MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flffval Structured version   Unicode version

Theorem flffval 18013
Description: Given a topology and a filtered set, return the convergence function on the functions from the filtered set to the base set of the topological space. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
flffval  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( J  fLimf  L )  =  ( f  e.  ( X  ^m  Y ) 
|->  ( J  fLim  (
( X  FilMap  f ) `
 L ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, J    f, X    f, Y    f, L

Proof of Theorem flffval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 16983 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2 fvssunirn 5746 . . . 4  |-  ( Fil `  Y )  C_  U. ran  Fil
32sseli 3336 . . 3  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  L  e.  U.
ran  Fil )
4 unieq 4016 . . . . . 6  |-  ( x  =  J  ->  U. x  =  U. J )
5 unieq 4016 . . . . . 6  |-  ( y  =  L  ->  U. y  =  U. L )
64, 5oveqan12d 6092 . . . . 5  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  ( U. x  ^m  U. y )  =  ( U. J  ^m  U. L ) )
7 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  x  =  J )
84adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  U. x  =  U. J )
98oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  ( U. x  FilMap  f )  =  ( U. J  FilMap  f ) )
10 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  y  =  L )
119, 10fveq12d 5726 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  ( ( U. x  FilMap  f ) `  y
)  =  ( ( U. J  FilMap  f ) `
 L ) )
127, 11oveq12d 6091 . . . . 5  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  ( x  fLim  (
( U. x  FilMap  f ) `  y ) )  =  ( J 
fLim  ( ( U. J  FilMap  f ) `  L ) ) )
136, 12mpteq12dv 4279 . . . 4  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  ( f  e.  ( U. x  ^m  U. y )  |->  ( x 
fLim  ( ( U. x  FilMap  f ) `  y ) ) )  =  ( f  e.  ( U. J  ^m  U. L )  |->  ( J 
fLim  ( ( U. J  FilMap  f ) `  L ) ) ) )
14 df-flf 17964 . . . 4  |-  fLimf  =  ( x  e.  Top , 
y  e.  U. ran  Fil  |->  ( f  e.  ( U. x  ^m  U. y )  |->  ( x 
fLim  ( ( U. x  FilMap  f ) `  y ) ) ) )
15 ovex 6098 . . . . 5  |-  ( U. J  ^m  U. L )  e.  _V
1615mptex 5958 . . . 4  |-  ( f  e.  ( U. J  ^m  U. L )  |->  ( J  fLim  ( ( U. J  FilMap  f ) `
 L ) ) )  e.  _V
1713, 14, 16ovmpt2a 6196 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  L  e.  U. ran  Fil )  ->  ( J  fLimf  L )  =  ( f  e.  ( U. J  ^m  U. L )  |->  ( J  fLim  ( ( U. J  FilMap  f ) `
 L ) ) ) )
181, 3, 17syl2an 464 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( J  fLimf  L )  =  ( f  e.  ( U. J  ^m  U. L )  |->  ( J 
fLim  ( ( U. J  FilMap  f ) `  L ) ) ) )
19 toponuni 16984 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2019eqcomd 2440 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  U. J  =  X )
21 filunibas 17905 . . . 4  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  U. L  =  Y )
2220, 21oveqan12d 6092 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( U. J  ^m  U. L
)  =  ( X  ^m  Y ) )
2320adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  U. J  =  X )
2423oveq1d 6088 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( U. J  FilMap  f )  =  ( X  FilMap  f ) )
2524fveq1d 5722 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  (
( U. J  FilMap  f ) `  L )  =  ( ( X 
FilMap  f ) `  L
) )
2625oveq2d 6089 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( J  fLim  ( ( U. J  FilMap  f ) `  L ) )  =  ( J  fLim  (
( X  FilMap  f ) `
 L ) ) )
2722, 26mpteq12dv 4279 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  (
f  e.  ( U. J  ^m  U. L ) 
|->  ( J  fLim  (
( U. J  FilMap  f ) `  L ) ) )  =  ( f  e.  ( X  ^m  Y )  |->  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  f ) `  L ) ) ) )
2818, 27eqtrd 2467 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( J  fLimf  L )  =  ( f  e.  ( X  ^m  Y ) 
|->  ( J  fLim  (
( X  FilMap  f ) `
 L ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   U.cuni 4007    e. cmpt 4258   ran crn 4871   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   Topctop 16950  TopOnctopon 16951   Filcfil 17869    FilMap cfm 17957    fLim cflim 17958    fLimf cflf 17959
This theorem is referenced by:  flfval  18014
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-fbas 16691  df-topon 16958  df-fil 17870  df-flf 17964
  Copyright terms: Public domain W3C validator