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Theorem fldiv 10964
Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
fldiv  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  =  ( |_
`  ( A  /  N ) ) )

Proof of Theorem fldiv
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( |_
`  A )  =  ( |_ `  A
)
2 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( A  -  ( |_ `  A ) )  =  ( A  -  ( |_ `  A ) )
31, 2intfrac2 10962 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) )  /\  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  /\  A  =  ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) ) )
43simp3d 969 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =  ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) )
54adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  A  =  ( ( |_ `  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) )
65oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /  N ) )
7 reflcl 10928 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
87recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  CC )
98adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  A
)  e.  CC )
10 resubcl 9111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( |_ `  A )  e.  RR )  -> 
( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
117, 10mpdan 649 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
1211recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC )
1312adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC )
14 nncn 9754 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
15 nnne0 9778 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
1614, 15jca 518 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
1716adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
18 divdir 9447 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /  N )  =  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
199, 13, 17, 18syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /  N )  =  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
206, 19eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
21 flcl 10927 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
22 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  =  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )
23 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  =  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )
2422, 23intfracq 10963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0  <_  (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  /\  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N )  /\  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) ) )
2524simp3d 969 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) )
2621, 25sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) )
2726oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
287adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  A
)  e.  RR )
29 nnre 9753 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
3029adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
3115adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  N  =/=  0 )
3228, 30, 31redivcld 9588 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  e.  RR )
33 reflcl 10928 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  e.  RR )
3432, 33syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  RR )
3534recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  CC )
3632, 34resubcld 9211 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  RR )
3736recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  CC )
3811adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
3938, 30, 31redivcld 9588 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  RR )
4039recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  CC )
4135, 37, 40addassd 8857 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  =  ( ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) ) ) )
4220, 27, 413eqtrd 2319 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )
4342fveq2d 5529 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( A  /  N ) )  =  ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) ) )
4424simp1d 967 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) ) )
4521, 44sylan 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) ) )
46 fracge0 10936 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )
4711, 46jca 518 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) )
48 nngt0 9775 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
4929, 48jca 518 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
50 divge0 9625 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
0  <_  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )
5147, 49, 50syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )
5236, 39, 45, 51addge0d 9348 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
53 peano2rem 9113 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
5429, 53syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
5554, 29, 15redivcld 9588 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  e.  RR )
56 nnrecre 9782 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
5755, 56jca 518 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  /  N
)  e.  RR  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR ) )
5857adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  e.  RR  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR ) )
5936, 39, 58jca31 520 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  e.  RR  /\  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N )  e.  RR )  /\  (
( ( N  - 
1 )  /  N
)  e.  RR  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR ) ) )
6024simp2d 968 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
6121, 60sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
62 fraclt1 10934 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1 )
6362adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1 )
64 1re 8837 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
65 ltdiv1 9620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
6664, 65mp3an2 1265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
6711, 49, 66syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
6863, 67mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  <  ( 1  /  N ) )
6961, 68jca 518 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N )  /\  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  <  ( 1  /  N ) ) )
70 leltadd 9258 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  e.  RR  /\  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  RR )  /\  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  e.  RR  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR ) )  ->  ( (
( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N )  /\  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) )  ->  (
( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  < 
( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) ) ) )
7159, 69, 70sylc 56 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  <  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
72 ax-1cn 8795 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
73 npcan 9060 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
7414, 72, 73sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
7574oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  N )  =  ( N  /  N ) )
7654recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
77 divdir 9447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) ) )
7872, 77mp3an2 1265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( (
( N  -  1 )  +  1 )  /  N )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) ) )
7976, 14, 15, 78syl12anc 1180 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  N )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
8014, 15dividd 9534 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  N )  =  1 )
8175, 79, 803eqtr3d 2323 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  /  N
)  +  ( 1  /  N ) )  =  1 )
8281adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) )  =  1 )
8371, 82breqtrd 4047 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  <  1 )
8432flcld 10930 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ )
8536, 39readdcld 8862 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  e.  RR )
86 flbi2 10947 . . . 4  |-  ( ( ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  e.  RR )  -> 
( ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  <->  ( 0  <_  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  <  1 ) ) )
8784, 85, 86syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  <->  ( 0  <_  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  <  1 ) ) )
8852, 83, 87mpbir2and 888 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )
8943, 88eqtr2d 2316 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  =  ( |_
`  ( A  /  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   ZZcz 10024   |_cfl 10924
This theorem is referenced by:  fldiv2  10965  modmulnn  10988  digit2  11234  bitsp1  12622
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fl 10925
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