Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flddmn Structured version   Unicode version

Theorem flddmn 26649
Description: A field is a domain. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
flddmn  |-  ( K  e.  Fld  ->  K  e.  Dmn )

Proof of Theorem flddmn
StepHypRef Expression
1 divrngpr 26644 . . 3  |-  ( K  e.  DivRingOps  ->  K  e.  PrRing )
21anim1i 552 . 2  |-  ( ( K  e.  DivRingOps  /\  K  e. CRingOps )  ->  ( K  e. 
PrRing  /\  K  e. CRingOps )
)
3 isfld2 26596 . 2  |-  ( K  e.  Fld  <->  ( K  e. 
DivRingOps 
/\  K  e. CRingOps )
)
4 isdmn2 26646 . 2  |-  ( K  e.  Dmn  <->  ( K  e.  PrRing  /\  K  e. CRingOps ) )
52, 3, 43imtr4i 258 1  |-  ( K  e.  Fld  ->  K  e.  Dmn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   DivRingOpscdrng 21985   Fldcfld 21993  CRingOpsccring 26586   PrRingcprrng 26637   Dmncdmn 26638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ginv 21773  df-ablo 21862  df-ass 21893  df-exid 21895  df-mgm 21899  df-sgr 21911  df-mndo 21918  df-rngo 21956  df-drngo 21986  df-fld 21994  df-crngo 26587  df-idl 26601  df-pridl 26602  df-prrngo 26639  df-dmn 26640
  Copyright terms: Public domain W3C validator