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Theorem flimrest 17694
Description: The set of limit points in a restricted topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimrest  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( Jt  Y )  fLim  ( Ft  Y ) )  =  ( ( J  fLim  F )  i^i  Y ) )

Proof of Theorem flimrest
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2 filelss 17563 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  Y  C_  X )
323adant1 973 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  Y  C_  X )
4 resttopon 16908 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
51, 3, 4syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
6 filfbas 17559 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
763ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
8 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  Y  e.  F )
9 fbncp 17550 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  -.  ( X  \  Y )  e.  F )
107, 8, 9syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  -.  ( X  \  Y )  e.  F )
11 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
12 trfil3 17599 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  (
( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  <->  -.  ( X  \  Y
)  e.  F ) )
1311, 3, 12syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  <->  -.  ( X  \  Y
)  e.  F ) )
1410, 13mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y ) )
15 flimopn 17686 . . . . 5  |-  ( ( ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y )  /\  ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  ( x  e.  ( ( Jt  Y ) 
fLim  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  y  e.  ( Ft  Y ) ) ) ) )
165, 14, 15syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  Y )  fLim  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  y  e.  ( Ft  Y ) ) ) ) )
17 simpll2 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
18 simpll3 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  Y  e.  F )
19 elrestr 13349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F  /\  z  e.  F )  ->  (
z  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) )
20193expia 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  (
z  e.  F  -> 
( z  i^i  Y
)  e.  ( Ft  Y ) ) )
2117, 18, 20syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
z  e.  F  -> 
( z  i^i  Y
)  e.  ( Ft  Y ) ) )
22 trfilss 17600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  ( Ft  Y )  C_  F
)
2317, 18, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  ( Ft  Y )  C_  F
)
2423sseld 3192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
( z  i^i  Y
)  e.  ( Ft  Y )  ->  ( z  i^i  Y )  e.  F
) )
25 inss1 3402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  i^i  Y )  C_  z
2625a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
z  i^i  Y )  C_  z )
27 simpl1 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
28 toponss 16683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  z  C_  X )
2927, 28sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  z  C_  X )
30 filss 17564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( z  i^i  Y
)  e.  F  /\  z  C_  X  /\  (
z  i^i  Y )  C_  z ) )  -> 
z  e.  F )
31303exp2 1169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( (
z  i^i  Y )  e.  F  ->  ( z 
C_  X  ->  (
( z  i^i  Y
)  C_  z  ->  z  e.  F ) ) ) )
3231com24 81 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( (
z  i^i  Y )  C_  z  ->  ( z  C_  X  ->  ( (
z  i^i  Y )  e.  F  ->  z  e.  F ) ) ) )
3317, 26, 29, 32syl3c 57 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
( z  i^i  Y
)  e.  F  -> 
z  e.  F ) )
3424, 33syld 40 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
( z  i^i  Y
)  e.  ( Ft  Y )  ->  z  e.  F ) )
3521, 34impbid 183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
z  e.  F  <->  ( z  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) ) )
3635imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
( x  e.  z  ->  z  e.  F
)  <->  ( x  e.  z  ->  ( z  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) ) ) )
3736ralbidva 2572 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  z  e.  F )  <->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  ( z  i^i  Y
)  e.  ( Ft  Y ) ) ) )
38 simpl2 959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
393sselda 3193 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  X )
40 flimopn 17686 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  ( x  e.  X  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  z  e.  F ) ) ) )
4140baibd 875 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  z  e.  F ) ) )
4227, 38, 39, 41syl21anc 1181 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  z  e.  F ) ) )
43 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
4443inex1 4171 . . . . . . . 8  |-  ( z  i^i  Y )  e. 
_V
4544a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
z  i^i  Y )  e.  _V )
46 simpl3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  Y  e.  F )
47 elrest 13348 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  (
y  e.  ( Jt  Y )  <->  E. z  e.  J  y  =  ( z  i^i  Y ) ) )
4827, 46, 47syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
y  e.  ( Jt  Y )  <->  E. z  e.  J  y  =  ( z  i^i  Y ) ) )
49 eleq2 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z  i^i 
Y )  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  ( z  i^i  Y
) ) )
50 elin 3371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( z  i^i 
Y )  <->  ( x  e.  z  /\  x  e.  Y ) )
5150rbaib 873 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  Y  ->  (
x  e.  ( z  i^i  Y )  <->  x  e.  z ) )
5251adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
x  e.  ( z  i^i  Y )  <->  x  e.  z ) )
5349, 52sylan9bbr 681 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  y  =  ( z  i^i  Y
) )  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  z ) )
54 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z  i^i 
Y )  ->  (
y  e.  ( Ft  Y )  <->  ( z  i^i 
Y )  e.  ( Ft  Y ) ) )
5554adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  y  =  ( z  i^i  Y
) )  ->  (
y  e.  ( Ft  Y )  <->  ( z  i^i 
Y )  e.  ( Ft  Y ) ) )
5653, 55imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  y  =  ( z  i^i  Y
) )  ->  (
( x  e.  y  ->  y  e.  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  z  ->  ( z  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) ) ) )
5745, 48, 56ralxfr2d 4566 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  ( A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  y  e.  ( Ft  Y ) )  <->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  ( z  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) ) ) )
5837, 42, 573bitr4d 276 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  y  e.  ( Ft  Y ) ) ) )
5958pm5.32da 622 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fLim  F ) )  <-> 
( x  e.  Y  /\  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  y  e.  ( Ft  Y ) ) ) ) )
6016, 59bitr4d 247 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  Y )  fLim  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fLim  F
) ) ) )
61 ancom 437 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fLim  F ) )  <->  ( x  e.  ( J  fLim  F
)  /\  x  e.  Y ) )
62 elin 3371 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( J 
fLim  F )  i^i  Y
)  <->  ( x  e.  ( J  fLim  F
)  /\  x  e.  Y ) )
6361, 62bitr4i 243 . . 3  |-  ( ( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fLim  F ) )  <->  x  e.  ( ( J  fLim  F )  i^i  Y ) )
6460, 63syl6bb 252 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  Y )  fLim  ( Ft  Y ) )  <->  x  e.  ( ( J  fLim  F )  i^i  Y ) ) )
6564eqrdv 2294 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( Jt  Y )  fLim  ( Ft  Y ) )  =  ( ( J  fLim  F )  i^i  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341  TopOnctopon 16648   fBascfbas 17534   Filcfil 17556    fLim cflim 17645
This theorem is referenced by:  cmetss  18756  minveclem4a  18810
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-ntr 16773  df-nei 16851  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-flim 17650
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