MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flval3 Unicode version

Theorem flval3 11034
Description: An alternate way to define the floor (greatest integer) function, as the supremum of all integers less than or equal to its argument. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
flval3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  =  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem flval3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3334 . . . . 5  |-  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  C_  ZZ
2 zssre 10120 . . . . 5  |-  ZZ  C_  RR
31, 2sstri 3264 . . . 4  |-  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  C_  RR
43a1i 10 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  C_  RR )
5 flcl 11016 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
6 flle 11020 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
7 breq1 4105 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( |_ `  A )  ->  (
x  <_  A  <->  ( |_ `  A )  <_  A
) )
87elrab 2999 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  A )  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  <->  ( ( |_
`  A )  e.  ZZ  /\  ( |_
`  A )  <_  A ) )
95, 6, 8sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e. 
{ x  e.  ZZ  |  x  <_  A }
)
10 ne0i 3537 . . . 4  |-  ( ( |_ `  A )  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  ->  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  =/=  (/) )
119, 10syl 15 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  =/=  (/) )
12 reflcl 11017 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
13 breq1 4105 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  <_  A  <->  z  <_  A ) )
1413elrab 2999 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  <->  ( z  e.  ZZ  /\  z  <_  A ) )
15 flge 11026 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  <_  A  <->  z  <_  ( |_ `  A ) ) )
1615biimpd 198 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  <_  A  ->  z  <_  ( |_ `  A ) ) )
1716expimpd 586 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( z  e.  ZZ  /\  z  <_  A )  ->  z  <_  ( |_ `  A ) ) )
1814, 17syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  ->  z  <_ 
( |_ `  A
) ) )
1918ralrimiv 2701 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }
z  <_  ( |_ `  A ) )
20 breq2 4106 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( |_ `  A )  ->  (
z  <_  y  <->  z  <_  ( |_ `  A ) ) )
2120ralbidv 2639 . . . . 5  |-  ( y  =  ( |_ `  A )  ->  ( A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  y  <->  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  ( |_ `  A ) ) )
2221rspcev 2960 . . . 4  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  ( |_ `  A ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  y
)
2312, 19, 22syl2anc 642 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
{ x  e.  ZZ  |  x  <_  A }
z  <_  y )
24 suprub 9802 . . 3  |-  ( ( ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  C_  RR  /\  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  =/=  (/) 
/\  E. y  e.  RR  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  y
)  /\  ( |_ `  A )  e.  {
x  e.  ZZ  |  x  <_  A } )  ->  ( |_ `  A )  <_  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )
)
254, 11, 23, 9, 24syl31anc 1185 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  ) )
26 suprleub 9805 . . . 4  |-  ( ( ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  C_  RR  /\  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  =/=  (/) 
/\  E. y  e.  RR  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  y
)  /\  ( |_ `  A )  e.  RR )  ->  ( sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  ( |_ `  A
)  <->  A. z  e.  {
x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  ( |_ `  A ) ) )
274, 11, 23, 12, 26syl31anc 1185 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  ( |_ `  A )  <->  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }
z  <_  ( |_ `  A ) ) )
2819, 27mpbird 223 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  ( |_ `  A
) )
29 suprcl 9801 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  C_  RR  /\  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }
z  <_  y )  ->  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
304, 11, 23, 29syl3anc 1182 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
3112, 30letri3d 9048 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  =  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  <->  ( ( |_ `  A
)  <_  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  /\  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  ( |_ `  A ) ) ) )
3225, 28, 31mpbir2and 888 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  =  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619   E.wrex 2620   {crab 2623    C_ wss 3228   (/)c0 3531   class class class wbr 4102   ` cfv 5334   supcsup 7280   RRcr 8823    < clt 8954    <_ cle 8955   ZZcz 10113   |_cfl 11013
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-fl 11014
  Copyright terms: Public domain W3C validator