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Theorem flfcnp 17715
Description: A continuous function preserves filter limits. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
flfcnp  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  ( G  o.  F ) ) )

Proof of Theorem flfcnp
StepHypRef Expression
1 simprl 732 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F ) )
2 flfval 17701 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =  ( J  fLim  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ) )
32adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =  ( J  fLim  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ) )
41, 3eleqtrd 2372 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ) )
5 simprr 733 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )
6 cnpflfi 17710 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  ( ( X 
FilMap  F ) `  L
) )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( G `  A )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) `  G ) )
74, 5, 6syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G `  A )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) ) `
 G ) )
8 cnptop2 16989 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  K  e.  Top )
98ad2antll 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  K  e.  Top )
10 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  U. K  =  U. K
1110toptopon 16687 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
129, 11sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
13 toponmax 16682 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  U. K )  ->  U. K  e.  K )
1412, 13syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  U. K  e.  K )
15 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
16 toponmax 16682 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
1715, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  X  e.  J )
18 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  L  e.  ( Fil `  Y
) )
19 filfbas 17559 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  L  e.  ( fBas `  Y )
)
2018, 19syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  L  e.  ( fBas `  Y
) )
21 cnpf2 16996 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  G : X
--> U. K )
2215, 12, 5, 21syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  G : X --> U. K )
23 simpl3 960 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  F : Y --> X )
24 fmco 17672 . . . . 5  |-  ( ( ( U. K  e.  K  /\  X  e.  J  /\  L  e.  ( fBas `  Y
) )  /\  ( G : X --> U. K  /\  F : Y --> X ) )  ->  ( ( U. K  FilMap  ( G  o.  F ) ) `
 L )  =  ( ( U. K  FilMap  G ) `  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ) )
2514, 17, 20, 22, 23, 24syl32anc 1190 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( U. K  FilMap  ( G  o.  F ) ) `  L )  =  ( ( U. K  FilMap  G ) `  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) )
2625oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( K  fLim  ( ( U. K  FilMap  ( G  o.  F ) ) `  L ) )  =  ( K  fLim  (
( U. K  FilMap  G ) `  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) ) )
27 fco 5414 . . . . 5  |-  ( ( G : X --> U. K  /\  F : Y --> X )  ->  ( G  o.  F ) : Y --> U. K )
2822, 23, 27syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G  o.  F ) : Y --> U. K )
29 flfval 17701 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  ( G  o.  F ) : Y --> U. K )  ->  (
( K  fLimf  L ) `
 ( G  o.  F ) )  =  ( K  fLim  (
( U. K  FilMap  ( G  o.  F ) ) `  L ) ) )
3012, 18, 28, 29syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( K  fLimf  L ) `
 ( G  o.  F ) )  =  ( K  fLim  (
( U. K  FilMap  ( G  o.  F ) ) `  L ) ) )
31 fmfil 17655 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  J  /\  L  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  L )  e.  ( Fil `  X
) )
3217, 20, 23, 31syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  e.  ( Fil `  X
) )
33 flfval 17701 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  e.  ( Fil `  X
)  /\  G : X
--> U. K )  -> 
( ( K  fLimf  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) ) `
 G )  =  ( K  fLim  (
( U. K  FilMap  G ) `  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) ) )
3412, 32, 22, 33syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( K  fLimf  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) `  G )  =  ( K  fLim  ( ( U. K  FilMap  G ) `
 ( ( X 
FilMap  F ) `  L
) ) ) )
3526, 30, 343eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( K  fLimf  L ) `
 ( G  o.  F ) )  =  ( ( K  fLimf  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) ) `
 G ) )
367, 35eleqtrrd 2373 1  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  ( G  o.  F ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   U.cuni 3843    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    CnP ccnp 16971   fBascfbas 17534   Filcfil 17556    FilMap cfm 17644    fLim cflim 17645    fLimf cflf 17646
This theorem is referenced by:  flfcnp2  17718  tsmsmhm  17844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-top 16652  df-topon 16655  df-ntr 16773  df-nei 16851  df-cnp 16974  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651
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