Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flfneicn Unicode version

Theorem flfneicn 25625
Description: A centered interval of the limit value  A of a convergent numerical function  F contains the image of a filter element. (Contributed by FL, 18-Nov-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
flfneicn.a  |-  A  = 
U. ( ( J 
fLimf  L ) `  F
)
flfneicn.j  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
flfneicn.n  |-  N  =  ( ( A  -  B ) (,) ( A  +  B )
)
Assertion
Ref Expression
flfneicn  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> RR )  /\  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =/=  (/)  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  N )
Distinct variable groups:    F, s    L, s    N, s    Y, s    J, s
Allowed substitution hints:    A( s)    B( s)

Proof of Theorem flfneicn
StepHypRef Expression
1 flfneicn.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
2 retopon 18272 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
31, 2eqeltri 2353 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  RR )
43a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> RR )  /\  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =/=  (/) )  ->  J  e.  (TopOn `  RR )
)
5 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> RR )  /\  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =/=  (/) )  ->  L  e.  ( Fil `  Y
) )
6 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> RR )  /\  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =/=  (/) )  ->  F : Y
--> RR )
7 rehaus 18305 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Haus
81, 7eqeltri 2353 . . . . . . 7  |-  J  e. 
Haus
93toponunii 16670 . . . . . . . 8  |-  RR  =  U. J
10 flfneicn.a . . . . . . . 8  |-  A  = 
U. ( ( J 
fLimf  L ) `  F
)
119, 10limvinlv 25559 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> RR )  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/) )  ->  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F ) )
128, 11mp3anl1 1271 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> RR )  /\  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =/=  (/) )  ->  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F ) )
13 flfelbas 17689 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  RR )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> RR )  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F ) )  ->  A  e.  RR )
144, 5, 6, 12, 13syl31anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> RR )  /\  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =/=  (/) )  ->  A  e.  RR )
1514ex 423 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> RR )  -> 
( ( ( J 
fLimf  L ) `  F
)  =/=  (/)  ->  A  e.  RR ) )
16 flfneicn.n . . . . . 6  |-  N  =  ( ( A  -  B ) (,) ( A  +  B )
)
171cinei 25623 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( A  -  B ) (,) ( A  +  B )
)  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
1816, 17syl5eqel 2367 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )
1918ex 423 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR+  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) ) )
2015, 19syl6 29 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> RR )  -> 
( ( ( J 
fLimf  L ) `  F
)  =/=  (/)  ->  ( B  e.  RR+  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) ) ) )
21203imp 1145 . 2  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> RR )  /\  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =/=  (/)  /\  B  e.  RR+ )  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )
2210, 1flfnein 25621 . 2  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> RR )  /\  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =/=  (/)  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  N )
2321, 22syld3an3 1227 1  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> RR )  /\  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =/=  (/)  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827   ran crn 4690   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736    + caddc 8740    - cmin 9037   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   topGenctg 13342  TopOnctopon 16632   neicnei 16834   Hauscha 17036   Filcfil 17540    fLimf cflf 17630
This theorem is referenced by:  lvsovso  25626
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-ntr 16757  df-nei 16835  df-haus 17043  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635
  Copyright terms: Public domain W3C validator