Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flcidc Unicode version

Theorem flcidc 27482
Description: Finite linear combinations with an indicator function. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
flcidc.f  |-  ( ph  ->  F  =  ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K , 
1 ,  0 ) ) )
flcidc.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
flcidc.k  |-  ( ph  ->  K  e.  S )
flcidc.b  |-  ( (
ph  /\  i  e.  S )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
flcidc  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  S  ( ( F `  i )  x.  B
)  =  [_ K  /  i ]_ B
)
Distinct variable groups:    ph, i, j   
i, F    S, i,
j    i, K, j    B, j
Allowed substitution hints:    B( i)    F( j)

Proof of Theorem flcidc
StepHypRef Expression
1 flcidc.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  =  ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K , 
1 ,  0 ) ) )
21fveq1d 5543 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  i
)  =  ( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `  i
) )
32adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( F `  i
)  =  ( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `  i
) )
4 flcidc.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  S )
54snssd 3776 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { K }  C_  S )
65sselda 3193 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
i  e.  S )
7 eqeq1 2302 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  i  ->  (
j  =  K  <->  i  =  K ) )
87ifbid 3596 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  i  ->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 )  =  if ( i  =  K , 
1 ,  0 ) )
9 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K , 
1 ,  0 ) )  =  ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K , 
1 ,  0 ) )
10 1ex 8849 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  _V
11 c0ex 8848 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
1210, 11ifex 3636 . . . . . . . . 9  |-  if ( i  =  K , 
1 ,  0 )  e.  _V
138, 9, 12fvmpt 5618 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  S  ->  (
( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `  i )  =  if ( i  =  K ,  1 ,  0 ) )
146, 13syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `
 i )  =  if ( i  =  K ,  1 ,  0 ) )
153, 14eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( F `  i
)  =  if ( i  =  K , 
1 ,  0 ) )
16 elsni 3677 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  { K }  ->  i  =  K )
17 iftrue 3584 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  K  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  1 )
1816, 17syl 15 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  { K }  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  1 )
1918adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  1 )
2015, 19eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( F `  i
)  =  1 )
2120oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  =  ( 1  x.  B ) )
22 flcidc.b . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  S )  ->  B  e.  CC )
236, 22syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  ->  B  e.  CC )
2423mulid2d 8869 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( 1  x.  B
)  =  B )
2521, 24eqtrd 2328 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  =  B )
2625sumeq2dv 12192 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  { K }  ( ( F `  i )  x.  B )  =  sum_ i  e.  { K } B )
27 ax-1cn 8811 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
28 0cn 8847 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
2927, 28keepel 3635 . . . . 5  |-  if ( i  =  K , 
1 ,  0 )  e.  CC
3015, 29syl6eqel 2384 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( F `  i
)  e.  CC )
3130, 23mulcld 8871 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  e.  CC )
322adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( F `  i
)  =  ( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `  i
) )
33 eldifi 3311 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( S  \  { K } )  -> 
i  e.  S )
3433adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
i  e.  S )
3534, 13syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `
 i )  =  if ( i  =  K ,  1 ,  0 ) )
3632, 35eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( F `  i
)  =  if ( i  =  K , 
1 ,  0 ) )
37 eldifn 3312 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( S  \  { K } )  ->  -.  i  e.  { K } )
38 elsn 3668 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  { K }  <->  i  =  K )
3937, 38sylnib 295 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( S  \  { K } )  ->  -.  i  =  K
)
40 iffalse 3585 . . . . . . . 8  |-  ( -.  i  =  K  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  0 )
4139, 40syl 15 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( S  \  { K } )  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  0 )
4241adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  0 )
4336, 42eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( F `  i
)  =  0 )
4443oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  =  ( 0  x.  B ) )
4534, 22syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  ->  B  e.  CC )
4645mul02d 9026 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( 0  x.  B
)  =  0 )
4744, 46eqtrd 2328 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  =  0 )
48 flcidc.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
495, 31, 47, 48fsumss 12214 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  { K }  ( ( F `  i )  x.  B )  =  sum_ i  e.  S  (
( F `  i
)  x.  B ) )
50 eleq1 2356 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  K  ->  (
j  e.  S  <->  K  e.  S ) )
5150anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( j  =  K  ->  (
( ph  /\  j  e.  S )  <->  ( ph  /\  K  e.  S ) ) )
52 csbeq1 3097 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  K  ->  [_ j  /  i ]_ B  =  [_ K  /  i ]_ B )
5352eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( j  =  K  ->  ( [_ j  /  i ]_ B  e.  CC  <->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC )
)
5451, 53imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( j  =  K  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  S )  ->  [_ j  /  i ]_ B  e.  CC ) 
<->  ( ( ph  /\  K  e.  S )  ->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC ) ) )
55 nfv 1609 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ph  /\  j  e.  S )
56 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i [_ j  /  i ]_ B
57 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i CC
5856, 57nfel 2440 . . . . . . . 8  |-  F/ i
[_ j  /  i ]_ B  e.  CC
5955, 58nfim 1781 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ( ph  /\  j  e.  S )  ->  [_ j  /  i ]_ B  e.  CC )
60 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
i  e.  S  <->  j  e.  S ) )
6160anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
( ph  /\  i  e.  S )  <->  ( ph  /\  j  e.  S ) ) )
62 csbeq1a 3102 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  B  =  [_ j  /  i ]_ B )
6362eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ j  / 
i ]_ B  e.  CC ) )
6461, 63imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  S )  ->  B  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  S )  ->  [_ j  /  i ]_ B  e.  CC ) ) )
6559, 64, 22chvar 1939 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  [_ j  /  i ]_ B  e.  CC )
6654, 65vtoclg 2856 . . . . 5  |-  ( K  e.  S  ->  (
( ph  /\  K  e.  S )  ->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC ) )
6766anabsi7 792 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  S )  ->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC )
684, 67mpdan 649 . . 3  |-  ( ph  ->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC )
69 sumsns 12231 . . 3  |-  ( ( K  e.  S  /\  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC )  -> 
sum_ i  e.  { K } B  =  [_ K  /  i ]_ B
)
704, 68, 69syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  { K } B  =  [_ K  /  i ]_ B
)
7126, 49, 703eqtr3d 2336 1  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  S  ( ( F `  i )  x.  B
)  =  [_ K  /  i ]_ B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   [_csb 3094    \ cdif 3162   ifcif 3578   {csn 3653    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758   sum_csu 12174
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175
  Copyright terms: Public domain W3C validator