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Theorem flimsncls 17783
Description: If  A is a limit point of the filter  F, then all the points which specialize  A (in the specialization preorder) are also limit points. Thus, the set of limit points is a union of closed sets (although this is only nontrivial for non-T1 spaces). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimsncls  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( ( cls `  J ) `  { A } )  C_  ( J  fLim  F ) )

Proof of Theorem flimsncls
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flimtop 17762 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2358 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
32flimelbas 17765 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  A  e.  U. J )
43snssd 3839 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  { A }  C_  U. J )
52clsss3 16902 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { A }  C_  U. J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  { A } )  C_  U. J )
61, 4, 5syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( ( cls `  J ) `  { A } )  C_  U. J )
76sselda 3256 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  ->  x  e.  U. J )
8 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  x  e.  (
( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y
) )  ->  A  e.  ( J  fLim  F
) )
98, 1syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  x  e.  (
( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y
) )  ->  J  e.  Top )
10 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  x  e.  (
( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y
) )  ->  y  e.  J )
111adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  ->  J  e.  Top )
124adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  ->  { A }  C_  U. J
)
13 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  J ) `  { A } ) )
1411, 12, 133jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  -> 
( J  e.  Top  /\ 
{ A }  C_  U. J  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) ) )
152clsndisj 16918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\ 
{ A }  C_  U. J  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y
) )  ->  (
y  i^i  { A } )  =/=  (/) )
16 disjsn 3769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  i^i  { A } )  =  (/)  <->  -.  A  e.  y )
1716necon2abii 2576 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  y  <->  ( y  i^i  { A } )  =/=  (/) )
1815, 17sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\ 
{ A }  C_  U. J  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y
) )  ->  A  e.  y )
1914, 18sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  x  e.  (
( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y
) )  ->  A  e.  y )
20 opnneip 16962 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  J  /\  A  e.  y )  ->  y  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
219, 10, 19, 20syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  x  e.  (
( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y
) )  ->  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )
22 flimnei 17764 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
y  e.  F )
238, 21, 22syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  x  e.  (
( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y
) )  ->  y  e.  F )
2423expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  x  e.  (
( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( x  e.  y  ->  y  e.  F
) )
2524ralrimiva 2702 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  ->  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) )
262toptopon 16777 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
2711, 26sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
282flimfil 17766 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  F  e.  ( Fil `  U. J
) )
2928adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  ->  F  e.  ( Fil ` 
U. J ) )
30 flimopn 17772 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  F  e.  ( Fil `  U. J ) )  -> 
( x  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( x  e.  U. J  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) ) ) )
3127, 29, 30syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  -> 
( x  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( x  e.  U. J  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) ) ) )
327, 25, 31mpbir2and 888 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  ->  x  e.  ( J  fLim  F ) )
3332ex 423 . 2  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } )  ->  x  e.  ( J  fLim  F
) ) )
3433ssrdv 3261 1  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( ( cls `  J ) `  { A } )  C_  ( J  fLim  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619    i^i cin 3227    C_ wss 3228   (/)c0 3531   {csn 3716   U.cuni 3908   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   Topctop 16737  TopOnctopon 16738   clsccl 16861   neicnei 16940   Filcfil 17642    fLim cflim 17731
This theorem is referenced by:  tsmscls  17922
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-fbas 16479  df-top 16742  df-topon 16745  df-cld 16862  df-ntr 16863  df-cls 16864  df-nei 16941  df-fil 17643  df-flim 17736
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