Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flffval Structured version   Unicode version

Theorem flffval 18013
 Description: Given a topology and a filtered set, return the convergence function on the functions from the filtered set to the base set of the topological space. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
flffval TopOn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem flffval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 16983 . . 3 TopOn
2 fvssunirn 5746 . . . 4
32sseli 3336 . . 3
4 unieq 4016 . . . . . 6
5 unieq 4016 . . . . . 6
64, 5oveqan12d 6092 . . . . 5
7 simpl 444 . . . . . 6
84adantr 452 . . . . . . . 8
98oveq1d 6088 . . . . . . 7
10 simpr 448 . . . . . . 7
119, 10fveq12d 5726 . . . . . 6
127, 11oveq12d 6091 . . . . 5
136, 12mpteq12dv 4279 . . . 4
14 df-flf 17964 . . . 4
15 ovex 6098 . . . . 5
1615mptex 5958 . . . 4
1713, 14, 16ovmpt2a 6196 . . 3
181, 3, 17syl2an 464 . 2 TopOn
19 toponuni 16984 . . . . 5 TopOn
2019eqcomd 2440 . . . 4 TopOn
21 filunibas 17905 . . . 4
2220, 21oveqan12d 6092 . . 3 TopOn
2320adantr 452 . . . . . 6 TopOn
2423oveq1d 6088 . . . . 5 TopOn
2524fveq1d 5722 . . . 4 TopOn
2625oveq2d 6089 . . 3 TopOn
2722, 26mpteq12dv 4279 . 2 TopOn
2818, 27eqtrd 2467 1 TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cuni 4007   cmpt 4258   crn 4871  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmap 7010  ctop 16950  TopOnctopon 16951  cfil 17869   cfm 17957   cflim 17958   cflf 17959 This theorem is referenced by:  flfval  18014 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-fbas 16691  df-topon 16958  df-fil 17870  df-flf 17964
 Copyright terms: Public domain W3C validator