Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flfneic Unicode version

Theorem flfneic 25727
Description: A centered interval of the limit value  A of a convergent numerical function  F contains the image of a filter element. (Contributed by FL, 18-Nov-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
flfneic.x  |-  X  = 
U. J
flfneic.a  |-  A  = 
U. ( ( J 
fLimf  L ) `  F
)
flfneic.j  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
flfneic.n  |-  N  =  ( ( A  -  B ) (,) ( A  +  B )
)
Assertion
Ref Expression
flfneic  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =/=  (/)  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `
 F ) )

Proof of Theorem flfneic
StepHypRef Expression
1 flfneic.j . . . 4  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
2 rehaus 18321 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Haus
31, 2eqeltri 2366 . . 3  |-  J  e. 
Haus
43a1i 10 . 2  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =/=  (/)  /\  B  e.  RR+ )  ->  J  e.  Haus )
5 simp1l 979 . 2  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =/=  (/)  /\  B  e.  RR+ )  ->  L  e.  ( Fil `  Y ) )
6 flfneic.x . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
71unieqi 3853 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
86, 7eqtri 2316 . . . . . 6  |-  X  = 
U. ( topGen `  ran  (,) )
9 feq3 5393 . . . . . 6  |-  ( X  =  U. ( topGen ` 
ran  (,) )  ->  ( F : Y --> X  <->  F : Y
--> U. ( topGen `  ran  (,) ) ) )
108, 9ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( F : Y --> X  <->  F : Y
--> U. ( topGen `  ran  (,) ) )
1110biimpi 186 . . . 4  |-  ( F : Y --> X  ->  F : Y --> U. ( topGen `
 ran  (,) )
)
1211adantl 452 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  F : Y --> U. ( topGen `
 ran  (,) )
)
13123ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =/=  (/)  /\  B  e.  RR+ )  ->  F : Y --> U. ( topGen `  ran  (,) )
)
14 simp2 956 . 2  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =/=  (/)  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( ( J 
fLimf  L ) `  F
)  =/=  (/) )
157eqcomi 2300 . . 3  |-  U. ( topGen `
 ran  (,) )  =  U. J
16 flfneic.a . . 3  |-  A  = 
U. ( ( J 
fLimf  L ) `  F
)
1715, 16limvinlv 25662 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> U. ( topGen `  ran  (,) ) )  /\  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =/=  (/) )  ->  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F ) )
184, 5, 13, 14, 17syl31anc 1185 1  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =/=  (/)  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `
 F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   (/)c0 3468   U.cuni 3843   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    + caddc 8756    - cmin 9053   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   topGenctg 13358   Hauscha 17052   Filcfil 17556    fLimf cflf 17646
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-nei 16851  df-haus 17059  df-fbas 17536  df-fil 17557  df-flim 17650  df-flf 17651
  Copyright terms: Public domain W3C validator