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Theorem fldi 25427
Description: The "axioms" of a field. (Contributed by FL, 15-Sep-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fldi.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
fldi.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
fldi.3  |-  X  =  ran  G
fldi.4  |-  Z  =  (GId `  G )
Assertion
Ref Expression
fldi  |-  ( R  e.  Fld  ->  (
( G  e.  AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) )  /\  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e.  GrpOp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x H y )  =  ( y H x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, G, y, z    x, H, y, z    x, R, y   
x, X, y, z
Allowed substitution hints:    R( z)    Z( x, y, z)

Proof of Theorem fldi
StepHypRef Expression
1 elin 3358 . . 3  |-  ( R  e.  ( DivRingOps  i^i  Com2 )  <->  ( R  e.  DivRingOps  /\  R  e. 
Com2 ) )
2 fldi.1 . . . . . 6  |-  G  =  ( 1st `  R
)
3 fldi.2 . . . . . 6  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
4 fldi.3 . . . . . 6  |-  X  =  ran  G
5 fldi.4 . . . . . 6  |-  Z  =  (GId `  G )
62, 3, 4, 5drngoi 21074 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( R  e.  RingOps 
/\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e.  GrpOp ) )
72, 3, 4com2i 25416 . . . . 5  |-  ( R  e.  Com2  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x H y )  =  ( y H x ) )
82, 3, 4rngoi 21047 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( G  e.  AbelOp  /\  H :
( X  X.  X
) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) ) )
9 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) )  /\  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e.  GrpOp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x H y )  =  ( y H x ) ) )  -> 
( ( G  e. 
AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) )  /\  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e.  GrpOp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x H y )  =  ( y H x ) ) ) )
1093expia 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) )  ->  ( ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x H y )  =  ( y H x ) )  ->  ( ( G  e.  AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) )  /\  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x H y )  =  ( y H x ) ) ) ) )
118, 10syl 15 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x H y )  =  ( y H x ) )  ->  ( ( G  e.  AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) )  /\  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x H y )  =  ( y H x ) ) ) ) )
1211expdimp 426 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x H y )  =  ( y H x )  ->  (
( G  e.  AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) )  /\  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e.  GrpOp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x H y )  =  ( y H x ) ) ) ) )
136, 7, 12syl2im 34 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( R  e. 
Com2  ->  ( ( G  e.  AbelOp  /\  H :
( X  X.  X
) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) )  /\  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e.  GrpOp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x H y )  =  ( y H x ) ) ) ) )
1413imp 418 . . 3  |-  ( ( R  e.  DivRingOps  /\  R  e. 
Com2 )  ->  (
( G  e.  AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) )  /\  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e.  GrpOp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x H y )  =  ( y H x ) ) ) )
151, 14sylbi 187 . 2  |-  ( R  e.  ( DivRingOps  i^i  Com2 )  ->  ( ( G  e. 
AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) )  /\  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e.  GrpOp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x H y )  =  ( y H x ) ) ) )
16 df-fld 21081 . 2  |-  Fld  =  (
DivRingOps 
i^i  Com2 )
1715, 16eleq2s 2375 1  |-  ( R  e.  Fld  ->  (
( G  e.  AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) )  /\  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e.  GrpOp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x H y )  =  ( y H x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    i^i cin 3151   {csn 3640    X. cxp 4687   ran crn 4690    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   GrpOpcgr 20853  GIdcgi 20854   AbelOpcablo 20948   RingOpscrngo 21042   DivRingOpscdrng 21072   Com2ccm2 21077   Fldcfld 21080
This theorem is referenced by:  fldax1  25428  fldax2  25429  fldax3  25430  fldax4  25431  fldax5  25432  fldax6  25433  fldax7  25434
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-rngo 21043  df-drngo 21073  df-com2 21078  df-fld 21081
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