Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flfcnp2 Unicode version

Theorem flfcnp2 17702
 Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
flfcnp2.j TopOn
flfcnp2.k TopOn
flfcnp2.l
flfcnp2.a
flfcnp2.b
flfcnp2.r
flfcnp2.s
flfcnp2.o
Assertion
Ref Expression
flfcnp2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem flfcnp2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 5861 . 2
2 flfcnp2.j . . . . 5 TopOn
3 flfcnp2.k . . . . 5 TopOn
4 txtopon 17286 . . . . 5 TopOn TopOn TopOn
52, 3, 4syl2anc 642 . . . 4 TopOn
6 flfcnp2.l . . . 4
7 flfcnp2.a . . . . . 6
8 flfcnp2.b . . . . . 6
9 opelxpi 4721 . . . . . 6
107, 8, 9syl2anc 642 . . . . 5
11 eqid 2283 . . . . 5
1210, 11fmptd 5684 . . . 4
13 flfcnp2.r . . . . . 6
14 flfcnp2.s . . . . . 6
15 eqid 2283 . . . . . . . 8
167, 15fmptd 5684 . . . . . . 7
17 eqid 2283 . . . . . . . 8
188, 17fmptd 5684 . . . . . . 7
19 nfcv 2419 . . . . . . . 8
20 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . 10
21 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10
2220, 21nffv 5532 . . . . . . . . 9
23 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . 10
2423, 21nffv 5532 . . . . . . . . 9
2522, 24nfop 3812 . . . . . . . 8
26 fveq2 5525 . . . . . . . . 9
27 fveq2 5525 . . . . . . . . 9
2826, 27opeq12d 3804 . . . . . . . 8
2919, 25, 28cbvmpt 4110 . . . . . . 7
302, 3, 6, 16, 18, 29txflf 17701 . . . . . 6
3113, 14, 30mpbir2and 888 . . . . 5
32 simpr 447 . . . . . . . . 9
3315fvmpt2 5608 . . . . . . . . 9
3432, 7, 33syl2anc 642 . . . . . . . 8
3517fvmpt2 5608 . . . . . . . . 9
3632, 8, 35syl2anc 642 . . . . . . . 8
3734, 36opeq12d 3804 . . . . . . 7
3837mpteq2dva 4106 . . . . . 6
3938fveq2d 5529 . . . . 5
4031, 39eleqtrd 2359 . . . 4
41 flfcnp2.o . . . 4
42 flfcnp 17699 . . . 4 TopOn
435, 6, 12, 40, 41, 42syl32anc 1190 . . 3
44 eqidd 2284 . . . . 5
45 cnptop2 16973 . . . . . . . . 9
4641, 45syl 15 . . . . . . . 8
47 eqid 2283 . . . . . . . . 9
4847toptopon 16671 . . . . . . . 8 TopOn
4946, 48sylib 188 . . . . . . 7 TopOn
50 cnpf2 16980 . . . . . . 7 TopOn TopOn
515, 49, 41, 50syl3anc 1182 . . . . . 6
5251feqmptd 5575 . . . . 5
53 fveq2 5525 . . . . . 6
54 df-ov 5861 . . . . . 6
5553, 54syl6eqr 2333 . . . . 5
5610, 44, 52, 55fmptco 5691 . . . 4
5756fveq2d 5529 . . 3
5843, 57eleqtrd 2359 . 2
591, 58syl5eqel 2367 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  cop 3643  cuni 3827   cmpt 4077   cxp 4687   ccom 4693  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  ctop 16631  TopOnctopon 16632   ccnp 16955   ctx 17255  cfil 17540   cflf 17630 This theorem is referenced by:  tsmsadd  17829 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-ntr 16757  df-nei 16835  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635
 Copyright terms: Public domain W3C validator