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Theorem flimclslem 17695
Description: Lemma for flimcls 17696. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flimcls.2  |-  F  =  ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )
Assertion
Ref Expression
flimclslem  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  S  e.  F  /\  A  e.  ( J  fLim  F )
) )

Proof of Theorem flimclslem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flimcls.2 . . 3  |-  F  =  ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )
2 topontop 16680 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
323ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  J  e.  Top )
4 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
54neisspw 16860 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( nei `  J
) `  { A } )  C_  ~P U. J )
63, 5syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  C_  ~P U. J )
7 toponuni 16681 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
873ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  X  =  U. J )
98pweqd 3643 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ~P X  =  ~P U. J )
106, 9sseqtr4d 3228 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  C_  ~P X )
11 toponmax 16682 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
12 elpw2g 4190 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  J  ->  ( S  e.  ~P X  <->  S 
C_  X ) )
1311, 12syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( S  e.  ~P X  <->  S  C_  X
) )
1413biimpar 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X )  ->  S  e.  ~P X )
15143adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  S  e.  ~P X )
1615snssd 3776 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  { S }  C_  ~P X )
1710, 16unssd 3364 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( (
( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } )  C_  ~P X )
18 ssun2 3352 . . . . . 6  |-  { S }  C_  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } )
19 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  S  C_  X
)
20113ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  X  e.  J )
21 ssexg 4176 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  S  e.  _V )
2219, 20, 21syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  S  e.  _V )
23 snnzg 3756 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  _V  ->  { S }  =/=  (/) )
2422, 23syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  { S }  =/=  (/) )
25 ssn0 3500 . . . . . 6  |-  ( ( { S }  C_  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } )  /\  { S }  =/=  (/) )  -> 
( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } )  =/=  (/) )
2618, 24, 25sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( (
( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } )  =/=  (/) )
2719, 8sseqtrd 3227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  S  C_  U. J
)
28 simp3 957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
294neindisj 16870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  ( A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  /\  x  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) )  ->  ( x  i^i 
S )  =/=  (/) )
3029expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( x  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  (
x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
313, 27, 28, 30syl21anc 1181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( x  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  (
x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
3231imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( x  i^i  S
)  =/=  (/) )
33 elsni 3677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { S }  ->  y  =  S )
3433ineq2d 3383 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { S }  ->  ( x  i^i  y
)  =  ( x  i^i  S ) )
3534neeq1d 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { S }  ->  ( ( x  i^i  y )  =/=  (/)  <->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
3632, 35syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( y  e.  { S }  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
3736ralrimiv 2638 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  A. y  e.  { S }  ( x  i^i  y )  =/=  (/) )
3837ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  A. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. y  e.  { S }  (
x  i^i  y )  =/=  (/) )
39 simp1 955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
404clsss3 16812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  U. J )
413, 27, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  C_  U. J
)
4241, 28sseldd 3194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  A  e.  U. J )
4342, 8eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  A  e.  X )
4443snssd 3776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  { A }  C_  X )
45 snnzg 3756 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  { A }  =/=  (/) )
46453ad2ant3 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  { A }  =/=  (/) )
47 neifil 17591 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  { A }  C_  X  /\  { A }  =/=  (/) )  -> 
( ( nei `  J
) `  { A } )  e.  ( Fil `  X ) )
4839, 44, 46, 47syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  e.  ( Fil `  X
) )
49 filfbas 17559 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  e.  ( Fil `  X )  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  e.  (
fBas `  X )
)
5048, 49syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  e.  ( fBas `  X
) )
51 ne0i 3474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  =/=  (/) )
52513ad2ant3 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  =/=  (/) )
53 cls0 16833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( cls `  J
) `  (/) )  =  (/) )
543, 53syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  (/) )  =  (/) )
5552, 54neeqtrrd 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  =/=  (
( cls `  J
) `  (/) ) )
56 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  =  (/)  ->  ( ( cls `  J ) `
 S )  =  ( ( cls `  J
) `  (/) ) )
5756necon3i 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  =/=  ( ( cls `  J
) `  (/) )  ->  S  =/=  (/) )
5855, 57syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  S  =/=  (/) )
59 snfbas 17577 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  C_  X  /\  S  =/=  (/)  /\  X  e.  J )  ->  { S }  e.  ( fBas `  X ) )
6019, 58, 20, 59syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  { S }  e.  ( fBas `  X ) )
61 fbunfip 17580 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  e.  (
fBas `  X )  /\  { S }  e.  ( fBas `  X )
)  ->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) )  <->  A. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. y  e.  { S }  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
6250, 60, 61syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) )  <->  A. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. y  e.  { S }  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
6338, 62mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) )
64 fsubbas 17578 . . . . . 6  |-  ( X  e.  J  ->  (
( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } )  C_  ~P X  /\  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } )  =/=  (/)  /\  -.  (/) 
e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) )
6520, 64syl 15 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } )  C_  ~P X  /\  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } )  =/=  (/)  /\  -.  (/) 
e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) )
6617, 26, 63, 65mpbir3and 1135 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) )  e.  ( fBas `  X
) )
67 fgcl 17589 . . . 4  |-  ( ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) )  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  e.  ( Fil `  X
) )
6866, 67syl 15 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  e.  ( Fil `  X
) )
691, 68syl5eqel 2380 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
70 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  e.  _V
71 snex 4232 . . . . . 6  |-  { S }  e.  _V
7270, 71unex 4534 . . . . 5  |-  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } )  e.  _V
73 ssfii 7188 . . . . 5  |-  ( ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } )  e.  _V  ->  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } )  C_  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )
7472, 73ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } )  C_  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) )
75 ssfg 17583 . . . . . 6  |-  ( ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) )  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) )
7666, 75syl 15 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) )
7776, 1syl6sseqr 3238 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) )  C_  F )
7874, 77syl5ss 3203 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( (
( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } )  C_  F
)
79 snssg 3767 . . . . 5  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  e.  ( (
( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } )  <->  { S }  C_  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )
8022, 79syl 15 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( S  e.  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } )  <->  { S }  C_  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )
8118, 80mpbiri 224 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  S  e.  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) )
8278, 81sseldd 3194 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  S  e.  F )
83 ssun1 3351 . . . 4  |-  ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  C_  ( (
( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } )
8483, 78syl5ss 3203 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  C_  F )
85 elflim 17682 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( A  e.  X  /\  (
( nei `  J
) `  { A } )  C_  F
) ) )
8639, 69, 85syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F
)  <->  ( A  e.  X  /\  ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  C_  F )
) )
8743, 84, 86mpbir2and 888 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  A  e.  ( J  fLim  F ) )
8869, 82, 873jca 1132 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  S  e.  F  /\  A  e.  ( J  fLim  F )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ficfi 7180   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   clsccl 16771   neicnei 16850   fBascfbas 17534   filGencfg 17535   Filcfil 17556    fLim cflim 17645
This theorem is referenced by:  flimcls  17696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-flim 17650
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