MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flfelbas Unicode version

Theorem flfelbas 17983
Description: A limit point of a function is in the topological space. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 7-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
flfelbas  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F ) )  ->  A  e.  X )

Proof of Theorem flfelbas
Dummy variables  o 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isflf 17982 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) ) )
21simprbda 607 1  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F ) )  ->  A  e.  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1721   A.wral 2670   E.wrex 2671    C_ wss 3284   "cima 4844   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044  TopOnctopon 16918   Filcfil 17834    fLimf cflf 17924
This theorem is referenced by:  cnextf  18054
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-map 6983  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-top 16922  df-topon 16925  df-ntr 17043  df-nei 17121  df-fil 17835  df-fm 17927  df-flim 17928  df-flf 17929
  Copyright terms: Public domain W3C validator