Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flcidc Unicode version

Theorem flcidc 27041
Description: Finite linear combinations with an indicator function. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
flcidc.f  |-  ( ph  ->  F  =  ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K , 
1 ,  0 ) ) )
flcidc.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
flcidc.k  |-  ( ph  ->  K  e.  S )
flcidc.b  |-  ( (
ph  /\  i  e.  S )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
flcidc  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  S  ( ( F `  i )  x.  B
)  =  [_ K  /  i ]_ B
)
Distinct variable groups:    ph, i, j   
i, F    S, i,
j    i, K, j    B, j
Allowed substitution hints:    B( i)    F( j)

Proof of Theorem flcidc
StepHypRef Expression
1 flcidc.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  =  ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K , 
1 ,  0 ) ) )
21fveq1d 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  i
)  =  ( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `  i
) )
32adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( F `  i
)  =  ( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `  i
) )
4 flcidc.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  S )
54snssd 3879 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { K }  C_  S )
65sselda 3284 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
i  e.  S )
7 eqeq1 2386 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  i  ->  (
j  =  K  <->  i  =  K ) )
87ifbid 3693 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  i  ->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 )  =  if ( i  =  K , 
1 ,  0 ) )
9 eqid 2380 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K , 
1 ,  0 ) )  =  ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K , 
1 ,  0 ) )
10 1ex 9012 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  _V
11 c0ex 9011 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
1210, 11ifex 3733 . . . . . . . . 9  |-  if ( i  =  K , 
1 ,  0 )  e.  _V
138, 9, 12fvmpt 5738 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  S  ->  (
( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `  i )  =  if ( i  =  K ,  1 ,  0 ) )
146, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `
 i )  =  if ( i  =  K ,  1 ,  0 ) )
153, 14eqtrd 2412 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( F `  i
)  =  if ( i  =  K , 
1 ,  0 ) )
16 elsni 3774 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  { K }  ->  i  =  K )
17 iftrue 3681 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  K  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  1 )
1816, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  { K }  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  1 )
1918adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  1 )
2015, 19eqtrd 2412 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( F `  i
)  =  1 )
2120oveq1d 6028 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  =  ( 1  x.  B ) )
22 flcidc.b . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  S )  ->  B  e.  CC )
236, 22syldan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  ->  B  e.  CC )
2423mulid2d 9032 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( 1  x.  B
)  =  B )
2521, 24eqtrd 2412 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  =  B )
2625sumeq2dv 12417 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  { K }  ( ( F `  i )  x.  B )  =  sum_ i  e.  { K } B )
27 ax-1cn 8974 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
28 0cn 9010 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
2927, 28keepel 3732 . . . . 5  |-  if ( i  =  K , 
1 ,  0 )  e.  CC
3015, 29syl6eqel 2468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( F `  i
)  e.  CC )
3130, 23mulcld 9034 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  e.  CC )
322adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( F `  i
)  =  ( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `  i
) )
33 eldifi 3405 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( S  \  { K } )  -> 
i  e.  S )
3433adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
i  e.  S )
3534, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `
 i )  =  if ( i  =  K ,  1 ,  0 ) )
3632, 35eqtrd 2412 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( F `  i
)  =  if ( i  =  K , 
1 ,  0 ) )
37 eldifn 3406 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( S  \  { K } )  ->  -.  i  e.  { K } )
38 elsn 3765 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  { K }  <->  i  =  K )
3937, 38sylnib 296 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( S  \  { K } )  ->  -.  i  =  K
)
40 iffalse 3682 . . . . . . . 8  |-  ( -.  i  =  K  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  0 )
4139, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( S  \  { K } )  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  0 )
4241adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  0 )
4336, 42eqtrd 2412 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( F `  i
)  =  0 )
4443oveq1d 6028 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  =  ( 0  x.  B ) )
4534, 22syldan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  ->  B  e.  CC )
4645mul02d 9189 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( 0  x.  B
)  =  0 )
4744, 46eqtrd 2412 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  =  0 )
48 flcidc.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
495, 31, 47, 48fsumss 12439 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  { K }  ( ( F `  i )  x.  B )  =  sum_ i  e.  S  (
( F `  i
)  x.  B ) )
50 eleq1 2440 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  K  ->  (
j  e.  S  <->  K  e.  S ) )
5150anbi2d 685 . . . . . . 7  |-  ( j  =  K  ->  (
( ph  /\  j  e.  S )  <->  ( ph  /\  K  e.  S ) ) )
52 csbeq1 3190 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  K  ->  [_ j  /  i ]_ B  =  [_ K  /  i ]_ B )
5352eleq1d 2446 . . . . . . 7  |-  ( j  =  K  ->  ( [_ j  /  i ]_ B  e.  CC  <->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC )
)
5451, 53imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( j  =  K  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  S )  ->  [_ j  /  i ]_ B  e.  CC ) 
<->  ( ( ph  /\  K  e.  S )  ->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC ) ) )
55 nfv 1626 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ph  /\  j  e.  S )
56 nfcsb1v 3219 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i [_ j  /  i ]_ B
5756nfel1 2526 . . . . . . . 8  |-  F/ i
[_ j  /  i ]_ B  e.  CC
5855, 57nfim 1822 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ( ph  /\  j  e.  S )  ->  [_ j  /  i ]_ B  e.  CC )
59 eleq1 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
i  e.  S  <->  j  e.  S ) )
6059anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
( ph  /\  i  e.  S )  <->  ( ph  /\  j  e.  S ) ) )
61 csbeq1a 3195 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  B  =  [_ j  /  i ]_ B )
6261eleq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ j  / 
i ]_ B  e.  CC ) )
6360, 62imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  S )  ->  B  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  S )  ->  [_ j  /  i ]_ B  e.  CC ) ) )
6458, 63, 22chvar 2012 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  [_ j  /  i ]_ B  e.  CC )
6554, 64vtoclg 2947 . . . . 5  |-  ( K  e.  S  ->  (
( ph  /\  K  e.  S )  ->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC ) )
6665anabsi7 793 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  S )  ->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC )
674, 66mpdan 650 . . 3  |-  ( ph  ->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC )
68 sumsns 12456 . . 3  |-  ( ( K  e.  S  /\  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC )  -> 
sum_ i  e.  { K } B  =  [_ K  /  i ]_ B
)
694, 67, 68syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  { K } B  =  [_ K  /  i ]_ B
)
7026, 49, 693eqtr3d 2420 1  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  S  ( ( F `  i )  x.  B
)  =  [_ K  /  i ]_ B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   [_csb 3187    \ cdif 3253   ifcif 3675   {csn 3750    e. cmpt 4200   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Fincfn 7038   CCcc 8914   0cc0 8916   1c1 8917    x. cmul 8921   sum_csu 12399
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-clim 12202  df-sum 12400
  Copyright terms: Public domain W3C validator