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Theorem flimfnfcls 17723
Description: A filter converges to a point iff every finer filter clusters there. Along with fclsfnflim 17722, this theorem illustrates the duality between convergence and clustering. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flimfnfcls.x  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
flimfnfcls  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F
)  <->  A. g  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J 
fClus  g ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, g    g, F    g, J    g, X

Proof of Theorem flimfnfcls
Dummy variables  o  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flimfcls 17721 . . . . 5  |-  ( J 
fLim  g )  C_  ( J  fClus  g )
2 flimtop 17660 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  J  e.  Top )
3 flimfnfcls.x . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
43toptopon 16671 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
52, 4sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
65ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  g  e.  ( Fil `  X ) )  /\  F  C_  g
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
7 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  g  e.  ( Fil `  X ) )  /\  F  C_  g
)  ->  g  e.  ( Fil `  X ) )
8 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  g  e.  ( Fil `  X ) )  /\  F  C_  g
)  ->  F  C_  g
)
9 flimss2 17667 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  g  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  g
)  ->  ( J  fLim  F )  C_  ( J  fLim  g ) )
106, 7, 8, 9syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  g  e.  ( Fil `  X ) )  /\  F  C_  g
)  ->  ( J  fLim  F )  C_  ( J  fLim  g ) )
11 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  g  e.  ( Fil `  X ) )  /\  F  C_  g
)  ->  A  e.  ( J  fLim  F ) )
1210, 11sseldd 3181 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  g  e.  ( Fil `  X ) )  /\  F  C_  g
)  ->  A  e.  ( J  fLim  g ) )
131, 12sseldi 3178 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  g  e.  ( Fil `  X ) )  /\  F  C_  g
)  ->  A  e.  ( J  fClus  g ) )
1413ex 423 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  g  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g ) ) )
1514ralrimiva 2626 . 2  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  A. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
) )
16 sseq2 3200 . . . . . 6  |-  ( g  =  F  ->  ( F  C_  g  <->  F  C_  F
) )
17 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( g  =  F  ->  ( J  fClus  g )  =  ( J  fClus  F ) )
1817eleq2d 2350 . . . . . 6  |-  ( g  =  F  ->  ( A  e.  ( J  fClus  g )  <->  A  e.  ( J  fClus  F ) ) )
1916, 18imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( g  =  F  ->  (
( F  C_  g  ->  A  e.  ( J 
fClus  g ) )  <->  ( F  C_  F  ->  A  e.  ( J  fClus  F ) ) ) )
2019rspcv 2880 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A. g  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g ) )  ->  ( F  C_  F  ->  A  e.  ( J  fClus  F ) ) ) )
21 ssid 3197 . . . . . 6  |-  F  C_  F
22 id 19 . . . . . 6  |-  ( ( F  C_  F  ->  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( F  C_  F  ->  A  e.  ( J  fClus  F ) ) )
2321, 22mpi 16 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  F  ->  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  A  e.  ( J  fClus  F ) )
24 fclstop 17706 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  J  e.  Top )
253fclselbas 17711 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  A  e.  X )
2624, 25jca 518 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )
2723, 26syl 15 . . . 4  |-  ( ( F  C_  F  ->  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )
2820, 27syl6 29 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A. g  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g ) )  ->  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) ) )
29 disjdif 3526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( o  i^i  ( X  \ 
o ) )  =  (/)
30 ssun1 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F  C_  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } )
31 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
32 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  J  e.  Top )
333topopn 16652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
3432, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  X  e.  J
)
35 pwexg 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( X  e.  J  ->  ~P X  e.  _V )
36 rabexg 4164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ~P X  e.  _V  ->  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x }  e.  _V )
3734, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  e.  _V )
38 unexg 4521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  {
x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x }  e.  _V )  ->  ( F  u.  {
x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } )  e.  _V )
3931, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } )  e.  _V )
40 ssfii 7172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } )  e.  _V  ->  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) 
C_  ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) )
4139, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } )  C_  ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } ) ) )
42 filsspw 17546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
43 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  C_  ~P X
4443a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  C_  ~P X )
4542, 44unssd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } )  C_  ~P X )
4645ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } )  C_  ~P X )
47 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  C_  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } )
48 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( X 
\  o )  C_  X
49 elpw2g 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( X  e.  J  ->  (
( X  \  o
)  e.  ~P X  <->  ( X  \  o ) 
C_  X ) )
5034, 49syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( ( X 
\  o )  e. 
~P X  <->  ( X  \  o )  C_  X
) )
5148, 50mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( X  \ 
o )  e.  ~P X )
52 ssid 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( X 
\  o )  C_  ( X  \  o
)
5352a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( X  \ 
o )  C_  ( X  \  o ) )
54 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  ( X  \ 
o )  ->  (
( X  \  o
)  C_  x  <->  ( X  \  o )  C_  ( X  \  o ) ) )
5554elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( X  \  o )  e.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  <->  ( ( X  \  o )  e. 
