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Theorem flimfnfcls 18065
Description: A filter converges to a point iff every finer filter clusters there. Along with fclsfnflim 18064, this theorem illustrates the duality between convergence and clustering. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flimfnfcls.x  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
flimfnfcls  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F
)  <->  A. g  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J 
fClus  g ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, g    g, F    g, J    g, X

Proof of Theorem flimfnfcls
Dummy variables  o  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flimfcls 18063 . . . . 5  |-  ( J 
fLim  g )  C_  ( J  fClus  g )
2 flimtop 18002 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  J  e.  Top )
3 flimfnfcls.x . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
43toptopon 17003 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
52, 4sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
65ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  g  e.  ( Fil `  X ) )  /\  F  C_  g
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
7 simplr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  g  e.  ( Fil `  X ) )  /\  F  C_  g
)  ->  g  e.  ( Fil `  X ) )
8 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  g  e.  ( Fil `  X ) )  /\  F  C_  g
)  ->  F  C_  g
)
9 flimss2 18009 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  g  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  g
)  ->  ( J  fLim  F )  C_  ( J  fLim  g ) )
106, 7, 8, 9syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  g  e.  ( Fil `  X ) )  /\  F  C_  g
)  ->  ( J  fLim  F )  C_  ( J  fLim  g ) )
11 simpll 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  g  e.  ( Fil `  X ) )  /\  F  C_  g
)  ->  A  e.  ( J  fLim  F ) )
1210, 11sseldd 3351 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  g  e.  ( Fil `  X ) )  /\  F  C_  g
)  ->  A  e.  ( J  fLim  g ) )
131, 12sseldi 3348 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  g  e.  ( Fil `  X ) )  /\  F  C_  g
)  ->  A  e.  ( J  fClus  g ) )
1413ex 425 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  g  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g ) ) )
1514ralrimiva 2791 . 2  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  A. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
) )
16 sseq2 3372 . . . . . 6  |-  ( g  =  F  ->  ( F  C_  g  <->  F  C_  F
) )
17 oveq2 6092 . . . . . . 7  |-  ( g  =  F  ->  ( J  fClus  g )  =  ( J  fClus  F ) )
1817eleq2d 2505 . . . . . 6  |-  ( g  =  F  ->  ( A  e.  ( J  fClus  g )  <->  A  e.  ( J  fClus  F ) ) )
1916, 18imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( g  =  F  ->  (
( F  C_  g  ->  A  e.  ( J 
fClus  g ) )  <->  ( F  C_  F  ->  A  e.  ( J  fClus  F ) ) ) )
2019rspcv 3050 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A. g  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g ) )  ->  ( F  C_  F  ->  A  e.  ( J  fClus  F ) ) ) )
21 ssid 3369 . . . . . 6  |-  F  C_  F
22 id 21 . . . . . 6  |-  ( ( F  C_  F  ->  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( F  C_  F  ->  A  e.  ( J  fClus  F ) ) )
2321, 22mpi 17 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  F  ->  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  A  e.  ( J  fClus  F ) )
24 fclstop 18048 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  J  e.  Top )
253fclselbas 18053 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  A  e.  X )
2624, 25jca 520 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )
2723, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  C_  F  ->  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )
2820, 27syl6 32 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A. g  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g ) )  ->  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) ) )
29 disjdif 3702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( o  i^i  ( X  \ 
o ) )  =  (/)
30 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
31 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  J  e.  Top )
323topopn 16984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  X  e.  J
)
34 pwexg 4386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( X  e.  J  ->  ~P X  e.  _V )
35 rabexg 4356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ~P X  e.  _V  ->  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x }  e.  _V )
3633, 34, 353syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  e.  _V )
37 unexg 4713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  {
x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x }  e.  _V )  ->  ( F  u.  {
x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } )  e.  _V )
3830, 36, 37syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } )  e.  _V )
39 ssfii 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } )  e.  _V  ->  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) 
C_  ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } )  C_  ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } ) ) )
41 filsspw 17888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
42 ssrab2 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  C_  ~P X
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  C_  ~P X )
4441, 43unssd 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } )  C_  ~P X )
4544ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } )  C_  ~P X )
46 ssun2 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  C_  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } )
47 difss 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( X 
\  o )  C_  X
48 elpw2g 4366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( X  e.  J  ->  (
( X  \  o
)  e.  ~P X  <->  ( X  \  o ) 
C_  X ) )
4933, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( ( X 
\  o )  e. 
~P X  <->  ( X  \  o )  C_  X
) )
5047, 49mpbiri 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( X  \ 
o )  e.  ~P X )
51 ssid 3369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( X 
\  o )  C_  ( X  \  o
)
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( X  \ 
o )  C_  ( X  \  o ) )
53 sseq2 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  ( X  \ 
o )  ->  (
( X  \  o
)  C_  x  <->  ( X  \  o )  C_  ( X  \  o ) ) )
5453elrab 3094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( X  \  o )  e.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  <->  ( ( X  \  o )  e. 
