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Theorem fldivp1 12945
Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
fldivp1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  if ( N 
||  ( M  + 
1 ) ,  1 ,  0 ) )

Proof of Theorem fldivp1
StepHypRef Expression
1 nnz 10045 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
21adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
3 nnne0 9778 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
43adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  =/=  0 )
5 peano2z 10060 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
65adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
7 dvdsval2 12534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0  /\  ( M  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( N  ||  ( M  +  1 )  <-> 
( ( M  + 
1 )  /  N
)  e.  ZZ ) )
82, 4, 6, 7syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  ( M  +  1 )  <-> 
( ( M  + 
1 )  /  N
)  e.  ZZ ) )
98biimpa 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( M  +  1 )  /  N )  e.  ZZ )
10 flid 10939 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )
119, 10syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  =  ( ( M  +  1 )  /  N ) )
12 nnm1nn0 10005 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
1312nn0red 10019 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
1412nn0ge0d 10021 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( N  -  1 ) )
15 nnre 9753 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
16 nngt0 9775 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
17 divge0 9625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( N  -  1 ) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )  -> 
0  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
1813, 14, 15, 16, 17syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( ( N  - 
1 )  /  N
) )
1918ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  0  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
2015ltm1d 9689 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  <  N )
21 nncn 9754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2221mulid1d 8852 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
2320, 22breqtrrd 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  <  ( N  x.  1 ) )
24 1re 8837 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
2524a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
26 ltdivmul 9628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( ( N  -  1 )  /  N )  <  1  <->  ( N  -  1 )  <  ( N  x.  1 ) ) )
2713, 25, 15, 16, 26syl112anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  /  N
)  <  1  <->  ( N  -  1 )  < 
( N  x.  1 ) ) )
2823, 27mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  <  1 )
2928ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( N  -  1 )  /  N )  <  1 )
30 nndivre 9781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  /  N
)  e.  RR )
3113, 30mpancom 650 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  e.  RR )
3231ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( N  -  1 )  /  N )  e.  RR )
33 flbi2 10947 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  + 
1 )  /  N
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  - 
1 )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  - 
1 )  /  N
) ) )  =  ( ( M  + 
1 )  /  N
)  <->  ( 0  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  N
)  /\  ( ( N  -  1 )  /  N )  <  1 ) ) )
349, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  - 
1 )  /  N
) ) )  =  ( ( M  + 
1 )  /  N
)  <->  ( 0  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  N
)  /\  ( ( N  -  1 )  /  N )  <  1 ) ) )
3519, 29, 34mpbir2and 888 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  /  N ) )
3611, 35eqtr4d 2318 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  =  ( |_ `  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) ) ) )
37 zcn 10029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
3837adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
39 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
4039a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
4121adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
4238, 40, 41ppncand 9197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  =  ( M  +  N ) )
4342oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  /  N
)  =  ( ( M  +  N )  /  N ) )
446zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
45 subcl 9051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
4621, 39, 45sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
4746adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
4844, 47, 41, 4divdird 9574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  /  N
)  =  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) ) )
4943, 48eqtr3d 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  +  N )  /  N
)  =  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) ) )
5038, 41, 41, 4divdird 9574 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  +  N )  /  N
)  =  ( ( M  /  N )  +  ( N  /  N ) ) )
5149, 50eqtr3d 2317 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) )  =  ( ( M  /  N )  +  ( N  /  N ) ) )
5241, 4dividd 9534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  /  N
)  =  1 )
5352oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  /  N )  +  ( N  /  N ) )  =  ( ( M  /  N )  +  1 ) )
5451, 53eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) )  =  ( ( M  /  N )  +  1 ) )
5554fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( ( M  + 
1 )  /  N
)  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( |_
`  ( ( M  /  N )  +  1 ) ) )
5655adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( |_ `  ( ( M  /  N )  +  1 ) ) )
57 zre 10028 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
58 nndivre 9781 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  /  N
)  e.  RR )
5957, 58sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  /  N
)  e.  RR )
60 1z 10053 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
61 fladdz 10950 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  /  N
)  e.  RR  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( M  /  N
)  +  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( M  /  N ) )  +  1 ) )
6259, 60, 61sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( M  /  N
)  +  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( M  /  N ) )  +  1 ) )
6362adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( ( M  /  N )  +  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( M  /  N ) )  +  1 ) )
6436, 56, 633eqtrrd 2320 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  ( M  /  N ) )  +  1 )  =  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )
65 zre 10028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
665, 65syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
67 nndivre 9781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  /  N
)  e.  RR )
6866, 67sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  /  N
)  e.  RR )
6968flcld 10930 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  e.  ZZ )
7069zcnd 10118 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  e.  CC )
7159flcld 10930 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( M  /  N ) )  e.  ZZ )
7271zcnd 10118 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( M  /  N ) )  e.  CC )
7370, 72, 40subaddd 9175 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  1  <->  (
( |_ `  ( M  /  N ) )  +  1 )  =  ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) ) ) )
7473adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( (
( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_
`  ( M  /  N ) ) )  =  1  <->  ( ( |_ `  ( M  /  N ) )  +  1 )  =  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) )
7564, 74mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  1 )
76 iftrue 3571 . . . 4  |-  ( N 
||  ( M  + 
1 )  ->  if ( N  ||  ( M  +  1 ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
7776adantl 452 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  if ( N  ||  ( M  + 
1 ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
7875, 77eqtr4d 2318 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  if ( N  ||  ( M  +  1 ) ,  1 ,  0 ) )
79 zmodcl 10989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  e.  NN0 )
805, 79sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  e.  NN0 )
8180nn0red 10019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  e.  RR )
82 resubcl 9111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  e.  RR )
8381, 24, 82sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  e.  RR )
8483adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  e.  RR )
85 elnn0 9967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN0  <->  ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN  \/  ( ( M  +  1 )  mod  N )  =  0 ) )
8680, 85sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  e.  NN  \/  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  =  0 ) )
