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Theorem flftg 17981
Description: Limit points of a function can be defined using topological bases. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flftg.l  |-  J  =  ( topGen `  B )
Assertion
Ref Expression
flftg  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) ) )
Distinct variable groups:    o, s, A    B, o    o, F, s    J, s    o, L, s    X, s    Y, s
Allowed substitution hints:    B( s)    J( o)    X( o)    Y( o)

Proof of Theorem flftg
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isflf 17978 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
) ) ) )
2 flftg.l . . . . 5  |-  J  =  ( topGen `  B )
32raleqi 2868 . . . 4  |-  ( A. u  e.  J  ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u )  <->  A. u  e.  ( topGen `  B )
( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u ) )
4 simpl1 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
5 topontop 16946 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
64, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  Top )
72, 6syl5eqelr 2489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( topGen `
 B )  e. 
Top )
8 tgclb 16990 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  B )  e.  Top )
97, 8sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  B  e. 
TopBases )
10 bastg 16986 . . . . . 6  |-  ( B  e.  TopBases  ->  B  C_  ( topGen `
 B ) )
11 eleq2 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  o  ->  ( A  e.  u  <->  A  e.  o ) )
12 sseq2 3330 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  o  ->  (
( F " s
)  C_  u  <->  ( F " s )  C_  o
) )
1312rexbidv 2687 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  o  ->  ( E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u  <->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) )
1411, 13imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  o  ->  (
( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u )  <->  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
1514cbvralv 2892 . . . . . . 7  |-  ( A. u  e.  ( topGen `  B ) ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
)  <->  A. o  e.  (
topGen `  B ) ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o ) )
16 ssralv 3367 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  ( topGen `  B
)  ->  ( A. o  e.  ( topGen `  B ) ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
)  ->  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
1715, 16syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ( topGen `  B
)  ->  ( A. u  e.  ( topGen `  B ) ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
)  ->  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
189, 10, 173syl 19 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. u  e.  ( topGen `
 B ) ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u )  ->  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
19 tg2 16985 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ( topGen `  B )  /\  A  e.  u )  ->  E. o  e.  B  ( A  e.  o  /\  o  C_  u ) )
20 r19.29 2806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  /\  E. o  e.  B  ( A  e.  o  /\  o  C_  u ) )  ->  E. o  e.  B  ( ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
)  /\  ( A  e.  o  /\  o  C_  u ) ) )
21 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  o  /\  o  C_  u )  ->  A  e.  o )
22 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  o  /\  o  C_  u )  -> 
o  C_  u )
23 sstr2 3315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F " s ) 
C_  o  ->  (
o  C_  u  ->  ( F " s ) 
C_  u ) )
2422, 23syl5com 28 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  o  /\  o  C_  u )  -> 
( ( F "
s )  C_  o  ->  ( F " s
)  C_  u )
)
2524reximdv 2777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  o  /\  o  C_  u )  -> 
( E. s  e.  L  ( F "
s )  C_  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u ) )
2621, 25embantd 52 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  o  /\  o  C_  u )  -> 
( ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
)  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
) )
2726impcom 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  /\  ( A  e.  o  /\  o  C_  u ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
)
2827rexlimivw 2786 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. o  e.  B  ( ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  /\  ( A  e.  o  /\  o  C_  u ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
)
2920, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  /\  E. o  e.  B  ( A  e.  o  /\  o  C_  u ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u )
3029ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  -> 
( E. o  e.  B  ( A  e.  o  /\  o  C_  u )  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
) )
3119, 30syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  -> 
( ( u  e.  ( topGen `  B )  /\  A  e.  u
)  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
) )
3231expdimp 427 . . . . . 6  |-  ( ( A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  /\  u  e.  ( topGen `  B ) )  -> 
( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u ) )
3332ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  ->  A. u  e.  ( topGen `
 B ) ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u ) )
3418, 33impbid1 195 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. u  e.  ( topGen `
 B ) ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u )  <->  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
353, 34syl5bb 249 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. u  e.  J  ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u )  <->  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
3635pm5.32da 623 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u ) )  <-> 
( A  e.  X  /\  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o ) ) ) )
371, 36bitrd 245 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   "cima 4840   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   topGenctg 13620   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   TopBasesctb 16917   Filcfil 17830    fLimf cflf 17920
This theorem is referenced by:  txflf  17991
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-map 6979  df-topgen 13622  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-ntr 17039  df-nei 17117  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925
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