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Theorem flimclslem 17937
Description: Lemma for flimcls 17938. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flimcls.2  |-  F  =  ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )
Assertion
Ref Expression
flimclslem  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  S  e.  F  /\  A  e.  ( J  fLim  F )
) )

Proof of Theorem flimclslem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flimcls.2 . . 3  |-  F  =  ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )
2 topontop 16914 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
323ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  J  e.  Top )
4 eqid 2387 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
54neisspw 17094 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( nei `  J
) `  { A } )  C_  ~P U. J )
63, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  C_  ~P U. J )
7 toponuni 16915 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
873ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  X  =  U. J )
98pweqd 3747 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ~P X  =  ~P U. J )
106, 9sseqtr4d 3328 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  C_  ~P X )
11 toponmax 16916 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
12 elpw2g 4304 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  J  ->  ( S  e.  ~P X  <->  S 
C_  X ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( S  e.  ~P X  <->  S  C_  X
) )
1413biimpar 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X )  ->  S  e.  ~P X )
15143adant3 977 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  S  e.  ~P X )
1615snssd 3886 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  { S }  C_  ~P X )
1710, 16unssd 3466 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( (
( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } )  C_  ~P X )
18 ssun2 3454 . . . . . 6  |-  { S }  C_  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } )
19113ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  X  e.  J )
20 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  S  C_  X
)
2119, 20ssexd 4291 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  S  e.  _V )
22 snnzg 3864 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  _V  ->  { S }  =/=  (/) )
2321, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  { S }  =/=  (/) )
24 ssn0 3603 . . . . . 6  |-  ( ( { S }  C_  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } )  /\  { S }  =/=  (/) )  -> 
( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } )  =/=  (/) )
2518, 23, 24sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( (
( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } )  =/=  (/) )
2620, 8sseqtrd 3327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  S  C_  U. J
)
27 simp3 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
284neindisj 17104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  ( A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  /\  x  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) )  ->  ( x  i^i 
S )  =/=  (/) )
2928expr 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( x  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  (
x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
303, 26, 27, 29syl21anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( x  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  (
x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
3130imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( x  i^i  S
)  =/=  (/) )
32 elsni 3781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { S }  ->  y  =  S )
3332ineq2d 3485 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { S }  ->  ( x  i^i  y
)  =  ( x  i^i  S ) )
3433neeq1d 2563 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { S }  ->  ( ( x  i^i  y )  =/=  (/)  <->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
3531, 34syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( y  e.  { S }  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
3635ralrimiv 2731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  A. y  e.  { S }  ( x  i^i  y )  =/=  (/) )
3736ralrimiva 2732 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  A. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. y  e.  { S }  (
x  i^i  y )  =/=  (/) )
38 simp1 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
394clsss3 17046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  U. J )
403, 26, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  C_  U. J
)
4140, 27sseldd 3292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  A  e.  U. J )
4241, 8eleqtrrd 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  A  e.  X )
4342snssd 3886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  { A }  C_  X )
44 snnzg 3864 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  { A }  =/=  (/) )
45443ad2ant3 980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  { A }  =/=  (/) )
46 neifil 17833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  { A }  C_  X  /\  { A }  =/=  (/) )  -> 
( ( nei `  J
) `  { A } )  e.  ( Fil `  X ) )
4738, 43, 45, 46syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  e.  ( Fil `  X
) )
48 filfbas 17801 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  e.  ( Fil `  X )  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  e.  (
fBas `  X )
)
4947, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  e.  ( fBas `  X
) )
50 ne0i 3577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  =/=  (/) )
51503ad2ant3 980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  =/=  (/) )
52 cls0 17067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( cls `  J
) `  (/) )  =  (/) )
533, 52syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  (/) )  =  (/) )
5451, 53neeqtrrd 2574 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  =/=  (
( cls `  J
) `  (/) ) )
55 fveq2 5668 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  =  (/)  ->  ( ( cls `  J ) `
 S )  =  ( ( cls `  J
) `  (/) ) )
5655necon3i 2589 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  =/=  ( ( cls `  J
) `  (/) )  ->  S  =/=  (/) )
5754, 56syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  S  =/=  (/) )
58 snfbas 17819 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  C_  X  /\  S  =/=  (/)  /\  X  e.  J )  ->  { S }  e.  ( fBas `  X ) )
5920, 57, 19, 58syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  { S }  e.  ( fBas `  X ) )
60 fbunfip 17822 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  e.  (
fBas `  X )  /\  { S }  e.  ( fBas `  X )
)  ->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) )  <->  A. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. y  e.  { S }  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
6149, 59, 60syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) )  <->  A. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. y  e.  { S }  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
6237, 61mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) )
63 fsubbas 17820 . . . . . 6  |-  ( X  e.  J  ->  (
( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } )  C_  ~P X  /\  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } )  =/=  (/)  /\  -.  (/) 
e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) )
6419, 63syl 16 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } )  C_  ~P X  /\  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } )  =/=  (/)  /\  -.  (/) 
e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) )
6517, 25, 62, 64mpbir3and 1137 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) )  e.  ( fBas `  X
) )
66 fgcl 17831 . . . 4  |-  ( ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) )  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  e.  ( Fil `  X
) )
6765, 66syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  e.  ( Fil `  X
) )
681, 67syl5eqel 2471 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
69 fvex 5682 . . . . . 6  |-  ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  e.  _V
70 snex 4346 . . . . . 6  |-  { S }  e.  _V
7169, 70unex 4647 . . . . 5  |-  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } )  e.  _V
72 ssfii 7359 . . . . 5  |-  ( ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } )  e.  _V  ->  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } )  C_  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )
7371, 72ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } )  C_  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) )
74 ssfg 17825 . . . . . 6  |-  ( ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) )  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) )
7565, 74syl 16 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) )
7675, 1syl6sseqr 3338 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) )  C_  F )
7773, 76syl5ss 3302 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( (
( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } )  C_  F
)
78 snssg 3875 . . . . 5  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  e.  ( (
( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } )  <->  { S }  C_  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )
7921, 78syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( S  e.  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } )  <->  { S }  C_  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )
8018, 79mpbiri 225 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  S  e.  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) )
8177, 80sseldd 3292 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  S  e.  F )
8277unssad 3467 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  C_  F )
83 elflim 17924 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( A  e.  X  /\  (
( nei `  J
) `  { A } )  C_  F
) ) )
8438, 68, 83syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F
)  <->  ( A  e.  X  /\  ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  C_  F )
) )
8542, 82, 84mpbir2and 889 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  A  e.  ( J  fLim  F ) )
8668, 81, 853jca 1134 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  S  e.  F  /\  A  e.  ( J  fLim  F )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   _Vcvv 2899    u. cun 3261    i^i cin 3262    C_ wss 3263   (/)c0 3571   ~Pcpw 3742   {csn 3757   U.cuni 3957   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   ficfi 7350   fBascfbas 16615   filGencfg 16616   Topctop 16881  TopOnctopon 16882   clsccl 17005   neicnei 17084   Filcfil 17798    fLim cflim 17887
This theorem is referenced by:  flimcls  17938
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-en 7046  df-fin 7049  df-fi 7351  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-top 16886  df-topon 16889  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-fil 17799  df-flim 17892
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