MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flcld Unicode version

Theorem flcld 10930
Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
flcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
flcld  |-  ( ph  ->  ( |_ `  A
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem flcld
StepHypRef Expression
1 flcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 flcl 10927 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( |_ `  A
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   ` cfv 5255   RRcr 8736   ZZcz 10024   |_cfl 10924
This theorem is referenced by:  flge  10937  flwordi  10942  flword2  10943  fladdz  10950  flhalf  10954  ceicl  10955  quoremz  10959  intfracq  10963  fldiv  10964  moddiffl  10982  moddifz  10983  zmodcl  10989  modadd1  11001  modmul1  11002  modsubdir  11008  iexpcyc  11207  absrdbnd  11825  limsupgre  11955  climrlim2  12021  dvdsmod  12585  divalgmod  12605  bitsp1  12622  bitsmod  12627  bitscmp  12629  bitsuz  12665  modgcd  12715  bezoutlem3  12719  hashdvds  12843  prmdiv  12853  odzdvds  12860  fldivp1  12945  pcfac  12947  pcbc  12948  prmreclem4  12966  vdwnnlem3  13044  odmod  14861  gexdvds  14895  zlpirlem3  16443  zcld  18319  ovolunlem1a  18855  opnmbllem  18956  mbfi1fseqlem5  19074  dvfsumlem1  19373  dvfsumlem3  19375  sineq0  19889  efif1olem2  19905  ppiltx  20415  dvdsflf1o  20427  ppiub  20443  fsumvma2  20453  logfac2  20456  chpchtsum  20458  pcbcctr  20515  bposlem1  20523  bposlem3  20525  bposlem4  20526  bposlem5  20527  bposlem6  20528  lgseisenlem4  20591  lgseisen  20592  lgsquadlem1  20593  lgsquadlem2  20594  chebbnd1lem2  20619  chebbnd1lem3  20620  rplogsumlem2  20634  rpvmasumlem  20636  dchrisumlema  20637  dchrisumlem3  20640  dchrvmasumiflem1  20650  dchrisum0lem1  20665  rplogsum  20676  mulog2sumlem2  20684  pntrsumo1  20714  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem4  20729  pntpbnd1  20735  pntpbnd2  20736  pntlemg  20747  pntlemq  20750  pntlemr  20751  pntlemf  20754  ostth2lem2  20783  gxmodid  20946  rdr  26435  cntotbnd  26520  irrapxlem1  26907  irrapxlem2  26908  irrapxlem3  26909  irrapxlem4  26910  pellexlem5  26918  pellfund14  26983
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fl 10925
  Copyright terms: Public domain W3C validator