~P X  /\  ( X  \  o )  C_  ( X  \  o
) ) )
5550, 52, 54sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( X  \ 
o )  e.  {
x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } )
5646, 55sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( X  \ 
o )  e.  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) )
57 ne0i 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  \  o )  e.  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } )  ->  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } )  =/=  (/) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } )  =/=  (/) )
59 sseq2 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  =  z  ->  (
( X  \  o
)  C_  x  <->  ( X  \  o )  C_  z
) )
6059elrab 3094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  e.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  <->  ( z  e.  ~P X  /\  ( X  \  o )  C_  z ) )
6160simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  ->  ( X  \  o ) 
C_  z )
6261ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  -> 
( X  \  o
)  C_  z )
63 sslin 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( X  \  o ) 
C_  z  ->  (
y  i^i  ( X  \  o ) )  C_  ( y  i^i  z
) )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  -> 
( y  i^i  ( X  \  o ) ) 
C_  ( y  i^i  z ) )
65 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  -.  o  e.  F )
6665adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  ->  -.  o  e.  F
)
67 inssdif0 3697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( y  i^i  X ) 
C_  o  <->  ( y  i^i  ( X  \  o
) )  =  (/) )
68 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
69 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  -> 
y  e.  F )
70 filelss 17889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  X )
7168, 69, 70syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  -> 
y  C_  X )
72 df-ss 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( y 
C_  X  <->  ( y  i^i  X )  =  y )
7371, 72sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  -> 
( y  i^i  X
)  =  y )
7473sseq1d 3377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  -> 
( ( y  i^i 
X )  C_  o  <->  y 
C_  o ) )
7530ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  /\  y  C_  o )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
76 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  /\  y  C_  o )  -> 
y  e.  F )
77 elssuni 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( o  e.  J  ->  o  C_ 
U. J )
7877, 3syl6sseqr 3397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( o  e.  J  ->  o  C_  X )
7978ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  o  C_  X
)
8079ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  /\  y  C_  o )  -> 
o  C_  X )
81 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  /\  y  C_  o )  -> 
y  C_  o )
82 filss 17890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
y  e.  F  /\  o  C_  X  /\  y  C_  o ) )  -> 
o  e.  F )
8375, 76, 80, 81, 82syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  /\  y  C_  o )  -> 
o  e.  F )
8483ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  -> 
( y  C_  o  ->  o  e.  F ) )
8574, 84sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  -> 
( ( y  i^i 
X )  C_  o  ->  o  e.  F ) )
8667, 85syl5bir 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  -> 
( ( y  i^i  ( X  \  o
) )  =  (/)  ->  o  e.  F ) )
8786necon3bd 2640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  -> 
( -.  o  e.  F  ->  ( y  i^i  ( X  \  o
) )  =/=  (/) ) )
8866, 87mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  -> 
( y  i^i  ( X  \  o ) )  =/=  (/) )
89 ssn0 3662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  i^i  ( X  \  o ) ) 
C_  ( y  i^i  z )  /\  (
y  i^i  ( X  \  o ) )  =/=  (/) )  ->  ( y  i^i  z )  =/=  (/) )
9064, 88, 89syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  ( y  e.  F  /\  z  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x } ) )  -> 
( y  i^i  z
)  =/=  (/) )
9190ralrimivva 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  A. y  e.  F  A. z  e.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  (
y  i^i  z )  =/=  (/) )
92 filfbas 17885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
9330, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  F  e.  (
fBas `  X )
)
9447a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( X  \ 
o )  C_  X
)
95 filtop 17892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
9630, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  X  e.  F
)
97 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( o  =  X  ->  (
o  e.  F  <->  X  e.  F ) )
9896, 97syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( o  =  X  ->  o  e.  F ) )
9998necon3bd 2640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( -.  o  e.  F  ->  o  =/= 
X ) )
10065, 99mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  o  =/=  X
)
101 pssdifn0 3691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( o  C_  X  /\  o  =/=  X )  -> 
( X  \  o
)  =/=  (/) )
10279, 100, 101syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( X  \ 
o )  =/=  (/) )
103 supfil 17932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( X  e.  J  /\  ( X  \  o
)  C_  X  /\  ( X  \  o
)  =/=  (/) )  ->  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o )  C_  x }  e.  ( Fil `  X ) )
10433, 94, 102, 103syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  e.  ( Fil `  X ) )
105 filfbas 17885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x }  e.  ( Fil `  X )  ->  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  e.  ( fBas `  X )
)
106104, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  e.  ( fBas `  X )
)
107 fbunfip 17906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  {
x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x }  e.  ( fBas `  X ) )  -> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) )  <->  A. y  e.  F  A. z  e.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  (
y  i^i  z )  =/=  (/) ) )
10893, 106, 107syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) )  <->  A. y  e.  F  A. z  e.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x }  (
y  i^i  z )  =/=  (/) ) )
10991, 108mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) )
110 fsubbas 17904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( X  e.  F  ->  (
( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) )  e.  ( fBas `  X )  <->  ( ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) 
C_  ~P X  /\  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) )
11196, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( ( fi
`  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) 
C_  ~P X  /\  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) )
11245, 58, 109, 111mpbir3and 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) )  e.  ( fBas `  X ) )
113 ssfg 17909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( fi `  ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) )  e.  ( fBas `  X )  ->  ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) )
114112, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) )
11540, 114sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) )
116115unssad 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  F  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) )
117 fgcl 17915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( fi `  ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) )  e.  ( fBas `  X )  ->  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
118112, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
119 sseq2 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) )  ->  ( F  C_  g  <->  F  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) )
120 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) )  ->  ( J  fClus  g )  =  ( J  fClus  ( X
filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) )
121120eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  g )  <->  A  e.  ( J  fClus  ( X
filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) ) )
122119, 121imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e. 
