Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flimss2 Structured version   Unicode version

Theorem flimss2 17996
 Description: A limit point of a filter is a limit point of a finer filter. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimss2 TopOn

Proof of Theorem flimss2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . . . 7
21flimelbas 17992 . . . . . 6
32adantl 453 . . . . 5 TopOn
4 simpl1 960 . . . . . 6 TopOn TopOn
5 toponuni 16984 . . . . . 6 TopOn
64, 5syl 16 . . . . 5 TopOn
73, 6eleqtrrd 2512 . . . 4 TopOn
8 flimneiss 17990 . . . . . 6
98adantl 453 . . . . 5 TopOn
10 simpl3 962 . . . . 5 TopOn
119, 10sstrd 3350 . . . 4 TopOn
12 simpl2 961 . . . . 5 TopOn
13 elflim 17995 . . . . 5 TopOn
144, 12, 13syl2anc 643 . . . 4 TopOn
157, 11, 14mpbir2and 889 . . 3 TopOn
1615ex 424 . 2 TopOn
1716ssrdv 3346 1 TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wss 3312  csn 3806  cuni 4007  cfv 5446  (class class class)co 6073  TopOnctopon 16951  cnei 17153  cfil 17869   cflim 17958 This theorem is referenced by:  flimfnfcls  18052  cnpfcf  18065 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-fbas 16691  df-top 16955  df-topon 16958  df-fil 17870  df-flim 17963
 Copyright terms: Public domain W3C validator