ( ( |_ `  A )  +  N ) )

Proof of Theorem fladdz
StepHypRef Expression
1 reflcl 11206 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
21adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  e.  RR )
3 simpl 445 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
4 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
54zred 10376 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
6 flle 11209 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
76adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  <_  A )
82, 3, 5, 7leadd1dd 9641 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  +  N
)  <_  ( A  +  N ) )
9 1re 9091 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  1  e.  RR )
112, 10readdcld 9116 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )
12 flltp1 11210 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
1312adantr 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
143, 11, 5, 13ltadd1dd 9638 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  +  N
)  <  ( (
( |_ `  A
)  +  1 )  +  N ) )
152recnd 9115 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  e.  CC )
16 ax-1cn 9049 . . . . 5  |-  1  e.  CC
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
185recnd 9115 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
1915, 17, 18add32d 9289 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  +  N
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  +  N )  +  1 ) )
2014, 19breqtrd 4237 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  +  N
)  <  ( (
( |_ `  A
)  +  N )  +  1 ) )
213, 5readdcld 9116 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  +  N
)  e.  RR )
223flcld 11208 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  e.  ZZ )
2322, 4zaddcld 10380 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  +  N
)  e.  ZZ )
24 flbi 11224 . . 3  |-  ( ( ( A  +  N
)  e.  RR  /\  ( ( |_ `  A )  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( |_
`  ( A  +  N ) )  =  ( ( |_ `  A )  +  N
)  <->  ( ( ( |_ `  A )  +  N )  <_ 
( A  +  N
)  /\  ( A  +  N )  <  (
( ( |_ `  A )  +  N
)  +  1 ) ) ) )
2521, 23, 24syl2anc 644 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( A  +  N
) )  =  ( ( |_ `  A
)  +  N )  <-> 
( ( ( |_
`  A )  +  N )  <_  ( A  +  N )  /\  ( A  +  N
)  <  ( (
( |_ `  A
)  +  N )  +  1 ) ) ) )
268, 20, 25mpbir2and 890 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  ( A  +  N )
)  =  ( ( |_ `  A )  +  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4213   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989   RRcr 8990   1c1 8992    + caddc 8994    < clt 9121    <_ cle 9122   ZZcz 10283   |_cfl 11202
This theorem is referenced by:  flzadd  11229  modcyc  11277  bitsmod  12949  fldivp1  13267  ppip1le  20945  dya2ub  24621
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fl 11203
  Copyright terms: Public domain W3C validator