Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flcidc Unicode version

Theorem flcidc 26791
Description: Finite linear combinations with an indicator function. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
flcidc.f  |-  ( ph  ->  F  =  ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K , 
1 ,  0 ) ) )
flcidc.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
flcidc.k  |-  ( ph  ->  K  e.  S )
flcidc.b  |-  ( (
ph  /\  i  e.  S )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
flcidc  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  S  ( ( F `  i )  x.  B
)  =  [_ K  /  i ]_ B
)
Distinct variable groups:    ph, i, j   
i, F    S, i,
j    i, K, j    B, j
Allowed substitution hints:    B( i)    F( j)

Proof of Theorem flcidc
StepHypRef Expression
1 flcidc.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  =  ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K , 
1 ,  0 ) ) )
21fveq1d 5527 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  i
)  =  ( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `  i
) )
32adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( F `  i
)  =  ( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `  i
) )
4 flcidc.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  S )
54snssd 3760 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { K }  C_  S )
65sselda 3180 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
i  e.  S )
7 eqeq1 2289 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  i  ->  (
j  =  K  <->  i  =  K ) )
87ifbid 3583 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  i  ->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 )  =  if ( i  =  K , 
1 ,  0 ) )
9 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K , 
1 ,  0 ) )  =  ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K , 
1 ,  0 ) )
10 1ex 8833 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  _V
11 c0ex 8832 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
1210, 11ifex 3623 . . . . . . . . 9  |-  if ( i  =  K , 
1 ,  0 )  e.  _V
138, 9, 12fvmpt 5602 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  S  ->  (
( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `  i )  =  if ( i  =  K ,  1 ,  0 ) )
146, 13syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `
 i )  =  if ( i  =  K ,  1 ,  0 ) )
153, 14eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( F `  i
)  =  if ( i  =  K , 
1 ,  0 ) )
16 elsni 3664 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  { K }  ->  i  =  K )
17 iftrue 3571 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  K  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  1 )
1816, 17syl 15 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  { K }  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  1 )
1918adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  1 )
2015, 19eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( F `  i
)  =  1 )
2120oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  =  ( 1  x.  B ) )
22 flcidc.b . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  S )  ->  B  e.  CC )
236, 22syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  ->  B  e.  CC )
2423mulid2d 8853 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( 1  x.  B
)  =  B )
2521, 24eqtrd 2315 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  =  B )
2625sumeq2dv 12176 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  { K }  ( ( F `  i )  x.  B )  =  sum_ i  e.  { K } B )
27 ax-1cn 8795 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
28 0cn 8831 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
2927, 28keepel 3622 . . . . 5  |-  if ( i  =  K , 
1 ,  0 )  e.  CC
3015, 29syl6eqel 2371 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( F `  i
)  e.  CC )
3130, 23mulcld 8855 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  e.  CC )
322adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( F `  i
)  =  ( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `  i
) )
33 eldifi 3298 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( S  \  { K } )  -> 
i  e.  S )
3433adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
i  e.  S )
3534, 13syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `
 i )  =  if ( i  =  K ,  1 ,  0 ) )
3632, 35eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( F `  i
)  =  if ( i  =  K , 
1 ,  0 ) )
37 eldifn 3299 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( S  \  { K } )  ->  -.  i  e.  { K } )
38 elsn 3655 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  { K }  <->  i  =  K )
3937, 38sylnib 295 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( S  \  { K } )  ->  -.  i  =  K
)
40 iffalse 3572 . . . . . . . 8  |-  ( -.  i  =  K  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  0 )
4139, 40syl 15 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( S  \  { K } )  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  0 )
4241adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  0 )
4336, 42eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( F `  i
)  =  0 )
4443oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  =  ( 0  x.  B ) )
4534, 22syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  ->  B  e.  CC )
4645mul02d 9010 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( 0  x.  B
)  =  0 )
4744, 46eqtrd 2315 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  =  0 )
48 flcidc.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
495, 31, 47, 48fsumss 12198 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  { K }  ( ( F `  i )  x.  B )  =  sum_ i  e.  S  (
( F `  i
)  x.  B ) )
50 eleq1 2343 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  K  ->  (
j  e.  S  <->  K  e.  S ) )
5150anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( j  =  K  ->  (
( ph  /\  j  e.  S )  <->  ( ph  /\  K  e.  S ) ) )
52 csbeq1 3084 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  K  ->  [_ j  /  i ]_ B  =  [_ K  /  i ]_ B )
5352eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( j  =  K  ->  ( [_ j  /  i ]_ B  e.  CC  <->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC )
)
5451, 53imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( j  =  K  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  S )  ->  [_ j  /  i ]_ B  e.  CC ) 
<->  ( ( ph  /\  K  e.  S )  ->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC ) ) )
55 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ph  /\  j  e.  S )
56 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i [_ j  /  i ]_ B
57 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i CC
5856, 57nfel 2427 . . . . . . . 8  |-  F/ i
[_ j  /  i ]_ B  e.  CC
5955, 58nfim 1769 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ( ph  /\  j  e.  S )  ->  [_ j  /  i ]_ B  e.  CC )
60 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
i  e.  S  <->  j  e.  S ) )
6160anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
( ph  /\  i  e.  S )  <->  ( ph  /\  j  e.  S ) ) )
62 csbeq1a 3089 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  B  =  [_ j  /  i ]_ B )
6362eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ j  / 
i ]_ B  e.  CC ) )
6461, 63imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  S )  ->  B  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  S )  ->  [_ j  /  i ]_ B  e.  CC ) ) )
6559, 64, 22chvar 1926 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  [_ j  /  i ]_ B  e.  CC )
6654, 65vtoclg 2843 . . . . 5  |-  ( K  e.  S  ->  (
( ph  /\  K  e.  S )  ->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC ) )
6766anabsi7 792 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  S )  ->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC )
684, 67mpdan 649 . . 3  |-  ( ph  ->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC )
69 sumsns 12215 . . 3  |-  ( ( K  e.  S  /\  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC )  -> 
sum_ i  e.  { K } B  =  [_ K  /  i ]_ B
)
704, 68, 69syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  { K } B  =  [_ K  /  i ]_ B
)
7126, 49, 703eqtr3d 2323 1  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  S  ( ( F `  i )  x.  B
)  =  [_ K  /  i ]_ B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   [_csb 3081    \ cdif 3149   ifcif 3565   {csn 3640    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742   sum_csu 12158
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
  Copyright terms: Public domain W3C validator