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Theorem flval2 11150
Description: An alternate way to define the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 16-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
flval2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  =  ( iota_ x  e.  ZZ ( x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem flval2
StepHypRef Expression
1 flle 11137 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
2 flge 11143 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  <_  A  <->  y  <_  ( |_ `  A ) ) )
32biimpd 199 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  <_  A  ->  y  <_  ( |_ `  A ) ) )
43ralrimiva 2734 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  ( |_ `  A ) ) )
5 flcl 11133 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
6 zmax 10505 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) )
7 breq1 4158 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( |_ `  A )  ->  (
x  <_  A  <->  ( |_ `  A )  <_  A
) )
8 breq2 4159 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( |_ `  A )  ->  (
y  <_  x  <->  y  <_  ( |_ `  A ) ) )
98imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( |_ `  A )  ->  (
( y  <_  A  ->  y  <_  x )  <->  ( y  <_  A  ->  y  <_  ( |_ `  A ) ) ) )
109ralbidv 2671 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( |_ `  A )  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x )  <->  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  ( |_ `  A ) ) ) )
117, 10anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  ( |_ `  A )  ->  (
( x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x )
)  <->  ( ( |_
`  A )  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  ( |_ `  A ) ) ) ) )
1211riota2 6510 . . . 4  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) )  ->  ( (
( |_ `  A
)  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  ( |_ `  A ) ) )  <-> 
( iota_ x  e.  ZZ ( x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) )  =  ( |_
`  A ) ) )
135, 6, 12syl2anc 643 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( |_ `  A )  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  ( |_ `  A ) ) )  <-> 
( iota_ x  e.  ZZ ( x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) )  =  ( |_
`  A ) ) )
141, 4, 13mpbi2and 888 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( iota_ x  e.  ZZ ( x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) )  =  ( |_
`  A ) )
1514eqcomd 2394 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  =  ( iota_ x  e.  ZZ ( x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   E!wreu 2653   class class class wbr 4155   ` cfv 5396   iota_crio 6480   RRcr 8924    <_ cle 9056   ZZcz 10216   |_cfl 11130
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fl 11131
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