~P X  /\  ( X  \  o )  C_  ( X  \  o
) ) )
5651, 53, 55sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( X  \ 
o )  e.  {
x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } )
5747, 56sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( X  \ 
o )  e.  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) )
58 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  \  o )  e.  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } )  ->  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } )  =/=  (/) )
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } )  =/=  (/) )
60 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  =  z  ->  (
( X  \  o
)  C_  x  <->  ( X  \  o )  C_  z
) )
6160elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  e.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  <->  ( z  e.  ~P X  /\  ( X  \  o )  C_  z ) )
6261simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  ->  ( X  \  o ) 
C_  z )
6362ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  -> 
( X  \  o
)  C_  z )
64 sslin 3395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( X  \  o ) 
C_  z  ->  (
y  i^i  ( X  \  o ) )  C_  ( y  i^i  z
) )
6563, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  -> 
( y  i^i  ( X  \  o ) ) 
C_  ( y  i^i  z ) )
66 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  -.  o  e.  F )
6766adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  ->  -.  o  e.  F
)
68 inssdif0 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( y  i^i  X ) 
C_  o  <->  ( y  i^i  ( X  \  o
) )  =  (/) )
69 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
70 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  -> 
y  e.  F )
71 filelss 17547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  X )
7269, 70, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  -> 
y  C_  X )
73 df-ss 3166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( y 
C_  X  <->  ( y  i^i  X )  =  y )
7472, 73sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  -> 
( y  i^i  X
)  =  y )
7574sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  -> 
( ( y  i^i 
X )  C_  o  <->  y 
C_  o ) )
7631ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  /\  y  C_  o )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
77 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  /\  y  C_  o )  -> 
y  e.  F )
78 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( o  e.  J  ->  o  C_ 
U. J )
7978, 3syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( o  e.  J  ->  o  C_  X )
8079ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  o  C_  X
)
8180ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  /\  y  C_  o )  -> 
o  C_  X )
82 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  /\  y  C_  o )  -> 
y  C_  o )
83 filss 17548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
y  e.  F  /\  o  C_  X  /\  y  C_  o ) )  -> 
o  e.  F )
8476, 77, 81, 82, 83syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  /\  y  C_  o )  -> 
o  e.  F )
8584ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  -> 
( y  C_  o  ->  o  e.  F ) )
8675, 85sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  -> 
( ( y  i^i 
X )  C_  o  ->  o  e.  F ) )
8768, 86syl5bir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  -> 
( ( y  i^i  ( X  \  o
) )  =  (/)  ->  o  e.  F ) )
8887necon3bd 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  -> 
( -.  o  e.  F  ->  ( y  i^i  ( X  \  o
) )  =/=  (/) ) )
8967, 88mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  -> 
( y  i^i  ( X  \  o ) )  =/=  (/) )
90 ssn0 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  i^i  ( X  \  o ) ) 
C_  ( y  i^i  z )  /\  (
y  i^i  ( X  \  o ) )  =/=  (/) )  ->  ( y  i^i  z )  =/=  (/) )
9165, 89, 90syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  -> 
( y  i^i  z
)  =/=  (/) )
9291ralrimivva 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  A. y  e.  F  A. z  e.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  (
y  i^i  z )  =/=  (/) )
93 filfbas 17543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
9431, 93syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  F  e.  (
fBas `  X )
)
9548a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( X  \ 
o )  C_  X
)
96 filtop 17550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
9731, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  X  e.  F
)
98 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( o  =  X  ->  (
o  e.  F  <->  X  e.  F ) )
9997, 98syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( o  =  X  ->  o  e.  F ) )
10099necon3bd 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( -.  o  e.  F  ->  o  =/= 
X ) )
10166, 100mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  o  =/=  X
)
102 pssdifn0 3515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( o  C_  X  /\  o  =/=  X )  -> 
( X  \  o
)  =/=  (/) )
10380, 101, 102syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( X  \ 
o )  =/=  (/) )
104 supfil 17590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( X  e.  J  /\  ( X  \  o
)  C_  X  /\  ( X  \  o
)  =/=  (/) )  ->  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x }  e.  ( Fil `  X ) )
10534, 95, 103, 104syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  e.  ( Fil `  X ) )
106 filfbas 17543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x }  e.  ( Fil `  X )  ->  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  e.  ( fBas `  X )
)
107105, 106syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  e.  ( fBas `  X )
)
108 fbunfip 17564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  {
x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x }  e.  ( fBas `  X ) )  -> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) )  <->  A. y  e.  F  A. z  e.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  (
y  i^i  z )  =/=  (/) ) )
10994, 107, 108syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) )  <->  A. y  e.  F  A. z  e.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  (
y  i^i  z )  =/=  (/) ) )
11092, 109mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) )
111 fsubbas 17562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( X  e.  F  ->  (
( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) )  e.  ( fBas `  X )  <->  ( ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) 
C_  ~P X  /\  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) )
11297, 111syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( ( fi
`  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) 
C_  ~P X  /\  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) )
11346, 59, 110, 112mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) )  e.  ( fBas `  X ) )
114 ssfg 17567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( fi `  ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) )  e.  ( fBas `  X )  ->  ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) )
115113, 114syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) )
11641, 115sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) )
