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Theorem fldivp1 13266
Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
fldivp1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  if ( N 
||  ( M  + 
1 ) ,  1 ,  0 ) )

Proof of Theorem fldivp1
StepHypRef Expression
1 nnz 10303 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
21adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
3 nnne0 10032 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
43adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  =/=  0 )
5 peano2z 10318 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
65adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
7 dvdsval2 12855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0  /\  ( M  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( N  ||  ( M  +  1 )  <-> 
( ( M  + 
1 )  /  N
)  e.  ZZ ) )
82, 4, 6, 7syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  ( M  +  1 )  <-> 
( ( M  + 
1 )  /  N
)  e.  ZZ ) )
98biimpa 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( M  +  1 )  /  N )  e.  ZZ )
10 flid 11216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )
119, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  =  ( ( M  +  1 )  /  N ) )
12 nnm1nn0 10261 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
1312nn0red 10275 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
1412nn0ge0d 10277 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( N  -  1 ) )
15 nnre 10007 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
16 nngt0 10029 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
17 divge0 9879 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( N  -  1 ) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )  -> 
0  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
1813, 14, 15, 16, 17syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( ( N  - 
1 )  /  N
) )
1918ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  0  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
2015ltm1d 9943 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  <  N )
21 nncn 10008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2221mulid1d 9105 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
2320, 22breqtrrd 4238 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  <  ( N  x.  1 ) )
24 1re 9090 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
26 ltdivmul 9882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( ( N  -  1 )  /  N )  <  1  <->  ( N  -  1 )  <  ( N  x.  1 ) ) )
2713, 25, 15, 16, 26syl112anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  /  N
)  <  1  <->  ( N  -  1 )  < 
( N  x.  1 ) ) )
2823, 27mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  <  1 )
2928ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( N  -  1 )  /  N )  <  1 )
30 nndivre 10035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  /  N
)  e.  RR )
3113, 30mpancom 651 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  e.  RR )
3231ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( N  -  1 )  /  N )  e.  RR )
33 flbi2 11224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  + 
1 )  /  N
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  - 
1 )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  - 
1 )  /  N
) ) )  =  ( ( M  + 
1 )  /  N
)  <->  ( 0  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  N
)  /\  ( ( N  -  1 )  /  N )  <  1 ) ) )
349, 32, 33syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  - 
1 )  /  N
) ) )  =  ( ( M  + 
1 )  /  N
)  <->  ( 0  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  N
)  /\  ( ( N  -  1 )  /  N )  <  1 ) ) )
3519, 29, 34mpbir2and 889 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  /  N ) )
3611, 35eqtr4d 2471 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  =  ( |_ `  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) ) ) )
37 zcn 10287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
3837adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
39 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
4121adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
4238, 40, 41ppncand 9451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  =  ( M  +  N ) )
4342oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  /  N
)  =  ( ( M  +  N )  /  N ) )
446zcnd 10376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
45 subcl 9305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
4621, 39, 45sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
4746adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
4844, 47, 41, 4divdird 9828 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  /  N
)  =  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) ) )
4943, 48eqtr3d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  +  N )  /  N
)  =  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) ) )
5038, 41, 41, 4divdird 9828 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  +  N )  /  N
)  =  ( ( M  /  N )  +  ( N  /  N ) ) )
5149, 50eqtr3d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) )  =  ( ( M  /  N )  +  ( N  /  N ) ) )
5241, 4dividd 9788 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  /  N
)  =  1 )
5352oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  /  N )  +  ( N  /  N ) )  =  ( ( M  /  N )  +  1 ) )
5451, 53eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) )  =  ( ( M  /  N )  +  1 ) )
5554fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( ( M  + 
1 )  /  N
)  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( |_
`  ( ( M  /  N )  +  1 ) ) )
5655adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( |_ `  ( ( M  /  N )  +  1 ) ) )
57 zre 10286 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
58 nndivre 10035 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  /  N
)  e.  RR )
5957, 58sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  /  N
)  e.  RR )
60 1z 10311 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
61 fladdz 11227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  /  N
)  e.  RR  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( M  /  N
)  +  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( M  /  N ) )  +  1 ) )
6259, 60, 61sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( M  /  N
)  +  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( M  /  N ) )  +  1 ) )
6362adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( ( M  /  N )  +  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( M  /  N ) )  +  1 ) )
6436, 56, 633eqtrrd 2473 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  ( M  /  N ) )  +  1 )  =  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )
65 zre 10286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
665, 65syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
67 nndivre 10035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  /  N
)  e.  RR )
6866, 67sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  /  N
)  e.  RR )
6968flcld 11207 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  e.  ZZ )
7069zcnd 10376 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  e.  CC )
7159flcld 11207 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( M  /  N ) )  e.  ZZ )
7271zcnd 10376 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( M  /  N ) )  e.  CC )
7370, 72, 40subaddd 9429 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  1  <->  (
( |_ `  ( M  /  N ) )  +  1 )  =  ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) ) ) )
7473adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( (
( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_
`  ( M  /  N ) ) )  =  1  <->  ( ( |_ `  ( M  /  N ) )  +  1 )  =  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) )
7564, 74mpbird 224 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  1 )
76 iftrue 3745 . . . 4  |-  ( N 
||  ( M  + 
1 )  ->  if ( N  ||  ( M  +  1 ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
7776adantl 453 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  if ( N  ||  ( M  + 
1 ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
7875, 77eqtr4d 2471 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  if ( N  ||  ( M  +  1 ) ,  1 ,  0 ) )
79 zmodcl 11266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  e.  NN0 )
805, 79sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  e.  NN0 )
8180nn0red 10275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  e.  RR )
82 resubcl 9365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  e.  RR )
8381, 24, 82sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  e.  RR )
8483adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  e.  RR )
85 elnn0 10223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN0  <->  ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN  \/  ( ( M  +  1 )  mod  N )  =  0 ) )
8680, 85sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  e.  NN  \/  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  =  0 ) )
