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Theorem fmcfil 18698
Description: The Cauchy filter condition for a filter map. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmcfil  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( ( X  FilMap  F ) `  B )  e.  (CauFil `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( ( F `
 z ) D ( F `  w
) )  <  x
) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, B    w, F, x, y, z    w, X, x, y, z    w, Y, x, y, z    w, D, x, y, z

Proof of Theorem fmcfil
Dummy variables  u  s  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5554 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
2 fmval 17638 . . . 4  |-  ( ( X  e.  dom  * Met  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  B
)  =  ( X
filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) ) )
31, 2syl3an1 1215 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  B
)  =  ( X
filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) ) )
43eleq1d 2349 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( ( X  FilMap  F ) `  B )  e.  (CauFil `  D )  <->  ( X filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) )  e.  (CauFil `  D
) ) )
5 simp1 955 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
6 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  B  e.  (
fBas `  Y )
)
7 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  F : Y --> X )
813ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  X  e.  dom  * Met )
9 eqid 2283 . . . . 5  |-  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) )  =  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) )
109fbasrn 17579 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X  /\  X  e.  dom  * Met )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) )  e.  ( fBas `  X
) )
116, 7, 8, 10syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) )  e.  ( fBas `  X
) )
12 fgcfil 18697 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( X filGen ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) ) )  e.  (CauFil `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. s  e. 
ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x ) )
135, 11, 12syl2anc 642 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( X
filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) )  e.  (CauFil `  D
)  <->  A. x  e.  RR+  E. s  e.  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) ) A. u  e.  s  A. v  e.  s  ( u D v )  <  x
) )
14 imassrn 5025 . . . . . . . 8  |-  ( F
" y )  C_  ran  F
15 frn 5395 . . . . . . . . 9  |-  ( F : Y --> X  ->  ran  F  C_  X )
16153ad2ant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ran  F  C_  X
)
1714, 16syl5ss 3190 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( F "
y )  C_  X
)
18 ssexg 4160 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F " y
)  C_  X  /\  X  e.  dom  * Met )  ->  ( F "
y )  e.  _V )
1917, 8, 18syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( F "
y )  e.  _V )
2019ralrimivw 2627 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  A. y  e.  B  ( F " y )  e.  _V )
21 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) )
22 raleq 2736 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( F "
y )  ->  ( A. v  e.  s 
( u D v )  <  x  <->  A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x
) )
2322raleqbi1dv 2744 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( F "
y )  ->  ( A. u  e.  s  A. v  e.  s 
( u D v )  <  x  <->  A. u  e.  ( F " y
) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x
) )
2421, 23rexrnmpt 5670 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  ( F " y )  e. 
_V  ->  ( E. s  e.  ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  <->  E. y  e.  B  A. u  e.  ( F " y
) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x
) )
2520, 24syl 15 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( E. s  e.  ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  <->  E. y  e.  B  A. u  e.  ( F " y
) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x
) )
26 simpl3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  F : Y
--> X )
27 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( F : Y --> X  ->  F  Fn  Y )
2826, 27syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  F  Fn  Y )
29 fbelss 17528 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  y  e.  B )  ->  y  C_  Y )
306, 29sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  y  C_  Y )
31 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  (
u D v )  =  ( ( F `
 z ) D v ) )
3231breq1d 4033 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  (
( u D v )  <  x  <->  ( ( F `  z ) D v )  < 
x ) )
3332ralbidv 2563 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  ( A. v  e.  ( F " y ) ( u D v )  <  x  <->  A. v  e.  ( F " y
) ( ( F `
 z ) D v )  <  x
) )
3433ralima 5758 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  Y  /\  y  C_  Y )  -> 
( A. u  e.  ( F " y
) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x  <->  A. z  e.  y  A. v  e.  ( F " y ) ( ( F `  z ) D v )  < 
x ) )
3528, 30, 34syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  ( F " y ) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x  <->  A. z  e.  y  A. v  e.  ( F " y ) ( ( F `  z ) D v )  < 
x ) )
36 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( F `  z
) D v )  =  ( ( F `
 z ) D ( F `  w
) ) )
3736breq1d 4033 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( ( F `  z ) D v )  <  x  <->  ( ( F `  z ) D ( F `  w ) )  < 
x ) )
3837ralima 5758 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  Y  /\  y  C_  Y )  -> 
( A. v  e.  ( F " y
) ( ( F `
 z ) D v )  <  x  <->  A. w  e.  y  ( ( F `  z
) D ( F `
 w ) )  <  x ) )
3928, 30, 38syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  ( A. v  e.  ( F " y ) ( ( F `  z ) D v )  < 
x  <->  A. w  e.  y  ( ( F `  z ) D ( F `  w ) )  <  x ) )
4039ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  ( A. z  e.  y  A. v  e.  ( F " y ) ( ( F `  z ) D v )  < 
x  <->  A. z  e.  y 
A. w  e.  y  ( ( F `  z ) D ( F `  w ) )  <  x ) )
4135, 40bitrd 244 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  ( F " y ) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x  <->  A. z  e.  y  A. w  e.  y  (
( F `  z
) D ( F `
 w ) )  <  x ) )
4241rexbidva 2560 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( E. y  e.  B  A. u  e.  ( F " y
) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  (
( F `  z
) D ( F `
 w ) )  <  x ) )
4325, 42bitrd 244 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( E. s  e.  ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( ( F `  z ) D ( F `  w ) )  < 
x ) )
4443ralbidv 2563 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. s  e. 
ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( ( F `
 z ) D ( F `  w
) )  <  x
) )
454, 13, 443bitrd 270 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( ( X  FilMap  F ) `  B )  e.  (CauFil `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( ( F `
 z ) D ( F `  w
) )  <  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    < clt 8867   RR+crp 10354   * Metcxmt 16369   fBascfbas 17518   filGencfg 17519    FilMap cfm 17628  CauFilccfil 18678
This theorem is referenced by:  caucfil  18709
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-xmet 16373  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-cfil 18681
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