11730, 116syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  F  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) )
118 fgcl 17573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( fi `  ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) )  e.  ( fBas `  X )  ->  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
119113, 118syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
120 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) )  ->  ( F  C_  g  <->  F  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) )
121 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) )  ->  ( J  fClus  g )  =  ( J  fClus  ( X
filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) )
122121eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  g )  <->  A  e.  ( J  fClus  ( X
filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) ) )
123120, 122imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) )  ->  (
( F  C_  g  ->  A  e.  ( J 
fClus  g ) )  <->  ( F  C_  ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } ) ) )  ->  A  e.  ( J  fClus  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) ) ) )
124123rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) )  e.  ( Fil `  X )  ->  ( A. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
)  ->  ( F  C_  ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } ) ) )  ->  A  e.  ( J  fClus  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) ) ) )
125119, 124syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( A. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
)  ->  ( F  C_  ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } ) ) )  ->  A  e.  ( J  fClus  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) ) ) )
126117, 125mpid 37 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( A. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
)  ->  A  e.  ( J  fClus  ( X
filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) ) )
127 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  A  e.  ( J  fClus  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) )  ->  A  e.  ( J  fClus  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) )
128 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  A  e.  ( J  fClus  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) )  ->  o  e.  J
)
129 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  A  e.  o )
130129adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  A  e.  ( J  fClus  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) )  ->  A  e.  o )
131116, 57sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( X  \ 
o )  e.  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) )
132131adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  A  e.  ( J  fClus  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) )  ->  ( X  \ 
o )  e.  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) )
133 fclsopni 17710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( J 
fClus  ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } ) ) ) )  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o  /\  ( X  \  o )  e.  ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } ) ) ) ) )  ->  (
o  i^i  ( X  \  o ) )  =/=  (/) )
134127, 128, 130, 132, 133syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  A  e.  ( J  fClus  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) )  ->  ( o  i^i  ( X  \  o
) )  =/=  (/) )
135134ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  ( X
filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) )  -> 
( o  i^i  ( X  \  o ) )  =/=  (/) ) )
136126, 135syld 40 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( A. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
)  ->  ( o  i^i  ( X  \  o
) )  =/=  (/) ) )
137136necon2bd 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( ( o  i^i  ( X  \ 
o ) )  =  (/)  ->  -.  A. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
) ) )
13829, 137mpi 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  -.  A. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
) )
139138anassrs 629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  o  e.  J )  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) )  ->  -.  A. g  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J 
fClus  g ) ) )
140139expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  o  e.  J )  /\  A  e.  o
)  ->  ( -.  o  e.  F  ->  -. 
A. g  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J 
fClus  g ) ) ) )
141140con4d 97 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  o  e.  J )  /\  A  e.  o
)  ->  ( A. g  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g ) )  ->  o  e.  F ) )
142141ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  o  e.  J )  ->  ( A  e.  o  ->  ( A. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
)  ->  o  e.  F ) ) )
143142com23 72 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  o  e.  J )  ->  ( A. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
)  ->  ( A  e.  o  ->  o  e.  F ) ) )
144143ralrimdva 2633 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  -> 
( A. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
)  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  o  e.  F ) ) )
145 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  ->  A  e.  X )
146144, 145jctild 527 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  -> 
( A. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
)  ->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  o  e.  F ) ) ) )
147 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  ->  J  e.  Top )
148147, 4sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
149 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
150 flimopn 17670 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  o  e.  F ) ) ) )
151148, 149, 150syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  -> 
( A  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  -> 
o  e.  F ) ) ) )
152146, 151sylibrd 225 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  -> 
( A. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
)  ->  A  e.  ( J  fLim  F ) ) )
153152ex 423 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( A. g  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  F
) ) ) )
154153com23 72 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A. g  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g ) )  ->  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  ( J  fLim  F
) ) ) )
15528, 154mpdd 36 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A. g  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  F ) ) )
15615, 155impbid2 195 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F
)  <->  A. g  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J 
fClus  g ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ficfi 7164   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   fBascfbas 17518   filGencfg 17519   Filcfil 17540    fLim cflim 17629    fClus cfcls 17631
This theorem is referenced by:  cnpfcf  17736
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-flim 17634  df-fcls 17636
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