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Theorem flffval 17684
Description: Given a topology and a filtered set, return the convergence function on the functions from the filtered set to the base set of the topological space. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
flffval  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( J  fLimf  L )  =  ( f  e.  ( X  ^m  Y ) 
|->  ( J  fLim  (
( X  FilMap  f ) `
 L ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, J    f, X    f, Y    f, L

Proof of Theorem flffval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 16664 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2 fvssunirn 5551 . . . 4  |-  ( Fil `  Y )  C_  U. ran  Fil
32sseli 3176 . . 3  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  L  e.  U.
ran  Fil )
4 unieq 3836 . . . . . 6  |-  ( x  =  J  ->  U. x  =  U. J )
5 unieq 3836 . . . . . 6  |-  ( y  =  L  ->  U. y  =  U. L )
64, 5oveqan12d 5877 . . . . 5  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  ( U. x  ^m  U. y )  =  ( U. J  ^m  U. L ) )
7 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  x  =  J )
84adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  U. x  =  U. J )
98oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  ( U. x  FilMap  f )  =  ( U. J  FilMap  f ) )
10 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  y  =  L )
119, 10fveq12d 5531 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  ( ( U. x  FilMap  f ) `  y
)  =  ( ( U. J  FilMap  f ) `
 L ) )
127, 11oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  ( x  fLim  (
( U. x  FilMap  f ) `  y ) )  =  ( J 
fLim  ( ( U. J  FilMap  f ) `  L ) ) )
136, 12mpteq12dv 4098 . . . 4  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  ( f  e.  ( U. x  ^m  U. y )  |->  ( x 
fLim  ( ( U. x  FilMap  f ) `  y ) ) )  =  ( f  e.  ( U. J  ^m  U. L )  |->  ( J 
fLim  ( ( U. J  FilMap  f ) `  L ) ) ) )
14 df-flf 17635 . . . 4  |-  fLimf  =  ( x  e.  Top , 
y  e.  U. ran  Fil  |->  ( f  e.  ( U. x  ^m  U. y )  |->  ( x 
fLim  ( ( U. x  FilMap  f ) `  y ) ) ) )
15 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( U. J  ^m  U. L )  e.  _V
1615mptex 5746 . . . 4  |-  ( f  e.  ( U. J  ^m  U. L )  |->  ( J  fLim  ( ( U. J  FilMap  f ) `
 L ) ) )  e.  _V
1713, 14, 16ovmpt2a 5978 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  L  e.  U. ran  Fil )  ->  ( J  fLimf  L )  =  ( f  e.  ( U. J  ^m  U. L )  |->  ( J  fLim  ( ( U. J  FilMap  f ) `
 L ) ) ) )
181, 3, 17syl2an 463 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( J  fLimf  L )  =  ( f  e.  ( U. J  ^m  U. L )  |->  ( J 
fLim  ( ( U. J  FilMap  f ) `  L ) ) ) )
19 toponuni 16665 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2019eqcomd 2288 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  U. J  =  X )
21 filunibas 17576 . . . 4  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  U. L  =  Y )
2220, 21oveqan12d 5877 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( U. J  ^m  U. L
)  =  ( X  ^m  Y ) )
2320adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  U. J  =  X )
2423oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( U. J  FilMap  f )  =  ( X  FilMap  f ) )
2524fveq1d 5527 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  (
( U. J  FilMap  f ) `  L )  =  ( ( X 
FilMap  f ) `  L
) )
2625oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( J  fLim  ( ( U. J  FilMap  f ) `  L ) )  =  ( J  fLim  (
( X  FilMap  f ) `
 L ) ) )
2722, 26mpteq12dv 4098 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  (
f  e.  ( U. J  ^m  U. L ) 
|->  ( J  fLim  (
( U. J  FilMap  f ) `  L ) ) )  =  ( f  e.  ( X  ^m  Y )  |->  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  f ) `  L ) ) ) )
2818, 27eqtrd 2315 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( J  fLimf  L )  =  ( f  e.  ( X  ^m  Y ) 
|->  ( J  fLim  (
( X  FilMap  f ) `
 L ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Filcfil 17540    FilMap cfm 17628    fLim cflim 17629    fLimf cflf 17630
This theorem is referenced by:  flfval  17685
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-topon 16639  df-fbas 17520  df-fil 17541  df-flf 17635
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