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Theorem fmco 17656
Description: Composition of image filters. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmco  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( ( X  FilMap  ( F  o.  G ) ) `  B )  =  ( ( X 
FilMap  F ) `  (
( Y  FilMap  G ) `
 B ) ) )

Proof of Theorem fmco
Dummy variables  t 
s  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  ->  B  e.  ( fBas `  Z ) )
2 ssfg 17567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  Z
)  ->  B  C_  ( Z filGen B ) )
31, 2syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  ->  B  C_  ( Z filGen B ) )
43sseld 3179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( u  e.  B  ->  u  e.  ( Z
filGen B ) ) )
5 simpl2 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  ->  Y  e.  W )
6 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  ->  G : Z --> Y )
7 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z
filGen B )  =  ( Z filGen B )
87imaelfm 17646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z )  /\  G : Z --> Y )  /\  u  e.  ( Z filGen B ) )  ->  ( G "
u )  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `
 B ) )
98ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z )  /\  G : Z --> Y )  -> 
( u  e.  ( Z filGen B )  -> 
( G " u
)  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) ) )
105, 1, 6, 9syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( u  e.  ( Z filGen B )  -> 
( G " u
)  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) ) )
114, 10syld 40 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( u  e.  B  ->  ( G " u
)  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) ) )
1211imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z
) )  /\  ( F : Y --> X  /\  G : Z --> Y ) )  /\  u  e.  B )  ->  ( G " u )  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) )
13 imaeq2 5008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( G "
u )  ->  ( F " t )  =  ( F " ( G " u ) ) )
14 imaco 5178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  o.  G )
" u )  =  ( F " ( G " u ) )
1513, 14syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( G "
u )  ->  ( F " t )  =  ( ( F  o.  G ) " u
) )
1615sseq1d 3205 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( G "
u )  ->  (
( F " t
)  C_  s  <->  ( ( F  o.  G ) " u )  C_  s ) )
1716rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G " u
)  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `  B )  /\  (
( F  o.  G
) " u ) 
C_  s )  ->  E. t  e.  (
( Y  FilMap  G ) `
 B ) ( F " t ) 
C_  s )
1817ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( G " u )  e.  ( ( Y 
FilMap  G ) `  B
)  ->  ( (
( F  o.  G
) " u ) 
C_  s  ->  E. t  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) ( F " t
)  C_  s )
)
1912, 18syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z
) )  /\  ( F : Y --> X  /\  G : Z --> Y ) )  /\  u  e.  B )  ->  (
( ( F  o.  G ) " u
)  C_  s  ->  E. t  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) ( F
" t )  C_  s ) )
2019rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( E. u  e.  B  ( ( F  o.  G ) "
u )  C_  s  ->  E. t  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `
 B ) ( F " t ) 
C_  s ) )
21 elfm 17642 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z )  /\  G : Z --> Y )  -> 
( t  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `
 B )  <->  ( t  C_  Y  /\  E. u  e.  B  ( G " u )  C_  t
) ) )
225, 1, 6, 21syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( t  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `
 B )  <->  ( t  C_  Y  /\  E. u  e.  B  ( G " u )  C_  t
) ) )
23 imass2 5049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G " u ) 
C_  t  ->  ( F " ( G "
u ) )  C_  ( F " t ) )
2414, 23syl5eqss 3222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G " u ) 
C_  t  ->  (
( F  o.  G
) " u ) 
C_  ( F "
t ) )
25 sstr2 3186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  o.  G
) " u ) 
C_  ( F "
t )  ->  (
( F " t
)  C_  s  ->  ( ( F  o.  G
) " u ) 
C_  s ) )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G " u ) 
C_  t  ->  (
( F " t
