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Theorem fmcfil 19226
Description: The Cauchy filter condition for a filter map. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmcfil  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( ( X  FilMap  F ) `  B )  e.  (CauFil `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( ( F `
 z ) D ( F `  w
) )  <  x
) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, B    w, F, x, y, z    w, X, x, y, z    w, Y, x, y, z    w, D, x, y, z

Proof of Theorem fmcfil
Dummy variables  u  s  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5758 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
2 fmval 17976 . . . 4  |-  ( ( X  e.  dom  * Met  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  B
)  =  ( X
filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) ) )
31, 2syl3an1 1218 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  B
)  =  ( X
filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) ) )
43eleq1d 2503 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( ( X  FilMap  F ) `  B )  e.  (CauFil `  D )  <->  ( X filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) )  e.  (CauFil `  D
) ) )
5 simp1 958 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
6 simp2 959 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  B  e.  (
fBas `  Y )
)
7 simp3 960 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  F : Y --> X )
813ad2ant1 979 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  X  e.  dom  * Met )
9 eqid 2437 . . . . 5  |-  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) )  =  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) )
109fbasrn 17917 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X  /\  X  e.  dom  * Met )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) )  e.  ( fBas `  X
) )
116, 7, 8, 10syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) )  e.  ( fBas `  X
) )
12 fgcfil 19225 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( X filGen ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) ) )  e.  (CauFil `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. s  e. 
ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x ) )
135, 11, 12syl2anc 644 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( X
filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) )  e.  (CauFil `  D
)  <->  A. x  e.  RR+  E. s  e.  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) ) A. u  e.  s  A. v  e.  s  ( u D v )  <  x
) )
14 imassrn 5217 . . . . . . . 8  |-  ( F
" y )  C_  ran  F
15 frn 5598 . . . . . . . . 9  |-  ( F : Y --> X  ->  ran  F  C_  X )
16153ad2ant3 981 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ran  F  C_  X
)
1714, 16syl5ss 3360 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( F "
y )  C_  X
)
188, 17ssexd 4351 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( F "
y )  e.  _V )
1918ralrimivw 2791 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  A. y  e.  B  ( F " y )  e.  _V )
20 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) )
21 raleq 2905 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( F "
y )  ->  ( A. v  e.  s 
( u D v )  <  x  <->  A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x
) )
2221raleqbi1dv 2913 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( F "
y )  ->  ( A. u  e.  s  A. v  e.  s 
( u D v )  <  x  <->  A. u  e.  ( F " y
) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x
) )
2320, 22rexrnmpt 5880 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  ( F " y )  e. 
_V  ->  ( E. s  e.  ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  <->  E. y  e.  B  A. u  e.  ( F " y
) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x
) )
2419, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( E. s  e.  ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  <->  E. y  e.  B  A. u  e.  ( F " y
) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x
) )
25 simpl3 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  F : Y
--> X )
26 ffn 5592 . . . . . . . 8  |-  ( F : Y --> X  ->  F  Fn  Y )
2725, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  F  Fn  Y )
28 fbelss 17866 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  y  e.  B )  ->  y  C_  Y )
296, 28sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  y  C_  Y )
30 oveq1 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  (
u D v )  =  ( ( F `
 z ) D v ) )
3130breq1d 4223 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  (
( u D v )  <  x  <->  ( ( F `  z ) D v )  < 
x ) )
3231ralbidv 2726 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  ( A. v  e.  ( F " y ) ( u D v )  <  x  <->  A. v  e.  ( F " y
) ( ( F `
 z ) D v )  <  x
) )
3332ralima 5979 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  Y  /\  y  C_  Y )  -> 
( A. u  e.  ( F " y
) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x  <->  A. z  e.  y  A. v  e.  ( F " y ) ( ( F `  z ) D v )  < 
x ) )
3427, 29, 33syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  ( F " y ) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x  <->  A. z  e.  y  A. v  e.  ( F " y ) ( ( F `  z ) D v )  < 
x ) )
35 oveq2 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( F `  z
) D v )  =  ( ( F `
 z ) D ( F `  w
) ) )
3635breq1d 4223 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( ( F `  z ) D v )  <  x  <->  ( ( F `  z ) D ( F `  w ) )  < 
x ) )
3736ralima 5979 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  Y  /\  y  C_  Y )  -> 
( A. v  e.  ( F " y
) ( ( F `
 z ) D v )  <  x  <->  A. w  e.  y  ( ( F `  z
) D ( F `
 w ) )  <  x ) )
3827, 29, 37syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  ( A. v  e.  ( F " y ) ( ( F `  z ) D v )  < 
x  <->  A. w  e.  y  ( ( F `  z ) D ( F `  w ) )  <  x ) )
3938ralbidv 2726 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  ( A. z  e.  y  A. v  e.  ( F " y ) ( ( F `  z ) D v )  < 
x  <->  A. z  e.  y 
A. w  e.  y  ( ( F `  z ) D ( F `  w ) )  <  x ) )
4034, 39bitrd 246 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  ( F " y ) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x  <->  A. z  e.  y  A. w  e.  y  (
( F `  z
) D ( F `
 w ) )  <  x ) )
4140rexbidva 2723 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( E. y  e.  B  A. u  e.  ( F " y
) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  (
( F `  z
) D ( F `
 w ) )  <  x ) )
4224, 41bitrd 246 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( E. s  e.  ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( ( F `  z ) D ( F `  w ) )  < 
x ) )
4342ralbidv 2726 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. s  e. 
ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( ( F `
 z ) D ( F `  w
) )  <  x
) )
444, 13, 433bitrd 272 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( ( X  FilMap  F ) `  B )  e.  (CauFil `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( ( F `
 z ) D ( F `  w
) )  <  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   E.wrex 2707   _Vcvv 2957    C_ wss 3321   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267   dom cdm 4879   ran crn 4880   "cima 4882    Fn wfn 5450   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    < clt 9121   RR+crp 10613   * Metcxmt 16687   fBascfbas 16690   filGencfg 16691    FilMap cfm 17966  CauFilccfil 19206
This theorem is referenced by:  caucfil  19237
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-2 10059  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ico 10923  df-xmet 16696  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-fil 17879  df-fm 17971  df-cfil 19209
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