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Theorem flimsncls 17979
Description: If  A is a limit point of the filter  F, then all the points which specialize  A (in the specialization preorder) are also limit points. Thus, the set of limit points is a union of closed sets (although this is only nontrivial for non-T1 spaces). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimsncls  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( ( cls `  J ) `  { A } )  C_  ( J  fLim  F ) )

Proof of Theorem flimsncls
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flimtop 17958 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
32flimelbas 17961 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  A  e.  U. J )
43snssd 3911 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  { A }  C_  U. J )
52clsss3 17086 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { A }  C_  U. J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  { A } )  C_  U. J )
61, 4, 5syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( ( cls `  J ) `  { A } )  C_  U. J )
76sselda 3316 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  ->  x  e.  U. J )
8 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  x  e.  (
( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y
) )  ->  A  e.  ( J  fLim  F
) )
98, 1syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  x  e.  (
( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y
) )  ->  J  e.  Top )
10 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  x  e.  (
( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y
) )  ->  y  e.  J )
111adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  ->  J  e.  Top )
124adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  ->  { A }  C_  U. J
)
13 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  J ) `  { A } ) )
1411, 12, 133jca 1134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  -> 
( J  e.  Top  /\ 
{ A }  C_  U. J  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) ) )
152clsndisj 17102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\ 
{ A }  C_  U. J  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y
) )  ->  (
y  i^i  { A } )  =/=  (/) )
16 disjsn 3836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  i^i  { A } )  =  (/)  <->  -.  A  e.  y )
1716necon2abii 2630 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  y  <->  ( y  i^i  { A } )  =/=  (/) )
1815, 17sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\ 
{ A }  C_  U. J  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y
) )  ->  A  e.  y )
1914, 18sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  x  e.  (
( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y
) )  ->  A  e.  y )
20 opnneip 17146 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  J  /\  A  e.  y )  ->  y  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
219, 10, 19, 20syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  x  e.  (
( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y
) )  ->  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )
22 flimnei 17960 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
y  e.  F )
238, 21, 22syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  x  e.  (
( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y
) )  ->  y  e.  F )
2423expr 599 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  F )  /\  x  e.  (
( cls `  J
) `  { A } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( x  e.  y  ->  y  e.  F
) )
2524ralrimiva 2757 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  ->  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) )
262toptopon 16961 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
2711, 26sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
282flimfil 17962 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  F  e.  ( Fil `  U. J
) )
2928adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  ->  F  e.  ( Fil ` 
U. J ) )
30 flimopn 17968 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  F  e.  ( Fil `  U. J ) )  -> 
( x  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( x  e.  U. J  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) ) ) )
3127, 29, 30syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  -> 
( x  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( x  e.  U. J  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) ) ) )
327, 25, 31mpbir2and 889 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  F )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } ) )  ->  x  e.  ( J  fLim  F ) )
3332ex 424 . 2  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  { A } )  ->  x  e.  ( J  fLim  F
) ) )
3433ssrdv 3322 1  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( ( cls `  J ) `  { A } )  C_  ( J  fLim  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674    i^i cin 3287    C_ wss 3288   (/)c0 3596   {csn 3782   U.cuni 3983   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Topctop 16921  TopOnctopon 16922   clsccl 17045   neicnei 17124   Filcfil 17838    fLim cflim 17927
This theorem is referenced by:  tsmscls  18128
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-fbas 16662  df-top 16926  df-topon 16929  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-fil 17839  df-flim 17932
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