8786ord 366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( -.  ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN  ->  ( ( M  +  1 )  mod  N )  =  0 ) )
88 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
89 dvdsval3 12535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( M  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  ( M  +  1
)  <->  ( ( M  +  1 )  mod 
N )  =  0 ) )
9088, 5, 89syl2anr 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  ( M  +  1 )  <-> 
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  =  0 ) )
9187, 90sylibrd 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( -.  ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN  ->  N  ||  ( M  +  1 ) ) )
9291con1d 116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( -.  N  ||  ( M  +  1
)  ->  ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN ) )
9392imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN )
94 nnm1nn0 10005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN  ->  (
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  e.  NN0 )
9593, 94syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  e.  NN0 )
9695nn0ge0d 10021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  0  <_  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) )
9715, 16jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
9897ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
99 divge0 9625 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
( M  +  1 )  mod  N )  -  1 ) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )  -> 
0  <_  ( (
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  /  N ) )
10084, 96, 98, 99syl21anc 1181 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  0  <_  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
) )
10115adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
10281ltm1d 9689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  <  ( ( M  +  1 )  mod  N ) )
103 nnrp 10363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
104 modlt 10981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  -> 
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  <  N )
10566, 103, 104syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  <  N )
10683, 81, 101, 102, 105lttrd 8977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  <  N )
10741mulid1d 8852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
108106, 107breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  <  ( N  x.  1 ) )
10924a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
11016adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
111 ltdivmul 9628 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  -  1 )  /  N )  <  1  <->  ( ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  <  ( N  x.  1 ) ) )
11283, 109, 101, 110, 111syl112anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  -  1 )  /  N )  <  1  <->  ( ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  <  ( N  x.  1 ) ) )
113108, 112mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  <  1 )
114113adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  /  N )  <  1 )
115 nndivre 9781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  e.  RR )
11683, 115sylancom 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  e.  RR )
117 flbi2 10947 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  +  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
) ) )  =  ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  <->  ( 0  <_ 
( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  /\  ( (
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  /  N )  <  1 ) ) )
11869, 116, 117syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  +  ( ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  <-> 
( 0  <_  (
( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  /  N )  /\  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  -  1 )  /  N )  <  1
) ) )
119118adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( |_ `  (
( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  +  ( ( ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  <->  ( 0  <_  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  -  1 )  /  N )  /\  (
( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  /  N )  <  1 ) ) )
120100, 114, 119mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  +  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
) ) )  =  ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) ) )
121 modval 10975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  -> 
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  =  ( ( M  +  1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
12266, 103, 121syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  =  ( ( M  +  1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
123122oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  =  ( ( ( M  +  1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) ) ) )  -  1 ) )
12441, 70mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )  e.  CC )
12544, 40, 124sub32d 9189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) ) ) )  =  ( ( ( M  +  1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) )  -  1 ) )
126123, 125eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  =  ( ( ( M  +  1 )  -  1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
127 pncan 9057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
12838, 39, 127sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
129128oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) ) ) )  =  ( M  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
130126, 129eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  =  ( M  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
131130oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  =  ( ( M  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) ) ) )  /  N ) )
13238, 124, 41, 4divsubdird 9575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) )  /  N )  =  ( ( M  /  N )  -  ( ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )  /  N ) ) )
13370, 41, 4divcan3d 9541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )  /  N )  =  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) ) )
134133oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  /  N )  -  (
( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )  /  N ) )  =  ( ( M  /  N )  -  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) )
135131, 132, 1343eqtrrd 2320 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  /  N )  -  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  -  1 )  /  N ) )
13659recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  /  N
)  e.  CC )
137116recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  e.  CC )
138136, 70, 137subaddd 9175 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  N )  -  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  /  N )  <->  ( ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  +  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
) )  =  ( M  /  N ) ) )
139135, 138mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  +  ( ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  /  N ) )  =  ( M  /  N ) )
140139adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  +  ( ( ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  /  N ) )  =  ( M  /  N ) )
141140fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  +  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
) ) )  =  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )
142120, 141eqtr3d 2317 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )
143 subeq0 9073 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  e.  CC  /\  ( |_ `  ( M  /  N ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  0  <->  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( M  /  N ) ) ) )
14470, 72, 143syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  0  <->  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( M  /  N ) ) ) )
145144adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  0  <->  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  =  ( |_ `  ( M  /  N ) ) ) )
146142, 145mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_
`  ( M  /  N ) ) )  =  0 )
147 iffalse 3572 . . . 4  |-  ( -.  N  ||  ( M  +  1 )  ->  if ( N  ||  ( M  +  1 ) ,  1 ,  0 )  =  0 )
148147adantl 452 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  if ( N  ||  ( M  +  1 ) ,  1 ,  0 )  =  0 )
149146, 148eqtr4d 2318 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_
`  ( M  /  N ) ) )  =  if ( N 
||  ( M  + 
1 ) ,  1 ,  0 ) )
15078, 149pm2.61dan 766 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  if ( N 
||  ( M  + 
1 ) ,  1 ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   ifcif 3565   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   RR+crp 10354   |_cfl 10924    mod cmo 10973    || cdivides 12531
This theorem is referenced by:  pcfac  12947
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fl 10925  df-mod 10974  df-dvds 12532
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