Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fliftfun Structured version   Unicode version

Theorem fliftfun 6026
 Description: The function is the unique function defined by , provided that the well-definedness condition holds. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
flift.1
flift.2
flift.3
fliftfun.4
fliftfun.5
Assertion
Ref Expression
fliftfun
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,   ,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem fliftfun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1629 . . 3
2 flift.1 . . . . 5
3 nfmpt1 4290 . . . . . 6
43nfrn 5104 . . . . 5
52, 4nfcxfr 2568 . . . 4
65nffun 5468 . . 3
7 fveq2 5720 . . . . . . 7
8 simplr 732 . . . . . . . . 9
9 flift.2 . . . . . . . . . . 11
10 flift.3 . . . . . . . . . . 11
112, 9, 10fliftel1 6024 . . . . . . . . . 10
1211ad2ant2r 728 . . . . . . . . 9
13 funbrfv 5757 . . . . . . . . 9
148, 12, 13sylc 58 . . . . . . . 8
15 simprr 734 . . . . . . . . . . 11
16 eqidd 2436 . . . . . . . . . . 11
17 eqidd 2436 . . . . . . . . . . 11
18 fliftfun.4 . . . . . . . . . . . . . 14
1918eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . 13
20 fliftfun.5 . . . . . . . . . . . . . 14
2120eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . 13
2219, 21anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12
2322rspcev 3044 . . . . . . . . . . 11
2415, 16, 17, 23syl12anc 1182 . . . . . . . . . 10
252, 9, 10fliftel 6023 . . . . . . . . . . 11
2625ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
2724, 26mpbird 224 . . . . . . . . 9
28 funbrfv 5757 . . . . . . . . 9
298, 27, 28sylc 58 . . . . . . . 8
3014, 29eqeq12d 2449 . . . . . . 7
317, 30syl5ib 211 . . . . . 6
3231anassrs 630 . . . . 5
3332ralrimiva 2781 . . . 4
3433exp31 588 . . 3
351, 6, 34ralrimd 2786 . 2
362, 9, 10fliftel 6023 . . . . . . . . 9
372, 9, 10fliftel 6023 . . . . . . . . . 10
3818eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . 12
3920eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . 12
4038, 39anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11
4140cbvrexv 2925 . . . . . . . . . 10
4237, 41syl6bb 253 . . . . . . . . 9
4336, 42anbi12d 692 . . . . . . . 8
4443biimpd 199 . . . . . . 7
45 reeanv 2867 . . . . . . . 8
46 r19.29 2838 . . . . . . . . . 10
47 r19.29 2838 . . . . . . . . . . . 12
48 eqtr2 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4948ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5049imim1i 56 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150imp 419 . . . . . . . . . . . . . 14
52 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
53 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . 14
5451, 52, 533eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . . . 13
5554rexlimivw 2818 . . . . . . . . . . . 12
5647, 55syl 16 . . . . . . . . . . 11
5756rexlimivw 2818 . . . . . . . . . 10
5846, 57syl 16 . . . . . . . . 9
5958ex 424 . . . . . . . 8
6045, 59syl5bir 210 . . . . . . 7
6144, 60syl9 68 . . . . . 6
6261alrimdv 1643 . . . . 5
6362alrimdv 1643 . . . 4
6463alrimdv 1643 . . 3
652, 9, 10fliftrel 6022 . . . . 5
66 relxp 4975 . . . . 5
67 relss 4955 . . . . 5
6865, 66, 67ee10 1385 . . . 4
69 dffun2 5456 . . . . 5
7069baib 872 . . . 4
7168, 70syl 16 . . 3
7264, 71sylibrd 226 . 2
7335, 72impbid 184 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359  wal 1549   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698   wss 3312  cop 3809   class class class wbr 4204   cmpt 4258   cxp 4868   crn 4871   wrel 4875   wfun 5440  cfv 5446 This theorem is referenced by:  fliftfund  6027  fliftfuns  6028  qliftfun  6981 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454
 Copyright terms: Public domain W3C validator