~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) )  ->  (
( F  C_  g  ->  A  e.  ( J 
fClus  g ) )  <->  ( F  C_  ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } ) ) )  ->  A  e.  ( J  fClus  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) ) ) )
123122rspcv 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) )  e.  ( Fil `  X )  ->  ( A. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
)  ->  ( F  C_  ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } ) ) )  ->  A  e.  ( J  fClus  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) ) ) )
124118, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( A. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
)  ->  ( F  C_  ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } ) ) )  ->  A  e.  ( J  fClus  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) ) ) )
125116, 124mpid 40 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( A. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
)  ->  A  e.  ( J  fClus  ( X
filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) ) )
126 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  A  e.  ( J  fClus  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) )  ->  A  e.  ( J  fClus  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) )
127 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  A  e.  ( J  fClus  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) )  ->  o  e.  J
)
128 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  A  e.  o )
129128adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  A  e.  ( J  fClus  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) )  ->  A  e.  o )
130115, 56sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( X  \ 
o )  e.  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) )
131130adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  A  e.  ( J  fClus  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) )  ->  ( X  \ 
o )  e.  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) )
132 fclsopni 18052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( J 
fClus  ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } ) ) ) )  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o  /\  ( X  \  o )  e.  ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \ 
o )  C_  x } ) ) ) ) )  ->  (
o  i^i  ( X  \  o ) )  =/=  (/) )
133126, 127, 129, 131, 132syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  /\  A  e.  ( J  fClus  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) ) )  ->  ( o  i^i  ( X  \  o
) )  =/=  (/) )
134133ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  ( X
filGen ( fi `  ( F  u.  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  o ) 
C_  x } ) ) ) )  -> 
( o  i^i  ( X  \  o ) )  =/=  (/) ) )
135125, 134syld 43 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( A. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
)  ->  ( o  i^i  ( X  \  o
) )  =/=  (/) ) )
136135necon2bd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  ( ( o  i^i  ( X  \ 
o ) )  =  (/)  ->  -.  A. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
) ) )
13729, 136mpi 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  ( o  e.  J  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) ) )  ->  -.  A. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
) )
138137anassrs 631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  o  e.  J )  /\  ( A  e.  o  /\  -.  o  e.  F ) )  ->  -.  A. g  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J 
fClus  g ) ) )
139138expr 600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  o  e.  J )  /\  A  e.  o
)  ->  ( -.  o  e.  F  ->  -. 
A. g  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J 
fClus  g ) ) ) )
140139con4d 100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  /\  o  e.  J )  /\  A  e.  o
)  ->  ( A. g  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g ) )  ->  o  e.  F ) )
141140ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  o  e.  J )  ->  ( A  e.  o  ->  ( A. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
)  ->  o  e.  F ) ) )
142141com23 75 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e. 
Top  /\  A  e.  X ) )  /\  o  e.  J )  ->  ( A. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
)  ->  ( A  e.  o  ->  o  e.  F ) ) )
143142ralrimdva 2798 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  -> 
( A. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
)  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  o  e.  F ) ) )
144 simprr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  ->  A  e.  X )
145143, 144jctild 529 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  -> 
( A. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
)  ->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  o  e.  F ) ) ) )
146 simprl 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  ->  J  e.  Top )
147146, 4sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
148 simpl 445 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
149 flimopn 18012 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  o  e.  F ) ) ) )
150147, 148, 149syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  -> 
( A  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  -> 
o  e.  F ) ) ) )
151145, 150sylibrd 227 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( J  e.  Top  /\  A  e.  X ) )  -> 
( A. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
)  ->  A  e.  ( J  fLim  F ) ) )
152151ex 425 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( A. g  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  F
) ) ) )
153152com23 75 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A. g  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g ) )  ->  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  ( J  fLim  F
) ) ) )
15428, 153mpdd 39 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A. g  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  g  ->  A  e.  ( J  fClus  g ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  F ) ) )
15515, 154impbid2 197 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F
)  <->  A. g  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  g  ->  A  e.  ( J 
fClus  g ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   ficfi 7418   fBascfbas 16694   filGencfg 16695   Topctop 16963  TopOnctopon 16964   Filcfil 17882    fLim cflim 17971    fClus cfcls 17973
This theorem is referenced by:  cnpfcf  18078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-fin 7116  df-fi 7419  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-top 16968  df-topon 16971  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-fil 17883  df-flim 17976  df-fcls 17978
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