Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flimss1 Structured version   Unicode version

Theorem flimss1 17997
 Description: A limit point of a filter is a limit point in a coarser topology. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimss1 TopOn

Proof of Theorem flimss1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . . . 7
21flimelbas 17992 . . . . . 6
32adantl 453 . . . . 5 TopOn
4 simpl2 961 . . . . . . 7 TopOn
5 filunibas 17905 . . . . . . 7
64, 5syl 16 . . . . . 6 TopOn
71flimfil 17993 . . . . . . . 8
87adantl 453 . . . . . . 7 TopOn
9 filunibas 17905 . . . . . . 7
108, 9syl 16 . . . . . 6 TopOn
116, 10eqtr3d 2469 . . . . 5 TopOn
123, 11eleqtrrd 2512 . . . 4 TopOn
13 simpl1 960 . . . . . . 7 TopOn TopOn
14 topontop 16983 . . . . . . 7 TopOn
1513, 14syl 16 . . . . . 6 TopOn
16 flimtop 17989 . . . . . . 7
1716adantl 453 . . . . . 6 TopOn
18 toponuni 16984 . . . . . . . 8 TopOn
1913, 18syl 16 . . . . . . 7 TopOn
2019, 11eqtr3d 2469 . . . . . 6 TopOn
21 simpl3 962 . . . . . 6 TopOn
22 eqid 2435 . . . . . . 7
2322, 1topssnei 17180 . . . . . 6
2415, 17, 20, 21, 23syl31anc 1187 . . . . 5 TopOn
25 flimneiss 17990 . . . . . 6
2625adantl 453 . . . . 5 TopOn
2724, 26sstrd 3350 . . . 4 TopOn
28 elflim 17995 . . . . 5 TopOn
2913, 4, 28syl2anc 643 . . . 4 TopOn
3012, 27, 29mpbir2and 889 . . 3 TopOn
3130ex 424 . 2 TopOn
3231ssrdv 3346 1 TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wss 3312  csn 3806  cuni 4007  cfv 5446  (class class class)co 6073  ctop 16950  TopOnctopon 16951  cnei 17153  cfil 17869   cflim 17958 This theorem is referenced by:  flimcf  18006 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-fbas 16691  df-top 16955  df-topon 16958  df-ntr 17076  df-nei 17154  df-fil 17870  df-flim 17963
 Copyright terms: Public domain W3C validator