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Theorem fldiv 10980
Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
fldiv  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  =  ( |_
`  ( A  /  N ) ) )

Proof of Theorem fldiv
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( |_
`  A )  =  ( |_ `  A
)
2 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( A  -  ( |_ `  A ) )  =  ( A  -  ( |_ `  A ) )
31, 2intfrac2 10978 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) )  /\  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  /\  A  =  ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) ) )
43simp3d 969 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =  ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) )
54adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  A  =  ( ( |_ `  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) )
65oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /  N ) )
7 reflcl 10944 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
87recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  CC )
98adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  A
)  e.  CC )
10 resubcl 9127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( |_ `  A )  e.  RR )  -> 
( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
117, 10mpdan 649 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
1211recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC )
1312adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC )
14 nncn 9770 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
15 nnne0 9794 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
1614, 15jca 518 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
1716adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
18 divdir 9463 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /  N )  =  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
199, 13, 17, 18syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /  N )  =  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
206, 19eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
21 flcl 10943 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
22 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  =  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )
23 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  =  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )
2422, 23intfracq 10979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0  <_  (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  /\  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N )  /\  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) ) )
2524simp3d 969 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) )
2621, 25sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) )
2726oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
287adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  A
)  e.  RR )
29 nnre 9769 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
3029adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
3115adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  N  =/=  0 )
3228, 30, 31redivcld 9604 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  e.  RR )
33 reflcl 10944 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  e.  RR )
3432, 33syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  RR )
3534recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  CC )
3632, 34resubcld 9227 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  RR )
3736recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  CC )
3811adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
3938, 30, 31redivcld 9604 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  RR )
4039recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  CC )
4135, 37, 40addassd 8873 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  =  ( ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) ) ) )
4220, 27, 413eqtrd 2332 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )
4342fveq2d 5545 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( A  /  N ) )  =  ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) ) )
4424simp1d 967 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) ) )
4521, 44sylan 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) ) )
46 fracge0 10952 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )
4711, 46jca 518 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) )
48 nngt0 9791 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
4929, 48jca 518 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
50 divge0 9641 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
0  <_  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )
5147, 49, 50syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )
5236, 39, 45, 51addge0d 9364 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
53 peano2rem 9129 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
5429, 53syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
5554, 29, 15redivcld 9604 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  e.  RR )
56 nnrecre 9798 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
5755, 56jca 518 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  /  N
)  e.  RR  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR ) )
5857adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  e.  RR  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR ) )
5936, 39, 58jca31 520 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  e.  RR  /\  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N )  e.  RR )  /\  (
( ( N  - 
1 )  /  N
)  e.  RR  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR ) ) )
6024simp2d 968 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
6121, 60sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
62 fraclt1 10950 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1 )
6362adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1 )
64 1re 8853 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
65 ltdiv1 9636 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
6664, 65mp3an2 1265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
6711, 49, 66syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
6863, 67mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  <  ( 1  /  N ) )
6961, 68jca 518 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N )  /\  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  <  ( 1  /  N ) ) )
70 leltadd 9274 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  e.  RR  /\  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  RR )  /\  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  e.  RR  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR ) )  ->  ( (
( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N )  /\  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) )  ->  (
( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  < 
( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) ) ) )
7159, 69, 70sylc 56 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  <  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
72 ax-1cn 8811 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
73 npcan 9076 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
7414, 72, 73sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
7574oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  N )  =  ( N  /  N ) )
7654recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
77 divdir 9463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) ) )
7872, 77mp3an2 1265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( (
( N  -  1 )  +  1 )  /  N )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) ) )
7976, 14, 15, 78syl12anc 1180 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  N )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
8014, 15dividd 9550 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  N )  =  1 )
8175, 79, 803eqtr3d 2336 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  /  N
)  +  ( 1  /  N ) )  =  1 )
8281adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) )  =  1 )
8371, 82breqtrd 4063 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  <  1 )
8432flcld 10946 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ )
8536, 39readdcld 8878 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  e.  RR )
86 flbi2 10963 . . . 4  |-  ( ( ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  e.  RR )  -> 
( ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  <->  ( 0  <_  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  <  1 ) ) )
8784, 85, 86syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  <->  ( 0  <_  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  <  1 ) ) )
8852, 83, 87mpbir2and 888 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )
8943, 88eqtr2d 2329 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  =  ( |_
`  ( A  /  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   ZZcz 10040   |_cfl 10940
This theorem is referenced by:  fldiv2  10981  modmulnn  11004  digit2  11250  bitsp1  12638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fl 10941
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