MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flge0nn0 Structured version   Unicode version

Theorem flge0nn0 11217
Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
flge0nn0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem flge0nn0
StepHypRef Expression
1 flcl 11196 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
21adantr 452 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  ZZ )
3 0z 10285 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
4 flge 11206 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  A  <->  0  <_  ( |_ `  A ) ) )
53, 4mpan2 653 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  0  <_  ( |_ `  A ) ) )
65biimpa 471 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
0  <_  ( |_ `  A ) )
7 elnn0z 10286 . 2  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  <->  ( ( |_
`  A )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( |_ `  A
) ) )
82, 6, 7sylanbrc 646 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   RRcr 8981   0cc0 8982    <_ cle 9113   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   |_cfl 11193
This theorem is referenced by:  quoremnn0  11229  quoremnn0ALT  11230  expnbnd  11500  facavg  11584  o1fsum  12584  efcllem  12672  odzdvds  13173  prmreclem3  13278  1arith  13287  odmodnn0  15170  lebnumii  18983  lmnn  19208  vitalilem4  19495  mbfi1fseqlem1  19599  mbfi1fseqlem3  19601  mbfi1fseqlem5  19603  harmoniclbnd  20839  harmonicbnd4  20841  fsumharmonic  20842  ppiltx  20952  logfac2  20993  chpval2  20994  chpchtsum  20995  chpub  20996  logfaclbnd  20998  logfacbnd3  20999  logfacrlim  21000  bposlem1  21060  lgsquadlem2  21131  chtppilimlem1  21159  vmadivsum  21168  rpvmasumlem  21173  dchrisumlema  21174  dchrisumlem1  21175  dchrisum0lem1b  21201  dchrisum0lem1  21202  dchrisum0lem2a  21203  dchrisum0lem3  21205  mudivsum  21216  mulogsumlem  21217  selberglem2  21232  selberg2lem  21236  pntrsumo1  21251  pntrlog2bndlem2  21264  pntrlog2bndlem4  21266  pntrlog2bndlem6a  21268  pntpbnd1  21272  pntpbnd2  21273  pntlemg  21284  pntlemj  21289  pntlemf  21291  ostth2lem2  21320  ostth2lem3  21321  minvecolem3  22370  minvecolem4  22374  itg2addnclem2  26247  irrapxlem4  26879  irrapxlem5  26880  fldivnn0  28121
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fl 11194
  Copyright terms: Public domain W3C validator