)  C_  s  ->  ( ( F  o.  G
) " u ) 
C_  s ) )
2726com12 27 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " t ) 
C_  s  ->  (
( G " u
)  C_  t  ->  ( ( F  o.  G
) " u ) 
C_  s ) )
2827reximdv 2654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F " t ) 
C_  s  ->  ( E. u  e.  B  ( G " u ) 
C_  t  ->  E. u  e.  B  ( ( F  o.  G ) " u )  C_  s ) )
2928com12 27 . . . . . . . 8  |-  ( E. u  e.  B  ( G " u ) 
C_  t  ->  (
( F " t
)  C_  s  ->  E. u  e.  B  ( ( F  o.  G
) " u ) 
C_  s ) )
3029adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( t  C_  Y  /\  E. u  e.  B  ( G " u ) 
C_  t )  -> 
( ( F "
t )  C_  s  ->  E. u  e.  B  ( ( F  o.  G ) " u
)  C_  s )
)
3122, 30syl6bi 219 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( t  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `
 B )  -> 
( ( F "
t )  C_  s  ->  E. u  e.  B  ( ( F  o.  G ) " u
)  C_  s )
) )
3231rexlimdv 2666 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( E. t  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) ( F " t
)  C_  s  ->  E. u  e.  B  ( ( F  o.  G
) " u ) 
C_  s ) )
3320, 32impbid 183 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( E. u  e.  B  ( ( F  o.  G ) "
u )  C_  s  <->  E. t  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) ( F
" t )  C_  s ) )
3433anbi2d 684 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( ( s  C_  X  /\  E. u  e.  B  ( ( F  o.  G ) "
u )  C_  s
)  <->  ( s  C_  X  /\  E. t  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) ( F " t
)  C_  s )
) )
35 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  ->  X  e.  V )
36 fco 5398 . . . . 5  |-  ( ( F : Y --> X  /\  G : Z --> Y )  ->  ( F  o.  G ) : Z --> X )
3736adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( F  o.  G
) : Z --> X )
38 elfm 17642 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  B  e.  ( fBas `  Z )  /\  ( F  o.  G ) : Z --> X )  -> 
( s  e.  ( ( X  FilMap  ( F  o.  G ) ) `
 B )  <->  ( s  C_  X  /\  E. u  e.  B  ( ( F  o.  G ) " u )  C_  s ) ) )
3935, 1, 37, 38syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( s  e.  ( ( X  FilMap  ( F  o.  G ) ) `
 B )  <->  ( s  C_  X  /\  E. u  e.  B  ( ( F  o.  G ) " u )  C_  s ) ) )
40 fmfil 17639 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z )  /\  G : Z --> Y )  -> 
( ( Y  FilMap  G ) `  B )  e.  ( Fil `  Y
) )
415, 1, 6, 40syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( ( Y  FilMap  G ) `  B )  e.  ( Fil `  Y
) )
42 filfbas 17543 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  FilMap  G ) `
 B )  e.  ( Fil `  Y
)  ->  ( ( Y  FilMap  G ) `  B )  e.  (
fBas `  Y )
)
4341, 42syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( ( Y  FilMap  G ) `  B )  e.  ( fBas `  Y
) )
44 simprl 732 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  ->  F : Y --> X )
45 elfm 17642 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( ( Y  FilMap  G ) `  B )  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
s  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) )  <->  ( s  C_  X  /\  E. t  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) ( F " t
)  C_  s )
) )
4635, 43, 44, 45syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( s  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 ( ( Y 
FilMap  G ) `  B
) )  <->  ( s  C_  X  /\  E. t  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) ( F " t
)  C_  s )
) )
4734, 39, 463bitr4d 276 . 2  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( s  e.  ( ( X  FilMap  ( F  o.  G ) ) `
 B )  <->  s  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) ) ) )
4847eqrdv 2281 1  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( ( X  FilMap  ( F  o.  G ) ) `  B )  =  ( ( X 
FilMap  F ) `  (
( Y  FilMap  G ) `
 B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    C_ wss 3152   "cima 4692    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   fBascfbas 17518   filGencfg 17519   Filcfil 17540    FilMap cfm 17628
This theorem is referenced by:  ufldom  17657  flfcnp  17699
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633
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