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Theorem flimrest 18017
Description: The set of limit points in a restricted topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimrest  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( Jt  Y )  fLim  ( Ft  Y ) )  =  ( ( J  fLim  F )  i^i  Y ) )

Proof of Theorem flimrest
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2 filelss 17886 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  Y  C_  X )
323adant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  Y  C_  X )
4 resttopon 17227 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
51, 3, 4syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
6 filfbas 17882 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
763ad2ant2 980 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
8 simp3 960 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  Y  e.  F )
9 fbncp 17873 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  -.  ( X  \  Y )  e.  F )
107, 8, 9syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  -.  ( X  \  Y )  e.  F )
11 simp2 959 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
12 trfil3 17922 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  (
( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  <->  -.  ( X  \  Y
)  e.  F ) )
1311, 3, 12syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  <->  -.  ( X  \  Y
)  e.  F ) )
1410, 13mpbird 225 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y ) )
15 flimopn 18009 . . . . 5  |-  ( ( ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y )  /\  ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  ( x  e.  ( ( Jt  Y ) 
fLim  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  y  e.  ( Ft  Y ) ) ) ) )
165, 14, 15syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  Y )  fLim  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  y  e.  ( Ft  Y ) ) ) ) )
17 simpll2 998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
18 simpll3 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  Y  e.  F )
19 elrestr 13658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F  /\  z  e.  F )  ->  (
z  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) )
20193expia 1156 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  (
z  e.  F  -> 
( z  i^i  Y
)  e.  ( Ft  Y ) ) )
2117, 18, 20syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
z  e.  F  -> 
( z  i^i  Y
)  e.  ( Ft  Y ) ) )
22 trfilss 17923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  ( Ft  Y )  C_  F
)
2317, 18, 22syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  ( Ft  Y )  C_  F
)
2423sseld 3349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
( z  i^i  Y
)  e.  ( Ft  Y )  ->  ( z  i^i  Y )  e.  F
) )
25 inss1 3563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  i^i  Y )  C_  z
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
z  i^i  Y )  C_  z )
27 simpl1 961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
28 toponss 16996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  z  C_  X )
2927, 28sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  z  C_  X )
30 filss 17887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( z  i^i  Y
)  e.  F  /\  z  C_  X  /\  (
z  i^i  Y )  C_  z ) )  -> 
z  e.  F )
31303exp2 1172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( (
z  i^i  Y )  e.  F  ->  ( z 
C_  X  ->  (
( z  i^i  Y
)  C_  z  ->  z  e.  F ) ) ) )
3231com24 84 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( (
z  i^i  Y )  C_  z  ->  ( z  C_  X  ->  ( (
z  i^i  Y )  e.  F  ->  z  e.  F ) ) ) )
3317, 26, 29, 32syl3c 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
( z  i^i  Y
)  e.  F  -> 
z  e.  F ) )
3424, 33syld 43 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
( z  i^i  Y
)  e.  ( Ft  Y )  ->  z  e.  F ) )
3521, 34impbid 185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
z  e.  F  <->  ( z  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) ) )
3635imbi2d 309 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
( x  e.  z  ->  z  e.  F
)  <->  ( x  e.  z  ->  ( z  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) ) ) )
3736ralbidva 2723 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  z  e.  F )  <->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  ( z  i^i  Y
)  e.  ( Ft  Y ) ) ) )
38 simpl2 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
393sselda 3350 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  X )
40 flimopn 18009 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  ( x  e.  X  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  z  e.  F ) ) ) )
4140baibd 877 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  z  e.  F ) ) )
4227, 38, 39, 41syl21anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  z  e.  F ) ) )
43 vex 2961 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
4443inex1 4346 . . . . . . . 8  |-  ( z  i^i  Y )  e. 
_V
4544a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
z  i^i  Y )  e.  _V )
46 simpl3 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  Y  e.  F )
47 elrest 13657 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  (
y  e.  ( Jt  Y )  <->  E. z  e.  J  y  =  ( z  i^i  Y ) ) )
4827, 46, 47syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
y  e.  ( Jt  Y )  <->  E. z  e.  J  y  =  ( z  i^i  Y ) ) )
49 eleq2 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z  i^i 
Y )  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  ( z  i^i  Y
) ) )
50 elin 3532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( z  i^i 
Y )  <->  ( x  e.  z  /\  x  e.  Y ) )
5150rbaib 875 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  Y  ->  (
x  e.  ( z  i^i  Y )  <->  x  e.  z ) )
5251adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
x  e.  ( z  i^i  Y )  <->  x  e.  z ) )
5349, 52sylan9bbr 683 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  y  =  ( z  i^i  Y
) )  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  z ) )
54 eleq1 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z  i^i 
Y )  ->  (
y  e.  ( Ft  Y )  <->  ( z  i^i 
Y )  e.  ( Ft  Y ) ) )
5554adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  y  =  ( z  i^i  Y
) )  ->  (
y  e.  ( Ft  Y )  <->  ( z  i^i 
Y )  e.  ( Ft  Y ) ) )
5653, 55imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  y  =  ( z  i^i  Y
) )  ->  (
( x  e.  y  ->  y  e.  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  z  ->  ( z  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) ) ) )
5745, 48, 56ralxfr2d 4741 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  ( A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  y  e.  ( Ft  Y ) )  <->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  ( z  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) ) ) )
5837, 42, 573bitr4d 278 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  y  e.  ( Ft  Y ) ) ) )
5958pm5.32da 624 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fLim  F ) )  <-> 
( x  e.  Y  /\  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  y  e.  ( Ft  Y ) ) ) ) )
6016, 59bitr4d 249 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  Y )  fLim  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fLim  F
) ) ) )
61 ancom 439 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fLim  F ) )  <->  ( x  e.  ( J  fLim  F
)  /\  x  e.  Y ) )
62 elin 3532 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( J 
fLim  F )  i^i  Y
)  <->  ( x  e.  ( J  fLim  F
)  /\  x  e.  Y ) )
6361, 62bitr4i 245 . . 3  |-  ( ( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fLim  F ) )  <->  x  e.  ( ( J  fLim  F )  i^i  Y ) )
6460, 63syl6bb 254 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  Y )  fLim  ( Ft  Y ) )  <->  x  e.  ( ( J  fLim  F )  i^i  Y ) ) )
6564eqrdv 2436 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( Jt  Y )  fLim  ( Ft  Y ) )  =  ( ( J  fLim  F )  i^i  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   ↾t crest 13650   fBascfbas 16691  TopOnctopon 16961   Filcfil 17879    fLim cflim 17968
This theorem is referenced by:  cmetss  19269  minveclem4a  19333
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-fin 7115  df-fi 7418  df-rest 13652  df-topgen 13669  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-ntr 17086  df-nei 17164  df-fil 17880  df-flim 17973
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