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Theorem flffbas 17690
Description: Limit points of a function can be defined using filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flffbas.l  |-  L  =  ( Y filGen B )
Assertion
Ref Expression
flffbas  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) ) ) )
Distinct variable groups:    o, s, A    B, o, s    o, F, s    o, J, s   
o, L, s    o, X, s    o, Y, s

Proof of Theorem flffbas
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flffbas.l . . . 4  |-  L  =  ( Y filGen B )
2 fgcl 17573 . . . 4  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen B )  e.  ( Fil `  Y ) )
31, 2syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  L  e.  ( Fil `  Y ) )
4 isflf 17688 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t )  C_  o
) ) ) )
53, 4syl3an2 1216 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t )  C_  o
) ) ) )
61eleq2i 2347 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  L  <->  t  e.  ( Y filGen B ) )
7 elfg 17566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( t  e.  ( Y filGen B )  <-> 
( t  C_  Y  /\  E. s  e.  B  s  C_  t ) ) )
873ad2ant2 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
t  e.  ( Y
filGen B )  <->  ( t  C_  Y  /\  E. s  e.  B  s  C_  t ) ) )
9 imass2 5049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s 
C_  t  ->  ( F " s )  C_  ( F " t ) )
10 sstr2 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F " s ) 
C_  ( F "
t )  ->  (
( F " t
)  C_  o  ->  ( F " s ) 
C_  o ) )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s 
C_  t  ->  (
( F " t
)  C_  o  ->  ( F " s ) 
C_  o ) )
1211com12 27 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F " t ) 
C_  o  ->  (
s  C_  t  ->  ( F " s ) 
C_  o ) )
1312adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( F " t )  C_  o )  ->  (
s  C_  t  ->  ( F " s ) 
C_  o ) )
1413reximdv 2654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( F " t )  C_  o )  ->  ( E. s  e.  B  s  C_  t  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) )
1514ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( F " t
)  C_  o  ->  ( E. s  e.  B  s  C_  t  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) ) )
1615com23 72 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( E. s  e.  B  s  C_  t  ->  (
( F " t
)  C_  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
1716adantld 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( t  C_  Y  /\  E. s  e.  B  s  C_  t )  -> 
( ( F "
t )  C_  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
188, 17sylbid 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
t  e.  ( Y
filGen B )  ->  (
( F " t
)  C_  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
1918adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  (
t  e.  ( Y
filGen B )  ->  (
( F " t
)  C_  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
206, 19syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  (
t  e.  L  -> 
( ( F "
t )  C_  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
2120rexlimdv 2666 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) )
22 ssfg 17567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  ( Y filGen B ) )
2322, 1syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  L
)
2423sselda 3180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  s  e.  B )  ->  s  e.  L )
25243ad2antl2 1118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  s  e.  B )  ->  s  e.  L )
2625ad2ant2r 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  ( s  e.  B  /\  ( F " s )  C_  o ) )  -> 
s  e.  L )
27 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  ( s  e.  B  /\  ( F " s )  C_  o ) )  -> 
( F " s
)  C_  o )
28 imaeq2 5008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  s  ->  ( F " t )  =  ( F " s
) )
2928sseq1d 3205 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  s  ->  (
( F " t
)  C_  o  <->  ( F " s )  C_  o
) )
3029rspcev 2884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  L  /\  ( F " s ) 
C_  o )  ->  E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o )
3126, 27, 30syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  ( s  e.  B  /\  ( F " s )  C_  o ) )  ->  E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o )
3231exp32 588 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  (
s  e.  B  -> 
( ( F "
s )  C_  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o ) ) )
3332rexlimdv 2666 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t )  C_  o
) )
3421, 33impbid 183 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o  <->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) )
3534imbi2d 307 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  (
( A  e.  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o )  <->  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) ) )
3635ralbidv 2563 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) ) )
3736pm5.32da 622 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o ) )  <-> 
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o ) ) ) )
385, 37bitrd 244 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858  TopOnctopon 16632   fBascfbas 17518   filGencfg 17519   Filcfil 17540    fLimf cflf 17630
This theorem is referenced by:  lmflf  17700  eltsms  17815
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-top 16636  df-topon 16639  df-ntr 16757  df-nei 16835  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635
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