MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flcld Structured version   Unicode version

Theorem flcld 11209
Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
flcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
flcld  |-  ( ph  ->  ( |_ `  A
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem flcld
StepHypRef Expression
1 flcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 flcl 11206 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( |_ `  A
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726   ` cfv 5456   RRcr 8991   ZZcz 10284   |_cfl 11203
This theorem is referenced by:  flge  11216  flwordi  11221  flword2  11222  fladdz  11229  flhalf  11233  ceicl  11234  quoremz  11238  intfracq  11242  fldiv  11243  moddiffl  11261  moddifz  11262  zmodcl  11268  modadd1  11280  modmul1  11281  modsubdir  11287  iexpcyc  11487  absrdbnd  12147  limsupgre  12277  climrlim2  12343  dvdsmod  12908  divalgmod  12928  bitsp1  12945  bitsmod  12950  bitscmp  12952  bitsuz  12988  modgcd  13038  bezoutlem3  13042  hashdvds  13166  prmdiv  13176  odzdvds  13183  fldivp1  13268  pcfac  13270  pcbc  13271  prmreclem4  13289  vdwnnlem3  13367  odmod  15186  gexdvds  15220  zlpirlem3  16772  zcld  18846  ovolunlem1a  19394  opnmbllem  19495  mbfi1fseqlem5  19613  dvfsumlem1  19912  dvfsumlem3  19914  sineq0  20431  efif1olem2  20447  ppiltx  20962  dvdsflf1o  20974  ppiub  20990  fsumvma2  21000  logfac2  21003  chpchtsum  21005  pcbcctr  21062  bposlem1  21070  bposlem3  21072  bposlem4  21073  bposlem5  21074  bposlem6  21075  lgseisenlem4  21138  lgseisen  21139  lgsquadlem1  21140  lgsquadlem2  21141  chebbnd1lem2  21166  chebbnd1lem3  21167  rplogsumlem2  21181  rpvmasumlem  21183  dchrisumlema  21184  dchrisumlem3  21187  dchrvmasumiflem1  21197  dchrisum0lem1  21212  rplogsum  21223  mulog2sumlem2  21231  pntrsumo1  21261  pntrlog2bndlem2  21274  pntrlog2bndlem4  21276  pntpbnd1  21282  pntpbnd2  21283  pntlemg  21294  pntlemq  21297  pntlemr  21298  pntlemf  21301  ostth2lem2  21330  gxmodid  21869  dya2ub  24622  dya2icoseg  24629  ltflcei  26241  opnmbllem0  26244  itg2addnclem2  26259  cntotbnd  26507  irrapxlem1  26887  irrapxlem2  26888  irrapxlem3  26889  irrapxlem4  26890  pellexlem5  26898  pellfund14  26963  sineq0ALT  29051
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fl 11204
  Copyright terms: Public domain W3C validator