Theorem flval3t 6239

Description: An alternate way to define the floor (greatest integer) function, as the supremum of all integers less than or equal to its argument.

Assertion

Ref	Expression
flval3t	|- (A e. RR -> (|_` A) = sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem flval3t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprub 6056	. . . 4 |- ((({x e. ZZ | x <_ A} (_ RR /\ {x e. ZZ | x <_ A} =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ y) /\ (|_` A) e. {x e. ZZ | x <_ A}) -> (|_` A) <_ sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ))
2		ssrab2 2131	. . . . . . 7 |- {x e. ZZ | x <_ A} (_ ZZ
3		zssre 6142	. . . . . . 7 |- ZZ (_ RR
4	2, 3	sstri 2073	. . . . . 6 |- {x e. ZZ | x <_ A} (_ RR
5	4	a1i 8	. . . . 5 |- (A e. RR -> {x e. ZZ | x <_ A} (_ RR)
6		flclt 6226	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (|_` A) e. ZZ)
7		fllet 6229	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (|_` A) <_ A)
8	6, 7	jca 288	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((|_` A) e. ZZ /\ (|_` A) <_ A))
9		breq1 2622	. . . . . . . 8 |- (x = (|_` A) -> (x <_ A <-> (|_` A) <_ A))
10	9	elrab 1905	. . . . . . 7 |- ((|_` A) e. {x e. ZZ | x <_ A} <-> ((|_` A) e. ZZ /\ (|_` A) <_ A))
11	8, 10	sylibr 200	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (|_` A) e. {x e. ZZ | x <_ A})
12		ne0i 2286	. . . . . 6 |- ((|_` A) e. {x e. ZZ | x <_ A} -> {x e. ZZ | x <_ A} =/= (/))
13	11, 12	syl 10	. . . . 5 |- (A e. RR -> {x e. ZZ | x <_ A} =/= (/))
14		breq2 2623	. . . . . . . 8 |- (y = (|_` A) -> (z <_ y <-> z <_ (|_` A)))
15	14	ralbidv 1663	. . . . . . 7 |- (y = (|_` A) -> (A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ y <-> A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ (|_` A)))
16	15	rcla4ev 1877	. . . . . 6 |- (((|_` A) e. RR /\ A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ (|_` A)) -> E.y e. RR A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ y)
17		flreclt 6227	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (|_` A) e. RR)
18		flget 6233	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ z e. ZZ) -> (z <_ A <-> z <_ (|_` A)))
19	18	biimpd 153	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ z e. ZZ) -> (z <_ A -> z <_ (|_` A)))
20	19	ex 373	. . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> (z e. ZZ -> (z <_ A -> z <_ (|_` A))))
21	20	imp3a 361	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> ((z e. ZZ /\ z <_ A) -> z <_ (|_` A)))
22		breq1 2622	. . . . . . . . 9 |- (x = z -> (x <_ A <-> z <_ A))
23	22	elrab 1905	. . . . . . . 8 |- (z e. {x e. ZZ | x <_ A} <-> (z e. ZZ /\ z <_ A))
24	21, 23	syl5ib 206	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> (z e. {x e. ZZ | x <_ A} -> z <_ (|_` A)))
25	24	r19.21aiv 1713	. . . . . 6 |- (A e. RR -> A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ (|_` A))
26	16, 17, 25	sylanc 471	. . . . 5 |- (A e. RR -> E.y e. RR A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ y)
27	5, 13, 26	3jca 819	. . . 4 |- (A e. RR -> ({x e. ZZ | x <_ A} (_ RR /\ {x e. ZZ | x <_ A} =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ y))
28	1, 27, 11	sylanc 471	. . 3 |- (A e. RR -> (|_` A) <_ sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ))
29		suprnub 6058	. . . 4 |- ((({x e. ZZ | x <_ A} (_ RR /\ {x e. ZZ | x <_ A} =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ y) /\ ((|_` A) e. RR /\ A.w e. {x e. ZZ | x <_ A} -. (|_` A) < w)) -> -. (|_` A) < sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ))
30		flget 6233	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ w e. ZZ) -> (w <_ A <-> w <_ (|_` A)))
31		lenltt 5510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. RR /\ (|_` A) e. RR) -> (w <_ (|_` A) <-> -. (|_` A) < w))
32		zret 6139	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. ZZ -> w e. RR)
33	31, 32, 17	syl2an 454	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w e. ZZ /\ A e. RR) -> (w <_ (|_` A) <-> -. (|_` A) < w))
34	33	ancoms 436	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ w e. ZZ) -> (w <_ (|_` A) <-> -. (|_` A) < w))
35	30, 34	bitrd 528	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ w e. ZZ) -> (w <_ A <-> -. (|_` A) < w))
36	35	biimpd 153	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ w e. ZZ) -> (w <_ A -> -. (|_` A) < w))
37	36	ex 373	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (w e. ZZ -> (w <_ A -> -. (|_` A) < w)))
38	37	imp3a 361	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((w e. ZZ /\ w <_ A) -> -. (|_` A) < w))
39		breq1 2622	. . . . . . . 8 |- (x = w -> (x <_ A <-> w <_ A))
40	39	elrab 1905	. . . . . . 7 |- (w e. {x e. ZZ | x <_ A} <-> (w e. ZZ /\ w <_ A))
41	38, 40	syl5ib 206	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (w e. {x e. ZZ | x <_ A} -> -. (|_` A) < w))
42	41	r19.21aiv 1713	. . . . 5 |- (A e. RR -> A.w e. {x e. ZZ | x <_ A} -. (|_` A) < w)
43	17, 42	jca 288	. . . 4 |- (A e. RR -> ((|_` A) e. RR /\ A.w e. {x e. ZZ | x <_ A} -. (|_` A) < w))
44	29, 27, 43	sylanc 471	. . 3 |- (A e. RR -> -. (|_` A) < sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ))
45	28, 44	jca 288	. 2 |- (A e. RR -> ((|_` A) <_ sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ) /\ -. (|_` A) < sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < )))
46		eqleltt 5519	. . 3 |- (((|_` A) e. RR /\ sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ) e. RR) -> ((|_` A) = sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ) <-> ((|_` A) <_ sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ) /\ -. (|_` A) < sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ))))
47		suprcl 6055	. . . 4 |- (({x e. ZZ | x <_ A} (_ RR /\ {x e. ZZ | x <_ A} =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ y) -> sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ) e. RR)
48	47, 5, 13, 26	syl3anc 858	. . 3 |- (A e. RR -> sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ) e. RR)
49	46, 17, 48	sylanc 471	. 2 |- (A e. RR -> ((|_` A) = sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ) <-> ((|_` A) <_ sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ) /\ -. (|_` A) < sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ))))
50	45, 49	mpbird 196	1 |- (A e. RR -> (|_` A) = sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646  {crab 1648   (_ wss 2047  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  supcsup 4573  RRcr 5233   <_ cle 5295  ZZcz 5298   < clt 5486  |_cfl 6223

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224

Copyright terms: Public domain