MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flimtopon Unicode version

Theorem flimtopon 17665
Description: Reverse closure for the limit point predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimtopon  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  <->  F  e.  ( Fil `  X
) ) )

Proof of Theorem flimtopon
StepHypRef Expression
1 flimtop 17660 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  J  e.  Top )
2 istopon 16663 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. J ) )
32baib 871 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  (TopOn `  X
)  <->  X  =  U. J ) )
41, 3syl 15 . 2  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  <->  X  =  U. J ) )
5 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
65flimfil 17664 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  F  e.  ( Fil `  U. J
) )
7 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( X  =  U. J  -> 
( Fil `  X
)  =  ( Fil `  U. J ) )
87eleq2d 2350 . . . 4  |-  ( X  =  U. J  -> 
( F  e.  ( Fil `  X )  <-> 
F  e.  ( Fil `  U. J ) ) )
96, 8syl5ibrcom 213 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( X  =  U. J  ->  F  e.  ( Fil `  X
) ) )
10 filunibas 17576 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. J )  ->  U. F  =  U. J )
116, 10syl 15 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  U. F  = 
U. J )
12 filunibas 17576 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
1312eqeq1d 2291 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( U. F  =  U. J  <->  X  =  U. J ) )
1411, 13syl5ibcom 211 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  =  U. J ) )
159, 14impbid 183 . 2  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( X  =  U. J  <->  F  e.  ( Fil `  X ) ) )
164, 15bitrd 244 1  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  <->  F  e.  ( Fil `  X
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   U.cuni 3827   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Filcfil 17540    fLim cflim 17629
This theorem is referenced by:  fclsfnflim  17722
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-top 16636  df-topon 16639  df-nei 16835  df-fbas 17520  df-fil 17541  df-flim 17634
  Copyright terms: Public domain W3C validator