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Theorem flftg 17691
Description: Limit points of a function can be defined using topological bases. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flftg.l  |-  J  =  ( topGen `  B )
Assertion
Ref Expression
flftg  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) ) )
Distinct variable groups:    o, s, A    B, o    o, F, s    J, s    o, L, s    X, s    Y, s
Allowed substitution hints:    B( s)    J( o)    X( o)    Y( o)

Proof of Theorem flftg
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isflf 17688 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
) ) ) )
2 flftg.l . . . . 5  |-  J  =  ( topGen `  B )
32raleqi 2740 . . . 4  |-  ( A. u  e.  J  ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u )  <->  A. u  e.  ( topGen `  B )
( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u ) )
4 simpl1 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
5 topontop 16664 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
64, 5syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  Top )
72, 6syl5eqelr 2368 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( topGen `
 B )  e. 
Top )
8 tgclb 16708 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  B )  e.  Top )
97, 8sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  B  e. 
TopBases )
10 bastg 16704 . . . . . 6  |-  ( B  e.  TopBases  ->  B  C_  ( topGen `
 B ) )
11 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  o  ->  ( A  e.  u  <->  A  e.  o ) )
12 sseq2 3200 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  o  ->  (
( F " s
)  C_  u  <->  ( F " s )  C_  o
) )
1312rexbidv 2564 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  o  ->  ( E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u  <->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) )
1411, 13imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  o  ->  (
( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u )  <->  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
1514cbvralv 2764 . . . . . . 7  |-  ( A. u  e.  ( topGen `  B ) ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
)  <->  A. o  e.  (
topGen `  B ) ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o ) )
16 ssralv 3237 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  ( topGen `  B
)  ->  ( A. o  e.  ( topGen `  B ) ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
)  ->  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
1715, 16syl5bi 208 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ( topGen `  B
)  ->  ( A. u  e.  ( topGen `  B ) ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
)  ->  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
189, 10, 173syl 18 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. u  e.  ( topGen `
 B ) ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u )  ->  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
19 tg2 16703 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ( topGen `  B )  /\  A  e.  u )  ->  E. o  e.  B  ( A  e.  o  /\  o  C_  u ) )
20 r19.29 2683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  /\  E. o  e.  B  ( A  e.  o  /\  o  C_  u ) )  ->  E. o  e.  B  ( ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
)  /\  ( A  e.  o  /\  o  C_  u ) ) )
21 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  o  /\  o  C_  u )  ->  A  e.  o )
22 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  o  /\  o  C_  u )  -> 
o  C_  u )
23 sstr2 3186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F " s ) 
C_  o  ->  (
o  C_  u  ->  ( F " s ) 
C_  u ) )
2422, 23syl5com 26 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  o  /\  o  C_  u )  -> 
( ( F "
s )  C_  o  ->  ( F " s
)  C_  u )
)
2524reximdv 2654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  o  /\  o  C_  u )  -> 
( E. s  e.  L  ( F "
s )  C_  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u ) )
2621, 25embantd 50 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  o  /\  o  C_  u )  -> 
( ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
)  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
) )
2726impcom 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  /\  ( A  e.  o  /\  o  C_  u ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
)
2827rexlimivw 2663 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. o  e.  B  ( ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  /\  ( A  e.  o  /\  o  C_  u ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
)
2920, 28syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  /\  E. o  e.  B  ( A  e.  o  /\  o  C_  u ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u )
3029ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  -> 
( E. o  e.  B  ( A  e.  o  /\  o  C_  u )  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
) )
3119, 30syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  -> 
( ( u  e.  ( topGen `  B )  /\  A  e.  u
)  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
) )
3231expdimp 426 . . . . . 6  |-  ( ( A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  /\  u  e.  ( topGen `  B ) )  -> 
( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u ) )
3332ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  ->  A. u  e.  ( topGen `
 B ) ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u ) )
3418, 33impbid1 194 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. u  e.  ( topGen `
 B ) ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u )  <->  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
353, 34syl5bb 248 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. u  e.  J  ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u )  <->  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
3635pm5.32da 622 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u ) )  <-> 
( A  e.  X  /\  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o ) ) ) )
371, 36bitrd 244 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   topGenctg 13342   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   TopBasesctb 16635   Filcfil 17540    fLimf cflf 17630
This theorem is referenced by:  txflf  17701
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-ntr 16757  df-nei 16835  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635
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