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Theorem flftg 18033
Description: Limit points of a function can be defined using topological bases. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flftg.l  |-  J  =  ( topGen `  B )
Assertion
Ref Expression
flftg  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) ) )
Distinct variable groups:    o, s, A    B, o    o, F, s    J, s    o, L, s    X, s    Y, s
Allowed substitution hints:    B( s)    J( o)    X( o)    Y( o)

Proof of Theorem flftg
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isflf 18030 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
) ) ) )
2 flftg.l . . . . 5  |-  J  =  ( topGen `  B )
32raleqi 2910 . . . 4  |-  ( A. u  e.  J  ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u )  <->  A. u  e.  ( topGen `  B )
( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u ) )
4 simpl1 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
5 topontop 16996 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
64, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  Top )
72, 6syl5eqelr 2523 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( topGen `
 B )  e. 
Top )
8 tgclb 17040 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  B )  e.  Top )
97, 8sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  B  e. 
TopBases )
10 bastg 17036 . . . . . 6  |-  ( B  e.  TopBases  ->  B  C_  ( topGen `
 B ) )
11 eleq2 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  o  ->  ( A  e.  u  <->  A  e.  o ) )
12 sseq2 3372 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  o  ->  (
( F " s
)  C_  u  <->  ( F " s )  C_  o
) )
1312rexbidv 2728 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  o  ->  ( E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u  <->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) )
1411, 13imbi12d 313 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  o  ->  (
( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u )  <->  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
1514cbvralv 2934 . . . . . . 7  |-  ( A. u  e.  ( topGen `  B ) ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
)  <->  A. o  e.  (
topGen `  B ) ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o ) )
16 ssralv 3409 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  ( topGen `  B
)  ->  ( A. o  e.  ( topGen `  B ) ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
)  ->  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
1715, 16syl5bi 210 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ( topGen `  B
)  ->  ( A. u  e.  ( topGen `  B ) ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
)  ->  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
189, 10, 173syl 19 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. u  e.  ( topGen `
 B ) ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u )  ->  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
19 tg2 17035 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ( topGen `  B )  /\  A  e.  u )  ->  E. o  e.  B  ( A  e.  o  /\  o  C_  u ) )
20 r19.29 2848 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  /\  E. o  e.  B  ( A  e.  o  /\  o  C_  u ) )  ->  E. o  e.  B  ( ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
)  /\  ( A  e.  o  /\  o  C_  u ) ) )
21 simpl 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  o  /\  o  C_  u )  ->  A  e.  o )
22 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  o  /\  o  C_  u )  -> 
o  C_  u )
23 sstr2 3357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F " s ) 
C_  o  ->  (
o  C_  u  ->  ( F " s ) 
C_  u ) )
2422, 23syl5com 29 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  o  /\  o  C_  u )  -> 
( ( F "
s )  C_  o  ->  ( F " s
)  C_  u )
)
2524reximdv 2819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  o  /\  o  C_  u )  -> 
( E. s  e.  L  ( F "
s )  C_  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u ) )
2621, 25embantd 53 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  o  /\  o  C_  u )  -> 
( ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
)  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
) )
2726impcom 421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  /\  ( A  e.  o  /\  o  C_  u ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
)
2827rexlimivw 2828 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. o  e.  B  ( ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  /\  ( A  e.  o  /\  o  C_  u ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
)
2920, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  /\  E. o  e.  B  ( A  e.  o  /\  o  C_  u ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u )
3029ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  -> 
( E. o  e.  B  ( A  e.  o  /\  o  C_  u )  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
) )
3119, 30syl5 31 . . . . . . 7  |-  ( A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  -> 
( ( u  e.  ( topGen `  B )  /\  A  e.  u
)  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
) )
3231expdimp 428 . . . . . 6  |-  ( ( A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  /\  u  e.  ( topGen `  B ) )  -> 
( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u ) )
3332ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  ->  A. u  e.  ( topGen `
 B ) ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u ) )
3418, 33impbid1 196 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. u  e.  ( topGen `
 B ) ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u )  <->  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
353, 34syl5bb 250 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. u  e.  J  ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u )  <->  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
3635pm5.32da 624 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u ) )  <-> 
( A  e.  X  /\  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o ) ) ) )
371, 36bitrd 246 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   "cima 4884   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   topGenctg 13670   Topctop 16963  TopOnctopon 16964   TopBasesctb 16967   Filcfil 17882    fLimf cflf 17972
This theorem is referenced by:  txflf  18043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-map 7023  df-topgen 13672  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-ntr 17089  df-nei 17167  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977
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