Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flimclslem Unicode version

Theorem flimclslem 17679
 Description: Lemma for flimcls 17680. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flimcls.2
Assertion
Ref Expression
flimclslem TopOn

Proof of Theorem flimclslem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flimcls.2 . . 3
2 topontop 16664 . . . . . . . . 9 TopOn
323ad2ant1 976 . . . . . . . 8 TopOn
4 eqid 2283 . . . . . . . . 9
54neisspw 16844 . . . . . . . 8
63, 5syl 15 . . . . . . 7 TopOn
7 toponuni 16665 . . . . . . . . 9 TopOn
873ad2ant1 976 . . . . . . . 8 TopOn
98pweqd 3630 . . . . . . 7 TopOn
106, 9sseqtr4d 3215 . . . . . 6 TopOn
11 toponmax 16666 . . . . . . . . . 10 TopOn
12 elpw2g 4174 . . . . . . . . . 10
1311, 12syl 15 . . . . . . . . 9 TopOn
1413biimpar 471 . . . . . . . 8 TopOn
15143adant3 975 . . . . . . 7 TopOn
1615snssd 3760 . . . . . 6 TopOn
1710, 16unssd 3351 . . . . 5 TopOn
18 ssun2 3339 . . . . . 6
19 simp2 956 . . . . . . . 8 TopOn
20113ad2ant1 976 . . . . . . . 8 TopOn
21 ssexg 4160 . . . . . . . 8
2219, 20, 21syl2anc 642 . . . . . . 7 TopOn
23 snnzg 3743 . . . . . . 7
2422, 23syl 15 . . . . . 6 TopOn
25 ssn0 3487 . . . . . 6
2618, 24, 25sylancr 644 . . . . 5 TopOn
2719, 8sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . 11 TopOn
28 simp3 957 . . . . . . . . . . 11 TopOn
294neindisj 16854 . . . . . . . . . . . 12
3029expr 598 . . . . . . . . . . 11
313, 27, 28, 30syl21anc 1181 . . . . . . . . . 10 TopOn
3231imp 418 . . . . . . . . 9 TopOn
33 elsni 3664 . . . . . . . . . . 11
3433ineq2d 3370 . . . . . . . . . 10
3534neeq1d 2459 . . . . . . . . 9
3632, 35syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8 TopOn
3736ralrimiv 2625 . . . . . . 7 TopOn
3837ralrimiva 2626 . . . . . 6 TopOn
39 simp1 955 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
404clsss3 16796 . . . . . . . . . . . . 13
413, 27, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
4241, 28sseldd 3181 . . . . . . . . . . 11 TopOn
4342, 8eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . 10 TopOn
4443snssd 3760 . . . . . . . . 9 TopOn
45 snnzg 3743 . . . . . . . . . 10
46453ad2ant3 978 . . . . . . . . 9 TopOn
47 neifil 17575 . . . . . . . . 9 TopOn
4839, 44, 46, 47syl3anc 1182 . . . . . . . 8 TopOn
49 filfbas 17543 . . . . . . . 8
5048, 49syl 15 . . . . . . 7 TopOn
51 ne0i 3461 . . . . . . . . . . 11
52513ad2ant3 978 . . . . . . . . . 10 TopOn
53 cls0 16817 . . . . . . . . . . 11
543, 53syl 15 . . . . . . . . . 10 TopOn
5552, 54neeqtrrd 2470 . . . . . . . . 9 TopOn
56 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10
5756necon3i 2485 . . . . . . . . 9
5855, 57syl 15 . . . . . . . 8 TopOn
59 snfbas 17561 . . . . . . . 8
6019, 58, 20, 59syl3anc 1182 . . . . . . 7 TopOn
61 fbunfip 17564 . . . . . . 7
6250, 60, 61syl2anc 642 . . . . . 6 TopOn
6338, 62mpbird 223 . . . . 5 TopOn
64 fsubbas 17562 . . . . . 6
6520, 64syl 15 . . . . 5 TopOn
6617, 26, 63, 65mpbir3and 1135 . . . 4 TopOn
67 fgcl 17573 . . . 4
6866, 67syl 15 . . 3 TopOn
691, 68syl5eqel 2367 . 2 TopOn
70 fvex 5539 . . . . . 6
71 snex 4216 . . . . . 6
7270, 71unex 4518 . . . . 5
73 ssfii 7172 . . . . 5
7472, 73ax-mp 8 . . . 4
75 ssfg 17567 . . . . . 6
7666, 75syl 15 . . . . 5 TopOn
7776, 1syl6sseqr 3225 . . . 4 TopOn
7874, 77syl5ss 3190 . . 3 TopOn
79 snssg 3754 . . . . 5
8022, 79syl 15 . . . 4 TopOn
8118, 80mpbiri 224 . . 3 TopOn
8278, 81sseldd 3181 . 2 TopOn
83 ssun1 3338 . . . 4
8483, 78syl5ss 3190 . . 3 TopOn
85 elflim 17666 . . . 4 TopOn
8639, 69, 85syl2anc 642 . . 3 TopOn
8743, 84, 86mpbir2and 888 . 2 TopOn
8869, 82, 873jca 1132 1 TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  cvv 2788   cun 3150   cin 3151   wss 3152  c0 3455  cpw 3625  csn 3640  cuni 3827  cfv 5255  (class class class)co 5858  cfi 7164  ctop 16631  TopOnctopon 16632  ccl 16755  cnei 16834  cfbas 17518  cfg 17519  cfil 17540   cflim 17629 This theorem is referenced by:  flimcls  17680 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-flim 17634
 Copyright terms: Public domain W3C validator