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Theorem flimcls 17696
Description: Closure in terms of filter convergence. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimcls  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  E. f  e.  ( Fil `  X
) ( S  e.  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, f    f, J    S, f    f, X

Proof of Theorem flimcls
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( X
filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  =  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) )
21flimclslem 17695 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  /\  S  e.  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  /\  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) ) )
3 3anass 938 . . . . 5  |-  ( ( ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  /\  S  e.  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  /\  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) )  <->  ( ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( S  e.  ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )  /\  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) ) ) )
42, 3sylib 188 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( S  e.  ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )  /\  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) ) ) )
5 eleq2 2357 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  ->  ( S  e.  f  <->  S  e.  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) )
6 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  ->  ( J  fLim  f )  =  ( J 
fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) )
76eleq2d 2363 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  f
)  <->  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) ) )
85, 7anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  ->  ( ( S  e.  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) )  <->  ( S  e.  ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )  /\  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) ) ) )
98rspcev 2897 . . . 4  |-  ( ( ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( S  e.  ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )  /\  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) ) )  ->  E. f  e.  ( Fil `  X ) ( S  e.  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f ) ) )
104, 9syl 15 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  E. f  e.  ( Fil `  X
) ( S  e.  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) )
11103expia 1153 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  ->  E. f  e.  ( Fil `  X
) ( S  e.  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )
12 flimclsi 17689 . . . 4  |-  ( S  e.  f  ->  ( J  fLim  f )  C_  ( ( cls `  J
) `  S )
)
1312sselda 3193 . . 3  |-  ( ( S  e.  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f ) )  ->  A  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) )
1413rexlimivw 2676 . 2  |-  ( E. f  e.  ( Fil `  X ) ( S  e.  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) )  ->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
1511, 14impbid1 194 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  E. f  e.  ( Fil `  X
) ( S  e.  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557    u. cun 3163    C_ wss 3165   {csn 3653   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ficfi 7180  TopOnctopon 16648   clsccl 16771   neicnei 16850   filGencfg 17535   Filcfil 17556    fLim cflim 17645
This theorem is referenced by:  cmetss  18756
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-flim 17650
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