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Theorem flimrest 17678
Description: The set of limit points in a restricted topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimrest  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( Jt  Y )  fLim  ( Ft  Y ) )  =  ( ( J  fLim  F )  i^i  Y ) )

Proof of Theorem flimrest
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2 filelss 17547 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  Y  C_  X )
323adant1 973 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  Y  C_  X )
4 resttopon 16892 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
51, 3, 4syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
6 filfbas 17543 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
763ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
8 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  Y  e.  F )
9 fbncp 17534 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  -.  ( X  \  Y )  e.  F )
107, 8, 9syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  -.  ( X  \  Y )  e.  F )
11 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
12 trfil3 17583 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  (
( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  <->  -.  ( X  \  Y
)  e.  F ) )
1311, 3, 12syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  <->  -.  ( X  \  Y
)  e.  F ) )
1410, 13mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y ) )
15 flimopn 17670 . . . . 5  |-  ( ( ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y )  /\  ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  ( x  e.  ( ( Jt  Y ) 
fLim  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  y  e.  ( Ft  Y ) ) ) ) )
165, 14, 15syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  Y )  fLim  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  y  e.  ( Ft  Y ) ) ) ) )
17 simpll2 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
18 simpll3 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  Y  e.  F )
19 elrestr 13333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F  /\  z  e.  F )  ->  (
z  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) )
20193expia 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  (
z  e.  F  -> 
( z  i^i  Y
)  e.  ( Ft  Y ) ) )
2117, 18, 20syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
z  e.  F  -> 
( z  i^i  Y
)  e.  ( Ft  Y ) ) )
22 trfilss 17584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  ( Ft  Y )  C_  F
)
2317, 18, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  ( Ft  Y )  C_  F
)
2423sseld 3179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
( z  i^i  Y
)  e.  ( Ft  Y )  ->  ( z  i^i  Y )  e.  F
) )
25 inss1 3389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  i^i  Y )  C_  z
2625a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
z  i^i  Y )  C_  z )
27 simpl1 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
28 toponss 16667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  z  C_  X )
2927, 28sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  z  C_  X )
30 filss 17548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( z  i^i  Y
)  e.  F  /\  z  C_  X  /\  (
z  i^i  Y )  C_  z ) )  -> 
z  e.  F )
31303exp2 1169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( (
z  i^i  Y )  e.  F  ->  ( z 
C_  X  ->  (
( z  i^i  Y
)  C_  z  ->  z  e.  F ) ) ) )
3231com24 81 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( (
z  i^i  Y )  C_  z  ->  ( z  C_  X  ->  ( (
z  i^i  Y )  e.  F  ->  z  e.  F ) ) ) )
3317, 26, 29, 32syl3c 57 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
( z  i^i  Y
)  e.  F  -> 
z  e.  F ) )
3424, 33syld 40 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
( z  i^i  Y
)  e.  ( Ft  Y )  ->  z  e.  F ) )
3521, 34impbid 183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
z  e.  F  <->  ( z  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) ) )
3635imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
( x  e.  z  ->  z  e.  F
)  <->  ( x  e.  z  ->  ( z  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) ) ) )
3736ralbidva 2559 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  z  e.  F )  <->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  ( z  i^i  Y
)  e.  ( Ft  Y ) ) ) )
38 simpl2 959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
393sselda 3180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  X )
40 flimopn 17670 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  ( x  e.  X  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  z  e.  F ) ) ) )
4140baibd 875 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  z  e.  F ) ) )
4227, 38, 39, 41syl21anc 1181 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  z  e.  F ) ) )
43 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
4443inex1 4155 . . . . . . . 8  |-  ( z  i^i  Y )  e. 
_V
4544a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
z  i^i  Y )  e.  _V )
46 simpl3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  Y  e.  F )
47 elrest 13332 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  (
y  e.  ( Jt  Y )  <->  E. z  e.  J  y  =  ( z  i^i  Y ) ) )
4827, 46, 47syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
y  e.  ( Jt  Y )  <->  E. z  e.  J  y  =  ( z  i^i  Y ) ) )
49 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z  i^i 
Y )  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  ( z  i^i  Y
) ) )
50 elin 3358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( z  i^i 
Y )  <->  ( x  e.  z  /\  x  e.  Y ) )
5150rbaib 873 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  Y  ->  (
x  e.  ( z  i^i  Y )  <->  x  e.  z ) )
5251adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
x  e.  ( z  i^i  Y )  <->  x  e.  z ) )
5349, 52sylan9bbr 681 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  y  =  ( z  i^i  Y
) )  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  z ) )
54 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z  i^i 
Y )  ->  (
y  e.  ( Ft  Y )  <->  ( z  i^i 
Y )  e.  ( Ft  Y ) ) )
5554adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  y  =  ( z  i^i  Y
) )  ->  (
y  e.  ( Ft  Y )  <->  ( z  i^i 
Y )  e.  ( Ft  Y ) ) )
5653, 55imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  y  =  ( z  i^i  Y
) )  ->  (
( x  e.  y  ->  y  e.  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  z  ->  ( z  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) ) ) )
5745, 48, 56ralxfr2d 4550 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  ( A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  y  e.  ( Ft  Y ) )  <->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  ( z  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) ) ) )
5837, 42, 573bitr4d 276 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  y  e.  ( Ft  Y ) ) ) )
5958pm5.32da 622 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fLim  F ) )  <-> 
( x  e.  Y  /\  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  y  e.  ( Ft  Y ) ) ) ) )
6016, 59bitr4d 247 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  Y )  fLim  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fLim  F
) ) ) )
61 ancom 437 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fLim  F ) )  <->  ( x  e.  ( J  fLim  F
)  /\  x  e.  Y ) )
62 elin 3358 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( J 
fLim  F )  i^i  Y
)  <->  ( x  e.  ( J  fLim  F
)  /\  x  e.  Y ) )
6361, 62bitr4i 243 . . 3  |-  ( ( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fLim  F ) )  <->  x  e.  ( ( J  fLim  F )  i^i  Y ) )
6460, 63syl6bb 252 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  Y )  fLim  ( Ft  Y ) )  <->  x  e.  ( ( J  fLim  F )  i^i  Y ) ) )
6564eqrdv 2281 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( Jt  Y )  fLim  ( Ft  Y ) )  =  ( ( J  fLim  F )  i^i  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325  TopOnctopon 16632   fBascfbas 17518   Filcfil 17540    fLim cflim 17629
This theorem is referenced by:  cmetss  18740  minveclem4a  18794
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-ntr 16757  df-nei 16835  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-flim 17634
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