Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flddmn Unicode version

Theorem flddmn 26786
Description: A field is a domain. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
flddmn  |-  ( K  e.  Fld  ->  K  e.  Dmn )

Proof of Theorem flddmn
StepHypRef Expression
1 divrngpr 26781 . . 3  |-  ( K  e.  DivRingOps  ->  K  e.  PrRing )
21anim1i 551 . 2  |-  ( ( K  e.  DivRingOps  /\  K  e. CRingOps )  ->  ( K  e. 
PrRing  /\  K  e. CRingOps )
)
3 isfld2 26733 . 2  |-  ( K  e.  Fld  <->  ( K  e. 
DivRingOps 
/\  K  e. CRingOps )
)
4 isdmn2 26783 . 2  |-  ( K  e.  Dmn  <->  ( K  e.  PrRing  /\  K  e. CRingOps ) )
52, 3, 43imtr4i 257 1  |-  ( K  e.  Fld  ->  K  e.  Dmn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696   DivRingOpscdrng 21088   Fldcfld 21096  CRingOpsccring 26723   PrRingcprrng 26774   Dmncdmn 26775
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-ablo 20965  df-ass 20996  df-exid 20998  df-mgm 21002  df-sgr 21014  df-mndo 21021  df-rngo 21059  df-drngo 21089  df-fld 21097  df-crngo 26724  df-idl 26738  df-pridl 26739  df-prrngo 26776  df-dmn 26777
  Copyright terms: Public domain W3C validator