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Theorem flfcnp 17699
Description: A continuous function preserves filter limits. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
flfcnp  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  ( G  o.  F ) ) )

Proof of Theorem flfcnp
StepHypRef Expression
1 simprl 732 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F ) )
2 flfval 17685 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =  ( J  fLim  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ) )
32adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =  ( J  fLim  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ) )
41, 3eleqtrd 2359 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ) )
5 simprr 733 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )
6 cnpflfi 17694 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  ( ( X 
FilMap  F ) `  L
) )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( G `  A )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) `  G ) )
74, 5, 6syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G `  A )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) ) `
 G ) )
8 cnptop2 16973 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  K  e.  Top )
98ad2antll 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  K  e.  Top )
10 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  U. K  =  U. K
1110toptopon 16671 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
129, 11sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
13 toponmax 16666 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  U. K )  ->  U. K  e.  K )
1412, 13syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  U. K  e.  K )
15 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
16 toponmax 16666 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
1715, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  X  e.  J )
18 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  L  e.  ( Fil `  Y
) )
19 filfbas 17543 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  L  e.  ( fBas `  Y )
)
2018, 19syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  L  e.  ( fBas `  Y
) )
21 cnpf2 16980 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  G : X
--> U. K )
2215, 12, 5, 21syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  G : X --> U. K )
23 simpl3 960 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  F : Y --> X )
24 fmco 17656 . . . . 5  |-  ( ( ( U. K  e.  K  /\  X  e.  J  /\  L  e.  ( fBas `  Y
) )  /\  ( G : X --> U. K  /\  F : Y --> X ) )  ->  ( ( U. K  FilMap  ( G  o.  F ) ) `
 L )  =  ( ( U. K  FilMap  G ) `  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ) )
2514, 17, 20, 22, 23, 24syl32anc 1190 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( U. K  FilMap  ( G  o.  F ) ) `  L )  =  ( ( U. K  FilMap  G ) `  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) )
2625oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( K  fLim  ( ( U. K  FilMap  ( G  o.  F ) ) `  L ) )  =  ( K  fLim  (
( U. K  FilMap  G ) `  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) ) )
27 fco 5398 . . . . 5  |-  ( ( G : X --> U. K  /\  F : Y --> X )  ->  ( G  o.  F ) : Y --> U. K )
2822, 23, 27syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G  o.  F ) : Y --> U. K )
29 flfval 17685 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  ( G  o.  F ) : Y --> U. K )  ->  (
( K  fLimf  L ) `
 ( G  o.  F ) )  =  ( K  fLim  (
( U. K  FilMap  ( G  o.  F ) ) `  L ) ) )
3012, 18, 28, 29syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( K  fLimf  L ) `
 ( G  o.  F ) )  =  ( K  fLim  (
( U. K  FilMap  ( G  o.  F ) ) `  L ) ) )
31 fmfil 17639 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  J  /\  L  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  L )  e.  ( Fil `  X
) )
3217, 20, 23, 31syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  e.  ( Fil `  X
) )
33 flfval 17685 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  e.  ( Fil `  X
)  /\  G : X
--> U. K )  -> 
( ( K  fLimf  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) ) `
 G )  =  ( K  fLim  (
( U. K  FilMap  G ) `  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) ) )
3412, 32, 22, 33syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( K  fLimf  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) `  G )  =  ( K  fLim  ( ( U. K  FilMap  G ) `
 ( ( X 
FilMap  F ) `  L
) ) ) )
3526, 30, 343eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( K  fLimf  L ) `
 ( G  o.  F ) )  =  ( ( K  fLimf  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) ) `
 G ) )
367, 35eleqtrrd 2360 1  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  ( G  o.  F ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   U.cuni 3827    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    CnP ccnp 16955   fBascfbas 17518   Filcfil 17540    FilMap cfm 17628    fLim cflim 17629    fLimf cflf 17630
This theorem is referenced by:  flfcnp2  17702  tsmsmhm  17828
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-top 16636  df-topon 16639  df-ntr 16757  df-nei 16835  df-cnp 16958  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635
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