Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flimclsi Structured version   Unicode version

Theorem flimclsi 18041
 Description: The convergent points of a filter are a subset of the closure of any of the filter sets. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimclsi

Proof of Theorem flimclsi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2442 . . . . . . . 8
21flimfil 18032 . . . . . . 7
32ad2antlr 709 . . . . . 6
4 flimnei 18030 . . . . . . 7
54adantll 696 . . . . . 6
6 simpll 732 . . . . . 6
7 filinn0 17923 . . . . . 6
83, 5, 6, 7syl3anc 1185 . . . . 5
98ralrimiva 2795 . . . 4
10 flimtop 18028 . . . . . 6
1110adantl 454 . . . . 5
12 filelss 17915 . . . . . . 7
1312ancoms 441 . . . . . 6
142, 13sylan2 462 . . . . 5
151flimelbas 18031 . . . . . 6
1615adantl 454 . . . . 5
171neindisj2 17218 . . . . 5
1811, 14, 16, 17syl3anc 1185 . . . 4
199, 18mpbird 225 . . 3
2019ex 425 . 2
2120ssrdv 3340 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wcel 1727   wne 2605  wral 2711   cin 3305   wss 3306  c0 3613  csn 3838  cuni 4039  cfv 5483  (class class class)co 6110  ctop 16989  ccl 17113  cnei 17192  cfil 17908   cflim 17997 This theorem is referenced by:  flimcls  18048  flimfcls  18089  cnextcn  18129  cmetss  19298  minveclem4  19364 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-fbas 16730  df-top 16994  df-cld 17114  df-ntr 17115  df-cls 17116  df-nei 17193  df-fil 17909  df-flim 18002
 Copyright terms: Public domain W3C validator