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Theorem fldivp1 12961
Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
fldivp1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  if ( N 
||  ( M  + 
1 ) ,  1 ,  0 ) )

Proof of Theorem fldivp1
StepHypRef Expression
1 nnz 10061 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
21adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
3 nnne0 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
43adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  =/=  0 )
5 peano2z 10076 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
65adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
7 dvdsval2 12550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0  /\  ( M  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( N  ||  ( M  +  1 )  <-> 
( ( M  + 
1 )  /  N
)  e.  ZZ ) )
82, 4, 6, 7syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  ( M  +  1 )  <-> 
( ( M  + 
1 )  /  N
)  e.  ZZ ) )
98biimpa 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( M  +  1 )  /  N )  e.  ZZ )
10 flid 10955 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )
119, 10syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  =  ( ( M  +  1 )  /  N ) )
12 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
1312nn0red 10035 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
1412nn0ge0d 10037 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( N  -  1 ) )
15 nnre 9769 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
16 nngt0 9791 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
17 divge0 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( N  -  1 ) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )  -> 
0  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
1813, 14, 15, 16, 17syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( ( N  - 
1 )  /  N
) )
1918ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  0  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
2015ltm1d 9705 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  <  N )
21 nncn 9770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2221mulid1d 8868 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
2320, 22breqtrrd 4065 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  <  ( N  x.  1 ) )
24 1re 8853 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
2524a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
26 ltdivmul 9644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( ( N  -  1 )  /  N )  <  1  <->  ( N  -  1 )  <  ( N  x.  1 ) ) )
2713, 25, 15, 16, 26syl112anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  /  N
)  <  1  <->  ( N  -  1 )  < 
( N  x.  1 ) ) )
2823, 27mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  <  1 )
2928ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( N  -  1 )  /  N )  <  1 )
30 nndivre 9797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  /  N
)  e.  RR )
3113, 30mpancom 650 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  e.  RR )
3231ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( N  -  1 )  /  N )  e.  RR )
33 flbi2 10963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  + 
1 )  /  N
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  - 
1 )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  - 
1 )  /  N
) ) )  =  ( ( M  + 
1 )  /  N
)  <->  ( 0  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  N
)  /\  ( ( N  -  1 )  /  N )  <  1 ) ) )
349, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  - 
1 )  /  N
) ) )  =  ( ( M  + 
1 )  /  N
)  <->  ( 0  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  N
)  /\  ( ( N  -  1 )  /  N )  <  1 ) ) )
3519, 29, 34mpbir2and 888 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  /  N ) )
3611, 35eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  =  ( |_ `  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) ) ) )
37 zcn 10045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
3837adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
39 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
4039a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
4121adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
4238, 40, 41ppncand 9213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  =  ( M  +  N ) )
4342oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  /  N
)  =  ( ( M  +  N )  /  N ) )
446zcnd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
45 subcl 9067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
4621, 39, 45sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
4746adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
4844, 47, 41, 4divdird 9590 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  /  N
)  =  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) ) )
4943, 48eqtr3d 2330 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  +  N )  /  N
)  =  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) ) )
5038, 41, 41, 4divdird 9590 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  +  N )  /  N
)  =  ( ( M  /  N )  +  ( N  /  N ) ) )
5149, 50eqtr3d 2330 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) )  =  ( ( M  /  N )  +  ( N  /  N ) ) )
5241, 4dividd 9550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  /  N
)  =  1 )
5352oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  /  N )  +  ( N  /  N ) )  =  ( ( M  /  N )  +  1 ) )
5451, 53eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) )  =  ( ( M  /  N )  +  1 ) )
5554fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( ( M  + 
1 )  /  N
)  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( |_
`  ( ( M  /  N )  +  1 ) ) )
5655adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( |_ `  ( ( M  /  N )  +  1 ) ) )
57 zre 10044 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
58 nndivre 9797 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  /  N
)  e.  RR )
5957, 58sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  /  N
)  e.  RR )
60 1z 10069 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
61 fladdz 10966 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  /  N
)  e.  RR  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( M  /  N
)  +  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( M  /  N ) )  +  1 ) )
6259, 60, 61sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( M  /  N
)  +  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( M  /  N ) )  +  1 ) )
6362adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( ( M  /  N )  +  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( M  /  N ) )  +  1 ) )
6436, 56, 633eqtrrd 2333 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  ( M  /  N ) )  +  1 )  =  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )
65 zre 10044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
665, 65syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
67 nndivre 9797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  /  N
)  e.  RR )
6866, 67sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  /  N
)  e.  RR )
6968flcld 10946 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  e.  ZZ )
7069zcnd 10134 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  e.  CC )
7159flcld 10946 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( M  /  N ) )  e.  ZZ )
7271zcnd 10134 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( M  /  N ) )  e.  CC )
7370, 72, 40subaddd 9191 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  1  <->  (
( |_ `  ( M  /  N ) )  +  1 )  =  ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) ) ) )
7473adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( (
( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_
`  ( M  /  N ) ) )  =  1  <->  ( ( |_ `  ( M  /  N ) )  +  1 )  =  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) )
7564, 74mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  1 )
76 iftrue 3584 . . . 4  |-  ( N 
||  ( M  + 
1 )  ->  if ( N  ||  ( M  +  1 ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
7776adantl 452 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  if ( N  ||  ( M  + 
1 ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
7875, 77eqtr4d 2331 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  if ( N  ||  ( M  +  1 ) ,  1 ,  0 ) )
79 zmodcl 11005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  e.  NN0 )
805, 79sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  e.  NN0 )
8180nn0red 10035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  e.  RR )
82 resubcl 9127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  e.  RR )
8381, 24, 82sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  e.  RR )
8483adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  e.  RR )
85 elnn0 9983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN0  <->  ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN  \/  ( ( M  +  1 )  mod  N )  =  0 ) )
8680, 85sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  e.  NN  \/  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  =  0 ) )
