MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flimfcls Structured version   Unicode version

Theorem flimfcls 18060
Description: A limit point is a cluster point. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimfcls  |-  ( J 
fLim  F )  C_  ( J  fClus  F )

Proof of Theorem flimfcls
Dummy variables  x  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flimtop 17999 . . 3  |-  ( a  e.  ( J  fLim  F )  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2438 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
32flimfil 18003 . . 3  |-  ( a  e.  ( J  fLim  F )  ->  F  e.  ( Fil `  U. J
) )
4 flimclsi 18012 . . . . . 6  |-  ( x  e.  F  ->  ( J  fLim  F )  C_  ( ( cls `  J
) `  x )
)
54sseld 3349 . . . . 5  |-  ( x  e.  F  ->  (
a  e.  ( J 
fLim  F )  ->  a  e.  ( ( cls `  J
) `  x )
) )
65com12 30 . . . 4  |-  ( a  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( x  e.  F  ->  a  e.  ( ( cls `  J
) `  x )
) )
76ralrimiv 2790 . . 3  |-  ( a  e.  ( J  fLim  F )  ->  A. x  e.  F  a  e.  ( ( cls `  J
) `  x )
)
82isfcls 18043 . . 3  |-  ( a  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( J  e. 
Top  /\  F  e.  ( Fil `  U. J
)  /\  A. x  e.  F  a  e.  ( ( cls `  J
) `  x )
) )
91, 3, 7, 8syl3anbrc 1139 . 2  |-  ( a  e.  ( J  fLim  F )  ->  a  e.  ( J  fClus  F ) )
109ssriv 3354 1  |-  ( J 
fLim  F )  C_  ( J  fClus  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1726   A.wral 2707    C_ wss 3322   U.cuni 4017   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Topctop 16960   clsccl 17084   Filcfil 17879    fLim cflim 17968    fClus cfcls 17970
This theorem is referenced by:  fclsfnflim  18061  flimfnfcls  18062  uffclsflim  18065  flfssfcf  18072  cnpfcf  18075  cfilfcls  19229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-fbas 16701  df-top 16965  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-fil 17880  df-flim 17973  df-fcls 17975
  Copyright terms: Public domain W3C validator