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Theorem flimcls 18019
Description: Closure in terms of filter convergence. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimcls  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  E. f  e.  ( Fil `  X
) ( S  e.  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, f    f, J    S, f    f, X

Proof of Theorem flimcls
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( X
filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  =  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) )
21flimclslem 18018 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  /\  S  e.  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  /\  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) ) )
3 3anass 941 . . . . 5  |-  ( ( ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  /\  S  e.  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  /\  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) )  <->  ( ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( S  e.  ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )  /\  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) ) ) )
42, 3sylib 190 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( S  e.  ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )  /\  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) ) ) )
5 eleq2 2499 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  ->  ( S  e.  f  <->  S  e.  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) )
6 oveq2 6091 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  ->  ( J  fLim  f )  =  ( J 
fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) )
76eleq2d 2505 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  f
)  <->  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) ) )
85, 7anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  ->  ( ( S  e.  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) )  <->  ( S  e.  ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )  /\  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) ) ) )
98rspcev 3054 . . . 4  |-  ( ( ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( S  e.  ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )  /\  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) ) )  ->  E. f  e.  ( Fil `  X ) ( S  e.  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f ) ) )
104, 9syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  E. f  e.  ( Fil `  X
) ( S  e.  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) )
11103expia 1156 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  ->  E. f  e.  ( Fil `  X
) ( S  e.  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )
12 flimclsi 18012 . . . 4  |-  ( S  e.  f  ->  ( J  fLim  f )  C_  ( ( cls `  J
) `  S )
)
1312sselda 3350 . . 3  |-  ( ( S  e.  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f ) )  ->  A  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) )
1413rexlimivw 2828 . 2  |-  ( E. f  e.  ( Fil `  X ) ( S  e.  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) )  ->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
1511, 14impbid1 196 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  E. f  e.  ( Fil `  X
) ( S  e.  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708    u. cun 3320    C_ wss 3322   {csn 3816   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   ficfi 7417   filGencfg 16692  TopOnctopon 16961   clsccl 17084   neicnei 17163   Filcfil 17879    fLim cflim 17968
This theorem is referenced by:  cmetss  19269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-fin 7115  df-fi 7418  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-top 16965  df-topon 16968  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-fil 17880  df-flim 17973
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