Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flimclslem Structured version   Unicode version

Theorem flimclslem 18008
 Description: Lemma for flimcls 18009. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flimcls.2
Assertion
Ref Expression
flimclslem TopOn

Proof of Theorem flimclslem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flimcls.2 . . 3
2 topontop 16983 . . . . . . . . 9 TopOn
323ad2ant1 978 . . . . . . . 8 TopOn
4 eqid 2435 . . . . . . . . 9
54neisspw 17163 . . . . . . . 8
63, 5syl 16 . . . . . . 7 TopOn
7 toponuni 16984 . . . . . . . . 9 TopOn
873ad2ant1 978 . . . . . . . 8 TopOn
98pweqd 3796 . . . . . . 7 TopOn
106, 9sseqtr4d 3377 . . . . . 6 TopOn
11 toponmax 16985 . . . . . . . . . 10 TopOn
12 elpw2g 4355 . . . . . . . . . 10
1311, 12syl 16 . . . . . . . . 9 TopOn
1413biimpar 472 . . . . . . . 8 TopOn
15143adant3 977 . . . . . . 7 TopOn
1615snssd 3935 . . . . . 6 TopOn
1710, 16unssd 3515 . . . . 5 TopOn
18 ssun2 3503 . . . . . 6
19113ad2ant1 978 . . . . . . . 8 TopOn
20 simp2 958 . . . . . . . 8 TopOn
2119, 20ssexd 4342 . . . . . . 7 TopOn
22 snnzg 3913 . . . . . . 7
2321, 22syl 16 . . . . . 6 TopOn
24 ssn0 3652 . . . . . 6
2518, 23, 24sylancr 645 . . . . 5 TopOn
2620, 8sseqtrd 3376 . . . . . . . . . . 11 TopOn
27 simp3 959 . . . . . . . . . . 11 TopOn
284neindisj 17173 . . . . . . . . . . . 12
2928expr 599 . . . . . . . . . . 11
303, 26, 27, 29syl21anc 1183 . . . . . . . . . 10 TopOn
3130imp 419 . . . . . . . . 9 TopOn
32 elsni 3830 . . . . . . . . . . 11
3332ineq2d 3534 . . . . . . . . . 10
3433neeq1d 2611 . . . . . . . . 9
3531, 34syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8 TopOn
3635ralrimiv 2780 . . . . . . 7 TopOn
3736ralrimiva 2781 . . . . . 6 TopOn
38 simp1 957 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
394clsss3 17115 . . . . . . . . . . . . 13
403, 26, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
4140, 27sseldd 3341 . . . . . . . . . . 11 TopOn
4241, 8eleqtrrd 2512 . . . . . . . . . 10 TopOn
4342snssd 3935 . . . . . . . . 9 TopOn
44 snnzg 3913 . . . . . . . . . 10
45443ad2ant3 980 . . . . . . . . 9 TopOn
46 neifil 17904 . . . . . . . . 9 TopOn
4738, 43, 45, 46syl3anc 1184 . . . . . . . 8 TopOn
48 filfbas 17872 . . . . . . . 8
4947, 48syl 16 . . . . . . 7 TopOn
50 ne0i 3626 . . . . . . . . . . 11
51503ad2ant3 980 . . . . . . . . . 10 TopOn
52 cls0 17136 . . . . . . . . . . 11
533, 52syl 16 . . . . . . . . . 10 TopOn
5451, 53neeqtrrd 2622 . . . . . . . . 9 TopOn
55 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10
5655necon3i 2637 . . . . . . . . 9
5754, 56syl 16 . . . . . . . 8 TopOn
58 snfbas 17890 . . . . . . . 8
5920, 57, 19, 58syl3anc 1184 . . . . . . 7 TopOn
60 fbunfip 17893 . . . . . . 7
6149, 59, 60syl2anc 643 . . . . . 6 TopOn
6237, 61mpbird 224 . . . . 5 TopOn
63 fsubbas 17891 . . . . . 6
6419, 63syl 16 . . . . 5 TopOn
6517, 25, 62, 64mpbir3and 1137 . . . 4 TopOn
66 fgcl 17902 . . . 4
6765, 66syl 16 . . 3 TopOn
681, 67syl5eqel 2519 . 2 TopOn
69 fvex 5734 . . . . . 6
70 snex 4397 . . . . . 6
7169, 70unex 4699 . . . . 5
72 ssfii 7416 . . . . 5
7371, 72ax-mp 8 . . . 4
74 ssfg 17896 . . . . . 6
7565, 74syl 16 . . . . 5 TopOn
7675, 1syl6sseqr 3387 . . . 4 TopOn
7773, 76syl5ss 3351 . . 3 TopOn
78 snssg 3924 . . . . 5
7921, 78syl 16 . . . 4 TopOn
8018, 79mpbiri 225 . . 3 TopOn
8177, 80sseldd 3341 . 2 TopOn
8277unssad 3516 . . 3 TopOn
83 elflim 17995 . . . 4 TopOn
8438, 68, 83syl2anc 643 . . 3 TopOn
8542, 82, 84mpbir2and 889 . 2 TopOn
8668, 81, 853jca 1134 1 TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  cvv 2948   cun 3310   cin 3311   wss 3312  c0 3620  cpw 3791  csn 3806  cuni 4007  cfv 5446  (class class class)co 6073  cfi 7407  cfbas 16681  cfg 16682  ctop 16950  TopOnctopon 16951  ccl 17074  cnei 17153  cfil 17869   cflim 17958 This theorem is referenced by:  flimcls  18009 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-top 16955  df-topon 16958  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-fil 17870  df-flim 17963
 Copyright terms: Public domain W3C validator