Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flimsncls Structured version   Unicode version

Theorem flimsncls 18023
 Description: If is a limit point of the filter , then all the points which specialize (in the specialization preorder) are also limit points. Thus, the set of limit points is a union of closed sets (although this is only nontrivial for non-T1 spaces). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimsncls

Proof of Theorem flimsncls
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flimtop 18002 . . . . . 6
2 eqid 2438 . . . . . . . 8
32flimelbas 18005 . . . . . . 7
43snssd 3945 . . . . . 6
52clsss3 17128 . . . . . 6
61, 4, 5syl2anc 644 . . . . 5
76sselda 3350 . . . 4
8 simpll 732 . . . . . . 7
98, 1syl 16 . . . . . . . 8
10 simprl 734 . . . . . . . 8
111adantr 453 . . . . . . . . . 10
124adantr 453 . . . . . . . . . 10
13 simpr 449 . . . . . . . . . 10
1411, 12, 133jca 1135 . . . . . . . . 9
152clsndisj 17144 . . . . . . . . . 10
16 disjsn 3870 . . . . . . . . . . 11
1716necon2abii 2661 . . . . . . . . . 10
1815, 17sylibr 205 . . . . . . . . 9
1914, 18sylan 459 . . . . . . . 8
20 opnneip 17188 . . . . . . . 8
219, 10, 19, 20syl3anc 1185 . . . . . . 7
22 flimnei 18004 . . . . . . 7
238, 21, 22syl2anc 644 . . . . . 6
2423expr 600 . . . . 5
2524ralrimiva 2791 . . . 4
262toptopon 17003 . . . . . 6 TopOn
2711, 26sylib 190 . . . . 5 TopOn
282flimfil 18006 . . . . . 6
2928adantr 453 . . . . 5
30 flimopn 18012 . . . . 5 TopOn
3127, 29, 30syl2anc 644 . . . 4
327, 25, 31mpbir2and 890 . . 3
3332ex 425 . 2
3433ssrdv 3356 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wcel 1726   wne 2601  wral 2707   cin 3321   wss 3322  c0 3630  csn 3816  cuni 4017  cfv 5457  (class class class)co 6084  ctop 16963  TopOnctopon 16964  ccl 17087  cnei 17166  cfil 17882   cflim 17971 This theorem is referenced by:  tsmscls  18172 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-fbas 16704  df-top 16968  df-topon 16971  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-fil 17883  df-flim 17976
 Copyright terms: Public domain W3C validator