8786ord 366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( -.  ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN  ->  ( ( M  +  1 )  mod  N )  =  0 ) )
88 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
89 dvdsval3 12551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( M  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  ( M  +  1
)  <->  ( ( M  +  1 )  mod 
N )  =  0 ) )
9088, 5, 89syl2anr 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  ( M  +  1 )  <-> 
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  =  0 ) )
9187, 90sylibrd 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( -.  ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN  ->  N  ||  ( M  +  1 ) ) )
9291con1d 116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( -.  N  ||  ( M  +  1
)  ->  ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN ) )
9392imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN )
94 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN  ->  (
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  e.  NN0 )
9593, 94syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  e.  NN0 )
9695nn0ge0d 10037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  0  <_  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) )
9715, 16jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
9897ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
99 divge0 9641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
( M  +  1 )  mod  N )  -  1 ) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )  -> 
0  <_  ( (
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  /  N ) )
10084, 96, 98, 99syl21anc 1181 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  0  <_  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
) )
10115adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
10281ltm1d 9705 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  <  ( ( M  +  1 )  mod  N ) )
103 nnrp 10379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
104 modlt 10997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  -> 
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  <  N )
10566, 103, 104syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  <  N )
10683, 81, 101, 102, 105lttrd 8993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  <  N )
10741mulid1d 8868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
108106, 107breqtrrd 4065 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  <  ( N  x.  1 ) )
10924a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
11016adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
111 ltdivmul 9644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  -  1 )  /  N )  <  1  <->  ( ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  <  ( N  x.  1 ) ) )
11283, 109, 101, 110, 111syl112anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  -  1 )  /  N )  <  1  <->  ( ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  <  ( N  x.  1 ) ) )
113108, 112mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  <  1 )
114113adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  /  N )  <  1 )
115 nndivre 9797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  e.  RR )
11683, 115sylancom 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  e.  RR )
117 flbi2 10963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  +  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
) ) )  =  ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  <->  ( 0  <_ 
( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  /\  ( (
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  /  N )  <  1 ) ) )
11869, 116, 117syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  +  ( ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  <-> 
( 0  <_  (
( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  /  N )  /\  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  -  1 )  /  N )  <  1
) ) )
119118adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( |_ `  (
( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  +  ( ( ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  <->  ( 0  <_  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  -  1 )  /  N )  /\  (
( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  /  N )  <  1 ) ) )
120100, 114, 119mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  +  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
) ) )  =  ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) ) )
121 modval 10991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  -> 
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  =  ( ( M  +  1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
12266, 103, 121syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  =  ( ( M  +  1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
123122oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  =  ( ( ( M  +  1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) ) ) )  -  1 ) )
12441, 70mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )  e.  CC )
12544, 40, 124sub32d 9205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) ) ) )  =  ( ( ( M  +  1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) )  -  1 ) )
126123, 125eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  =  ( ( ( M  +  1 )  -  1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
127 pncan 9073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
12838, 39, 127sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
129128oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) ) ) )  =  ( M  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
130126, 129eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  =  ( M  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
131130oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  =  ( ( M  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) ) ) )  /  N ) )
13238, 124, 41, 4divsubdird 9591 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) )  /  N )  =  ( ( M  /  N )  -  ( ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )  /  N ) ) )
13370, 41, 4divcan3d 9557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )  /  N )  =  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) ) )
134133oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  /  N )  -  (
( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )  /  N ) )  =  ( ( M  /  N )  -  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) )
135131, 132, 1343eqtrrd 2333 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  /  N )  -  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  -  1 )  /  N ) )
13659recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  /  N
)  e.  CC )
137116recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  e.  CC )
138136, 70, 137subaddd 9191 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  N )  -  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  /  N )  <->  ( ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  +  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
) )  =  ( M  /  N ) ) )
139135, 138mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  +  ( ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  /  N ) )  =  ( M  /  N ) )
140139adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  +  ( ( ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  /  N ) )  =  ( M  /  N ) )
141140fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  +  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
) ) )  =  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )
142120, 141eqtr3d 2330 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )
143 subeq0 9089 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  e.  CC  /\  ( |_ `  ( M  /  N ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  0  <->  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( M  /  N ) ) ) )
14470, 72, 143syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  0  <->  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( M  /  N ) ) ) )
145144adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  0  <->  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  =  ( |_ `  ( M  /  N ) ) ) )
146142, 145mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_
`  ( M  /  N ) ) )  =  0 )
147 iffalse 3585 . . . 4  |-  ( -.  N  ||  ( M  +  1 )  ->  if ( N  ||  ( M  +  1 ) ,  1 ,  0 )  =  0 )
148147adantl 452 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  if ( N  ||  ( M  +  1 ) ,  1 ,  0 )  =  0 )
149146, 148eqtr4d 2331 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_
`  ( M  /  N ) ) )  =  if ( N 
||  ( M  + 
1 ) ,  1 ,  0 ) )
15078, 149pm2.61dan 766 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  if ( N 
||  ( M  + 
1 ) ,  1 ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   ifcif 3578   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   RR+crp 10370   |_cfl 10940    mod cmo 10989    || cdivides 12547
This theorem is referenced by:  pcfac  12963
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fl 10941  df-mod 10990  df-dvds 12548
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