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Theorem flimsncls 18023
Description: If  A is a limit point of the filter  F, then all the points which specialize  A (in the specialization preorder) are also limit points. Thus, the set of limit points is a union of closed sets (although this is only nontrivial for non-T1 spaces). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimsncls  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( ( cls `  J ) `  { A } )  C_  ( J  fLim  F ) )

Proof of Theorem flimsncls
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flimtop 18002 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
32flimelbas 18005 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  A  e.  U. J )
43snssd 3945 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  { A }  C_  U. J )
52clsss3 17128 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { A }  C_  U. J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  { A } )  C_  U. J )
61, 4, 5syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( ( cls `  J ) `  { A } )  C_  U. J )
76sselda 3350 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  ->  x  e.  U. J )
8 simpll 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  x  e.  (
( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y
) )  ->  A  e.  ( J  fLim  F
) )
98, 1syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  x  e.  (
( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y
) )  ->  J  e.  Top )
10 simprl 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  x  e.  (
( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y
) )  ->  y  e.  J )
111adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  ->  J  e.  Top )
124adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  ->  { A }  C_  U. J
)
13 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  J ) `  { A } ) )
1411, 12, 133jca 1135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  -> 
( J  e.  Top  /\ 
{ A }  C_  U. J  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) ) )
152clsndisj 17144 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\ 
{ A }  C_  U. J  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y
) )  ->  (
y  i^i  { A } )  =/=  (/) )
16 disjsn 3870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  i^i  { A } )  =  (/)  <->  -.  A  e.  y )
1716necon2abii 2661 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  y  <->  ( y  i^i  { A } )  =/=  (/) )
1815, 17sylibr 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\ 
{ A }  C_  U. J  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y
) )  ->  A  e.  y )
1914, 18sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  x  e.  (
( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y
) )  ->  A  e.  y )
20 opnneip 17188 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  J  /\  A  e.  y )  ->  y  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
219, 10, 19, 20syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  x  e.  (
( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y
) )  ->  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )
22 flimnei 18004 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
y  e.  F )
238, 21, 22syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  x  e.  (
( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y
) )  ->  y  e.  F )
2423expr 600 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  x  e.  (
( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( x  e.  y  ->  y  e.  F
) )
2524ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  ->  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) )
262toptopon 17003 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
2711, 26sylib 190 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
282flimfil 18006 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  F  e.  ( Fil `  U. J
) )
2928adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  ->  F  e.  ( Fil ` 
U. J ) )
30 flimopn 18012 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  F  e.  ( Fil `  U. J ) )  -> 
( x  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( x  e.  U. J  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) ) ) )
3127, 29, 30syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  -> 
( x  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( x  e.  U. J  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) ) ) )
327, 25, 31mpbir2and 890 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  ->  x  e.  ( J  fLim  F ) )
3332ex 425 . 2  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } )  ->  x  e.  ( J  fLim  F
) ) )
3433ssrdv 3356 1  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( ( cls `  J ) `  { A } )  C_  ( J  fLim  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   U.cuni 4017   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Topctop 16963  TopOnctopon 16964   clsccl 17087   neicnei 17166   Filcfil 17882    fLim cflim 17971
This theorem is referenced by:  tsmscls  18172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-fbas 16704  df-top 16968  df-topon 16971  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-fil 17883  df-flim 17976
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