MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flimfcls Unicode version

Theorem flimfcls 17721
Description: A limit point is a cluster point. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimfcls  |-  ( J 
fLim  F )  C_  ( J  fClus  F )

Proof of Theorem flimfcls
Dummy variables  x  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flimtop 17660 . . 3  |-  ( a  e.  ( J  fLim  F )  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2283 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
32flimfil 17664 . . 3  |-  ( a  e.  ( J  fLim  F )  ->  F  e.  ( Fil `  U. J
) )
4 flimclsi 17673 . . . . . 6  |-  ( x  e.  F  ->  ( J  fLim  F )  C_  ( ( cls `  J
) `  x )
)
54sseld 3179 . . . . 5  |-  ( x  e.  F  ->  (
a  e.  ( J 
fLim  F )  ->  a  e.  ( ( cls `  J
) `  x )
) )
65com12 27 . . . 4  |-  ( a  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( x  e.  F  ->  a  e.  ( ( cls `  J
) `  x )
) )
76ralrimiv 2625 . . 3  |-  ( a  e.  ( J  fLim  F )  ->  A. x  e.  F  a  e.  ( ( cls `  J
) `  x )
)
82isfcls 17704 . . 3  |-  ( a  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( J  e. 
Top  /\  F  e.  ( Fil `  U. J
)  /\  A. x  e.  F  a  e.  ( ( cls `  J
) `  x )
) )
91, 3, 7, 8syl3anbrc 1136 . 2  |-  ( a  e.  ( J  fLim  F )  ->  a  e.  ( J  fClus  F ) )
109ssriv 3184 1  |-  ( J 
fLim  F )  C_  ( J  fClus  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   U.cuni 3827   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631   clsccl 16755   Filcfil 17540    fLim cflim 17629    fClus cfcls 17631
This theorem is referenced by:  fclsfnflim  17722  flimfnfcls  17723  uffclsflim  17726  flfssfcf  17733  cnpfcf  17736  cfilfcls  18700
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-top 16636  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-fbas 17520  df-fil 17541  df-flim 17634  df-fcls 17636
  Copyright terms: Public domain W3C validator