8786ord 367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( -.  ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN  ->  ( ( M  +  1 )  mod  N )  =  0 ) )
88 id 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
89 dvdsval3 12856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( M  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  ( M  +  1
)  <->  ( ( M  +  1 )  mod 
N )  =  0 ) )
9088, 5, 89syl2anr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  ( M  +  1 )  <-> 
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  =  0 ) )
9187, 90sylibrd 226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( -.  ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN  ->  N  ||  ( M  +  1 ) ) )
9291con1d 118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( -.  N  ||  ( M  +  1
)  ->  ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN ) )
9392imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN )
94 nnm1nn0 10261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN  ->  (
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  e.  NN0 )
9593, 94syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  e.  NN0 )
9695nn0ge0d 10277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  0  <_  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) )
9715, 16jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
9897ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
99 divge0 9879 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
( M  +  1 )  mod  N )  -  1 ) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )  -> 
0  <_  ( (
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  /  N ) )
10084, 96, 98, 99syl21anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  0  <_  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
) )
10115adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
10281ltm1d 9943 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  <  ( ( M  +  1 )  mod  N ) )
103 nnrp 10621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
104 modlt 11258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  -> 
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  <  N )
10566, 103, 104syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  <  N )
10683, 81, 101, 102, 105lttrd 9231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  <  N )
10741mulid1d 9105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
108106, 107breqtrrd 4238 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  <  ( N  x.  1 ) )
10924a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
11016adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
111 ltdivmul 9882 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  -  1 )  /  N )  <  1  <->  ( ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  <  ( N  x.  1 ) ) )
11283, 109, 101, 110, 111syl112anc 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  -  1 )  /  N )  <  1  <->  ( ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  <  ( N  x.  1 ) ) )
113108, 112mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  <  1 )
114113adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  /  N )  <  1 )
115 nndivre 10035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  e.  RR )
11683, 115sylancom 649 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  e.  RR )
117 flbi2 11224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  +  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
) ) )  =  ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  <->  ( 0  <_ 
( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  /\  ( (
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  /  N )  <  1 ) ) )
11869, 116, 117syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  +  ( ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  <-> 
( 0  <_  (
( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  /  N )  /\  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  -  1 )  /  N )  <  1
) ) )
119118adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( |_ `  (
( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  +  ( ( ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  <->  ( 0  <_  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  -  1 )  /  N )  /\  (
( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  /  N )  <  1 ) ) )
120100, 114, 119mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  +  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
) ) )  =  ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) ) )
121 modval 11252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  -> 
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  =  ( ( M  +  1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
12266, 103, 121syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  =  ( ( M  +  1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
123122oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  =  ( ( ( M  +  1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) ) ) )  -  1 ) )
12441, 70mulcld 9108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )  e.  CC )
12544, 40, 124sub32d 9443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) ) ) )  =  ( ( ( M  +  1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) )  -  1 ) )
126123, 125eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  =  ( ( ( M  +  1 )  -  1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
127 pncan 9311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
12838, 39, 127sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
129128oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) ) ) )  =  ( M  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
130126, 129eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  =  ( M  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
131130oveq1d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  =  ( ( M  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) ) ) )  /  N ) )
13238, 124, 41, 4divsubdird 9829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) )  /  N )  =  ( ( M  /  N )  -  ( ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )  /  N ) ) )
13370, 41, 4divcan3d 9795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )  /  N )  =  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) ) )
134133oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  /  N )  -  (
( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )  /  N ) )  =  ( ( M  /  N )  -  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) )
135131, 132, 1343eqtrrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  /  N )  -  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  -  1 )  /  N ) )
13659recnd 9114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  /  N
)  e.  CC )
137116recnd 9114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  e.  CC )
138136, 70, 137subaddd 9429 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  N )  -  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  /  N )  <->  ( ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  +  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
) )  =  ( M  /  N ) ) )
139135, 138mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  +  ( ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  /  N ) )  =  ( M  /  N ) )
140139adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  +  ( ( ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  /  N ) )  =  ( M  /  N ) )
141140fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  +  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
) ) )  =  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )
142120, 141eqtr3d 2470 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )
14370, 72subeq0ad 9421 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  0  <->  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( M  /  N ) ) ) )
144143adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  0  <->  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  =  ( |_ `  ( M  /  N ) ) ) )
145142, 144mpbird 224 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_
`  ( M  /  N ) ) )  =  0 )
146 iffalse 3746 . . . 4  |-  ( -.  N  ||  ( M  +  1 )  ->  if ( N  ||  ( M  +  1 ) ,  1 ,  0 )  =  0 )
147146adantl 453 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  if ( N  ||  ( M  +  1 ) ,  1 ,  0 )  =  0 )
148145, 147eqtr4d 2471 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_
`  ( M  /  N ) ) )  =  if ( N 
||  ( M  + 
1 ) ,  1 ,  0 ) )
14978, 148pm2.61dan 767 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  if ( N 
||  ( M  + 
1 ) ,  1 ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   ifcif 3739   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   RR+crp 10612   |_cfl 11201    mod cmo 11250    || cdivides 12852
This theorem is referenced by:  pcfac  13268
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fl 11202  df-mod 11251  df-dvds 12853
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