MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flge0nn0 Unicode version

Theorem flge0nn0 10964
Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
flge0nn0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem flge0nn0
StepHypRef Expression
1 flcl 10943 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
21adantr 451 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  ZZ )
3 0z 10051 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
4 flge 10953 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  A  <->  0  <_  ( |_ `  A ) ) )
53, 4mpan2 652 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  0  <_  ( |_ `  A ) ) )
65biimpa 470 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
0  <_  ( |_ `  A ) )
7 elnn0z 10052 . 2  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  <->  ( ( |_
`  A )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( |_ `  A
) ) )
82, 6, 7sylanbrc 645 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   RRcr 8752   0cc0 8753    <_ cle 8884   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   |_cfl 10940
This theorem is referenced by:  quoremnn0  10976  quoremnn0ALT  10977  expnbnd  11246  facavg  11330  o1fsum  12287  efcllem  12375  odzdvds  12876  prmreclem3  12981  1arith  12990  odmodnn0  14871  lebnumii  18480  lmnn  18705  vitalilem4  18982  mbfi1fseqlem1  19086  mbfi1fseqlem3  19088  mbfi1fseqlem5  19090  harmoniclbnd  20318  harmonicbnd4  20320  fsumharmonic  20321  ppiltx  20431  logfac2  20472  chpval2  20473  chpchtsum  20474  chpub  20475  logfaclbnd  20477  logfacbnd3  20478  logfacrlim  20479  bposlem1  20539  lgsquadlem2  20610  chtppilimlem1  20638  vmadivsum  20647  rpvmasumlem  20652  dchrisumlema  20653  dchrisumlem1  20654  dchrisum0lem1b  20680  dchrisum0lem1  20681  dchrisum0lem2a  20682  dchrisum0lem3  20684  mudivsum  20695  mulogsumlem  20696  selberglem2  20711  selberg2lem  20715  pntrsumo1  20730  pntrlog2bndlem2  20743  pntrlog2bndlem4  20745  pntrlog2bndlem6a  20747  pntpbnd1  20751  pntpbnd2  20752  pntlemg  20763  pntlemj  20768  pntlemf  20770  ostth2lem2  20799  ostth2lem3  20800  minvecolem3  21471  minvecolem4  21475  itg2addnclem2  25004  irrapxlem4  27013  irrapxlem5  27014
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fl 10941
  Copyright terms: Public domain W3C validator