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Theorem fldiv 11233
Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
fldiv  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  =  ( |_
`  ( A  /  N ) ) )

Proof of Theorem fldiv
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( |_
`  A )  =  ( |_ `  A
)
2 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( A  -  ( |_ `  A ) )  =  ( A  -  ( |_ `  A ) )
31, 2intfrac2 11231 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) )  /\  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  /\  A  =  ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) ) )
43simp3d 971 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =  ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) )
54adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  A  =  ( ( |_ `  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) )
65oveq1d 6088 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /  N ) )
7 reflcl 11197 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
87recnd 9106 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  CC )
98adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  A
)  e.  CC )
10 resubcl 9357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( |_ `  A )  e.  RR )  -> 
( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
117, 10mpdan 650 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
1211recnd 9106 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC )
1312adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC )
14 nncn 10000 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
15 nnne0 10024 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
1614, 15jca 519 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
1716adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
18 divdir 9693 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /  N )  =  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
199, 13, 17, 18syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /  N )  =  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
206, 19eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
21 flcl 11196 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
22 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  =  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )
23 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  =  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )
2422, 23intfracq 11232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0  <_  (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  /\  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N )  /\  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) ) )
2524simp3d 971 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) )
2621, 25sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) )
2726oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
287adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  A
)  e.  RR )
29 nnre 9999 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
3029adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
3115adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  N  =/=  0 )
3228, 30, 31redivcld 9834 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  e.  RR )
33 reflcl 11197 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  e.  RR )
3432, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  RR )
3534recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  CC )
3632, 34resubcld 9457 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  RR )
3736recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  CC )
3811adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
3938, 30, 31redivcld 9834 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  RR )
4039recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  CC )
4135, 37, 40addassd 9102 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  =  ( ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) ) ) )
4220, 27, 413eqtrd 2471 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )
4342fveq2d 5724 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( A  /  N ) )  =  ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) ) )
4424simp1d 969 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) ) )
4521, 44sylan 458 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) ) )
46 fracge0 11205 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )
4711, 46jca 519 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) )
48 nngt0 10021 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
4929, 48jca 519 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
50 divge0 9871 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
0  <_  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )
5147, 49, 50syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )
5236, 39, 45, 51addge0d 9594 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
53 peano2rem 9359 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
5429, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
5554, 29, 15redivcld 9834 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  e.  RR )
56 nnrecre 10028 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
5755, 56jca 519 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  /  N
)  e.  RR  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR ) )
5857adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  e.  RR  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR ) )
5936, 39, 58jca31 521 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  e.  RR  /\  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N )  e.  RR )  /\  (
( ( N  - 
1 )  /  N
)  e.  RR  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR ) ) )
6024simp2d 970 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
6121, 60sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
62 fraclt1 11203 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1 )
6362adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1 )
64 1re 9082 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
65 ltdiv1 9866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
6664, 65mp3an2 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
6711, 49, 66syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
6863, 67mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  <  ( 1  /  N ) )
6961, 68jca 519 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N )  /\  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  <  ( 1  /  N ) ) )
70 leltadd 9504 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  e.  RR  /\  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  RR )  /\  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  e.  RR  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR ) )  ->  ( (
( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N )  /\  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) )  ->  (
( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  < 
( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) ) ) )
7159, 69, 70sylc 58 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  <  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
72 ax-1cn 9040 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
73 npcan 9306 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
7414, 72, 73sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
7574oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  N )  =  ( N  /  N ) )
7654recnd 9106 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
77 divdir 9693 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) ) )
7872, 77mp3an2 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( (
( N  -  1 )  +  1 )  /  N )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) ) )
7976, 14, 15, 78syl12anc 1182 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  N )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
8014, 15dividd 9780 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  N )  =  1 )
8175, 79, 803eqtr3d 2475 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  /  N
)  +  ( 1  /  N ) )  =  1 )
8281adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) )  =  1 )
8371, 82breqtrd 4228 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  <  1 )
8432flcld 11199 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ )
8536, 39readdcld 9107 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  e.  RR )
86 flbi2 11216 . . . 4  |-  ( ( ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  e.  RR )  -> 
( ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  <->  ( 0  <_  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  <  1 ) ) )
8784, 85, 86syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  <->  ( 0  <_  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  <  1 ) ) )
8852, 83, 87mpbir2and 889 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )
8943, 88eqtr2d 2468 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  =  ( |_
`  ( A  /  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   ZZcz 10274   |_cfl 11193
This theorem is referenced by:  fldiv2  11234  modmulnn  11257  digit2  11504  bitsp1  12935
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fl 11194
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