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Theorem flffbas 18027
Description: Limit points of a function can be defined using filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flffbas.l  |-  L  =  ( Y filGen B )
Assertion
Ref Expression
flffbas  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) ) ) )
Distinct variable groups:    o, s, A    B, o, s    o, F, s    o, J, s   
o, L, s    o, X, s    o, Y, s

Proof of Theorem flffbas
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flffbas.l . . . 4  |-  L  =  ( Y filGen B )
2 fgcl 17910 . . . 4  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen B )  e.  ( Fil `  Y ) )
31, 2syl5eqel 2520 . . 3  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  L  e.  ( Fil `  Y ) )
4 isflf 18025 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t )  C_  o
) ) ) )
53, 4syl3an2 1218 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t )  C_  o
) ) ) )
61eleq2i 2500 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  L  <->  t  e.  ( Y filGen B ) )
7 elfg 17903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( t  e.  ( Y filGen B )  <-> 
( t  C_  Y  /\  E. s  e.  B  s  C_  t ) ) )
873ad2ant2 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
t  e.  ( Y
filGen B )  <->  ( t  C_  Y  /\  E. s  e.  B  s  C_  t ) ) )
9 imass2 5240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s 
C_  t  ->  ( F " s )  C_  ( F " t ) )
10 sstr2 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F " s ) 
C_  ( F "
t )  ->  (
( F " t
)  C_  o  ->  ( F " s ) 
C_  o ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s 
C_  t  ->  (
( F " t
)  C_  o  ->  ( F " s ) 
C_  o ) )
1211com12 29 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F " t ) 
C_  o  ->  (
s  C_  t  ->  ( F " s ) 
C_  o ) )
1312adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( F " t )  C_  o )  ->  (
s  C_  t  ->  ( F " s ) 
C_  o ) )
1413reximdv 2817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( F " t )  C_  o )  ->  ( E. s  e.  B  s  C_  t  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) )
1514ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( F " t
)  C_  o  ->  ( E. s  e.  B  s  C_  t  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) ) )
1615com23 74 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( E. s  e.  B  s  C_  t  ->  (
( F " t
)  C_  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
1716adantld 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( t  C_  Y  /\  E. s  e.  B  s  C_  t )  -> 
( ( F "
t )  C_  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
188, 17sylbid 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
t  e.  ( Y
filGen B )  ->  (
( F " t
)  C_  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
1918adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  (
t  e.  ( Y
filGen B )  ->  (
( F " t
)  C_  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
206, 19syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  (
t  e.  L  -> 
( ( F "
t )  C_  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
2120rexlimdv 2829 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) )
22 ssfg 17904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  ( Y filGen B ) )
2322, 1syl6sseqr 3395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  L
)
2423sselda 3348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  s  e.  B )  ->  s  e.  L )
25243ad2antl2 1120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  s  e.  B )  ->  s  e.  L )
2625ad2ant2r 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  ( s  e.  B  /\  ( F " s )  C_  o ) )  -> 
s  e.  L )
27 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  ( s  e.  B  /\  ( F " s )  C_  o ) )  -> 
( F " s
)  C_  o )
28 imaeq2 5199 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  s  ->  ( F " t )  =  ( F " s
) )
2928sseq1d 3375 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  s  ->  (
( F " t
)  C_  o  <->  ( F " s )  C_  o
) )
3029rspcev 3052 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  L  /\  ( F " s ) 
C_  o )  ->  E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o )
3126, 27, 30syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  ( s  e.  B  /\  ( F " s )  C_  o ) )  ->  E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o )
3231rexlimdvaa 2831 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t )  C_  o
) )
3321, 32impbid 184 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o  <->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) )
3433imbi2d 308 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  (
( A  e.  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o )  <->  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) ) )
3534ralbidv 2725 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) ) )
3635pm5.32da 623 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o ) )  <-> 
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o ) ) ) )
375, 36bitrd 245 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3320   "cima 4881   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   fBascfbas 16689   filGencfg 16690  TopOnctopon 16959   Filcfil 17877    fLimf cflf 17967
This theorem is referenced by:  lmflf  18037  eltsms  18162
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-map 7020  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-top 16963  df-topon 16966  df-ntr 17084  df-nei 17162  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972
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