Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flddmn Unicode version

Theorem flddmn 26359
Description: A field is a domain. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
flddmn  |-  ( K  e.  Fld  ->  K  e.  Dmn )

Proof of Theorem flddmn
StepHypRef Expression
1 divrngpr 26354 . . 3  |-  ( K  e.  DivRingOps  ->  K  e.  PrRing )
21anim1i 552 . 2  |-  ( ( K  e.  DivRingOps  /\  K  e. CRingOps )  ->  ( K  e. 
PrRing  /\  K  e. CRingOps )
)
3 isfld2 26306 . 2  |-  ( K  e.  Fld  <->  ( K  e. 
DivRingOps 
/\  K  e. CRingOps )
)
4 isdmn2 26356 . 2  |-  ( K  e.  Dmn  <->  ( K  e.  PrRing  /\  K  e. CRingOps ) )
52, 3, 43imtr4i 258 1  |-  ( K  e.  Fld  ->  K  e.  Dmn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717   DivRingOpscdrng 21841   Fldcfld 21849  CRingOpsccring 26296   PrRingcprrng 26347   Dmncdmn 26348
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-1o 6660  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-grpo 21627  df-gid 21628  df-ginv 21629  df-ablo 21718  df-ass 21749  df-exid 21751  df-mgm 21755  df-sgr 21767  df-mndo 21774  df-rngo 21812  df-drngo 21842  df-fld 21850  df-crngo 26297  df-idl 26311  df-pridl 26312  df-prrngo 26349  df-dmn 26350
  Copyright terms: Public domain W3C validator