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Theorem fmcfil 18751
Description: The Cauchy filter condition for a filter map. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmcfil  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( ( X  FilMap  F ) `  B )  e.  (CauFil `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( ( F `
 z ) D ( F `  w
) )  <  x
) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, B    w, F, x, y, z    w, X, x, y, z    w, Y, x, y, z    w, D, x, y, z

Proof of Theorem fmcfil
Dummy variables  u  s  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5592 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
2 fmval 17690 . . . 4  |-  ( ( X  e.  dom  * Met  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  B
)  =  ( X
filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) ) )
31, 2syl3an1 1215 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  B
)  =  ( X
filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) ) )
43eleq1d 2382 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( ( X  FilMap  F ) `  B )  e.  (CauFil `  D )  <->  ( X filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) )  e.  (CauFil `  D
) ) )
5 simp1 955 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
6 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  B  e.  (
fBas `  Y )
)
7 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  F : Y --> X )
813ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  X  e.  dom  * Met )
9 eqid 2316 . . . . 5  |-  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) )  =  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) )
109fbasrn 17631 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X  /\  X  e.  dom  * Met )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) )  e.  ( fBas `  X
) )
116, 7, 8, 10syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) )  e.  ( fBas `  X
) )
12 fgcfil 18750 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( X filGen ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) ) )  e.  (CauFil `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. s  e. 
ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x ) )
135, 11, 12syl2anc 642 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( X
filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) )  e.  (CauFil `  D
)  <->  A. x  e.  RR+  E. s  e.  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) ) A. u  e.  s  A. v  e.  s  ( u D v )  <  x
) )
14 imassrn 5062 . . . . . . . 8  |-  ( F
" y )  C_  ran  F
15 frn 5433 . . . . . . . . 9  |-  ( F : Y --> X  ->  ran  F  C_  X )
16153ad2ant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ran  F  C_  X
)
1714, 16syl5ss 3224 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( F "
y )  C_  X
)
18 ssexg 4197 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F " y
)  C_  X  /\  X  e.  dom  * Met )  ->  ( F "
y )  e.  _V )
1917, 8, 18syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( F "
y )  e.  _V )
2019ralrimivw 2661 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  A. y  e.  B  ( F " y )  e.  _V )
21 eqid 2316 . . . . . 6  |-  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) )
22 raleq 2770 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( F "
y )  ->  ( A. v  e.  s 
( u D v )  <  x  <->  A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x
) )
2322raleqbi1dv 2778 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( F "
y )  ->  ( A. u  e.  s  A. v  e.  s 
( u D v )  <  x  <->  A. u  e.  ( F " y
) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x
) )
2421, 23rexrnmpt 5708 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  ( F " y )  e. 
_V  ->  ( E. s  e.  ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  <->  E. y  e.  B  A. u  e.  ( F " y
) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x
) )
2520, 24syl 15 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( E. s  e.  ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  <->  E. y  e.  B  A. u  e.  ( F " y
) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x
) )
26 simpl3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  F : Y
--> X )
27 ffn 5427 . . . . . . . 8  |-  ( F : Y --> X  ->  F  Fn  Y )
2826, 27syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  F  Fn  Y )
29 fbelss 17580 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  y  e.  B )  ->  y  C_  Y )
306, 29sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  y  C_  Y )
31 oveq1 5907 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  (
u D v )  =  ( ( F `
 z ) D v ) )
3231breq1d 4070 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  (
( u D v )  <  x  <->  ( ( F `  z ) D v )  < 
x ) )
3332ralbidv 2597 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  ( A. v  e.  ( F " y ) ( u D v )  <  x  <->  A. v  e.  ( F " y
) ( ( F `
 z ) D v )  <  x
) )
3433ralima 5799 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  Y  /\  y  C_  Y )  -> 
( A. u  e.  ( F " y
) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x  <->  A. z  e.  y  A. v  e.  ( F " y ) ( ( F `  z ) D v )  < 
x ) )
3528, 30, 34syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  ( F " y ) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x  <->  A. z  e.  y  A. v  e.  ( F " y ) ( ( F `  z ) D v )  < 
x ) )
36 oveq2 5908 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( F `  z
) D v )  =  ( ( F `
 z ) D ( F `  w
) ) )
3736breq1d 4070 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( ( F `  z ) D v )  <  x  <->  ( ( F `  z ) D ( F `  w ) )  < 
x ) )
3837ralima 5799 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  Y  /\  y  C_  Y )  -> 
( A. v  e.  ( F " y
) ( ( F `
 z ) D v )  <  x  <->  A. w  e.  y  ( ( F `  z
) D ( F `
 w ) )  <  x ) )
3928, 30, 38syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  ( A. v  e.  ( F " y ) ( ( F `  z ) D v )  < 
x  <->  A. w  e.  y  ( ( F `  z ) D ( F `  w ) )  <  x ) )
4039ralbidv 2597 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  ( A. z  e.  y  A. v  e.  ( F " y ) ( ( F `  z ) D v )  < 
x  <->  A. z  e.  y 
A. w  e.  y  ( ( F `  z ) D ( F `  w ) )  <  x ) )
4135, 40bitrd 244 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  ( F " y ) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x  <->  A. z  e.  y  A. w  e.  y  (
( F `  z
) D ( F `
 w ) )  <  x ) )
4241rexbidva 2594 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( E. y  e.  B  A. u  e.  ( F " y
) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  (
( F `  z
) D ( F `
 w ) )  <  x ) )
4325, 42bitrd 244 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( E. s  e.  ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( ( F `  z ) D ( F `  w ) )  < 
x ) )
4443ralbidv 2597 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. s  e. 
ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( ( F `
 z ) D ( F `  w
) )  <  x
) )
454, 13, 443bitrd 270 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( ( X  FilMap  F ) `  B )  e.  (CauFil `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( ( F `
 z ) D ( F `  w
) )  <  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   E.wrex 2578   _Vcvv 2822    C_ wss 3186   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114   dom cdm 4726   ran crn 4727   "cima 4729    Fn wfn 5287   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    < clt 8912   RR+crp 10401   * Metcxmt 16418   fBascfbas 16421   filGencfg 16422    FilMap cfm 17680  CauFilccfil 18731
This theorem is referenced by:  caucfil  18762
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-2 9849  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-ico 10709  df-xmet 16425  df-fbas 16429  df-fg 16430  df-fil 17593  df-fm 17685  df-cfil 18734
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