MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flval3 Unicode version

Theorem flval3 11177
Description: An alternate way to define the floor (greatest integer) function, as the supremum of all integers less than or equal to its argument. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
flval3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  =  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem flval3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3388 . . . . 5  |-  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  C_  ZZ
2 zssre 10245 . . . . 5  |-  ZZ  C_  RR
31, 2sstri 3317 . . . 4  |-  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  C_  RR
43a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  C_  RR )
5 flcl 11159 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
6 flle 11163 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
7 breq1 4175 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( |_ `  A )  ->  (
x  <_  A  <->  ( |_ `  A )  <_  A
) )
87elrab 3052 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  A )  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  <->  ( ( |_
`  A )  e.  ZZ  /\  ( |_
`  A )  <_  A ) )
95, 6, 8sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e. 
{ x  e.  ZZ  |  x  <_  A }
)
10 ne0i 3594 . . . 4  |-  ( ( |_ `  A )  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  ->  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  =/=  (/) )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  =/=  (/) )
12 reflcl 11160 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
13 breq1 4175 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  <_  A  <->  z  <_  A ) )
1413elrab 3052 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  <->  ( z  e.  ZZ  /\  z  <_  A ) )
15 flge 11169 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  <_  A  <->  z  <_  ( |_ `  A ) ) )
1615biimpd 199 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  <_  A  ->  z  <_  ( |_ `  A ) ) )
1716expimpd 587 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( z  e.  ZZ  /\  z  <_  A )  ->  z  <_  ( |_ `  A ) ) )
1814, 17syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  ->  z  <_ 
( |_ `  A
) ) )
1918ralrimiv 2748 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }
z  <_  ( |_ `  A ) )
20 breq2 4176 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( |_ `  A )  ->  (
z  <_  y  <->  z  <_  ( |_ `  A ) ) )
2120ralbidv 2686 . . . . 5  |-  ( y  =  ( |_ `  A )  ->  ( A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  y  <->  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  ( |_ `  A ) ) )
2221rspcev 3012 . . . 4  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  ( |_ `  A ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  y
)
2312, 19, 22syl2anc 643 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
{ x  e.  ZZ  |  x  <_  A }
z  <_  y )
24 suprub 9925 . . 3  |-  ( ( ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  C_  RR  /\  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  =/=  (/) 
/\  E. y  e.  RR  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  y
)  /\  ( |_ `  A )  e.  {
x  e.  ZZ  |  x  <_  A } )  ->  ( |_ `  A )  <_  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )
)
254, 11, 23, 9, 24syl31anc 1187 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  ) )
26 suprleub 9928 . . . 4  |-  ( ( ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  C_  RR  /\  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  =/=  (/) 
/\  E. y  e.  RR  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  y
)  /\  ( |_ `  A )  e.  RR )  ->  ( sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  ( |_ `  A
)  <->  A. z  e.  {
x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  ( |_ `  A ) ) )
274, 11, 23, 12, 26syl31anc 1187 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  ( |_ `  A )  <->  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }
z  <_  ( |_ `  A ) ) )
2819, 27mpbird 224 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  ( |_ `  A
) )
29 suprcl 9924 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  C_  RR  /\  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }
z  <_  y )  ->  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
304, 11, 23, 29syl3anc 1184 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
3112, 30letri3d 9171 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  =  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  <->  ( ( |_ `  A
)  <_  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  /\  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  ( |_ `  A ) ) ) )
3225, 28, 31mpbir2and 889 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  =  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670    C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   ` cfv 5413   supcsup 7403   RRcr 8945    < clt 9076    <_ cle 9077   ZZcz 10238   |_cfl 11156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fl 11157
  Copyright terms: Public domain W3C validator