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Theorem fmf 17977
Description: Pushing-forward via a function induces a mapping on filters. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmf  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  ( X  FilMap  F ) : ( fBas `  Y ) --> ( Fil `  X ) )

Proof of Theorem fmf
Dummy variables  f 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6106 . . . 4  |-  ( X
filGen ran  ( y  e.  b  |->  ( F "
y ) ) )  e.  _V
2 eqid 2436 . . . 4  |-  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) )  =  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) )
31, 2fnmpti 5573 . . 3  |-  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) )  Fn  ( fBas `  Y
)
4 df-fm 17970 . . . . . 6  |-  FilMap  =  ( x  e.  _V , 
f  e.  _V  |->  ( b  e.  ( fBas `  dom  f )  |->  ( x filGen ran  ( y  e.  b  |->  ( f
" y ) ) ) ) )
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  FilMap  =  ( x  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  ( b  e.  ( fBas `  dom  f )  |->  ( x
filGen ran  ( y  e.  b  |->  ( f "
y ) ) ) ) ) )
6 dmeq 5070 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  dom  f  =  dom  F )
76adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  X  /\  f  =  F )  ->  dom  f  =  dom  F )
8 fdm 5595 . . . . . . . . 9  |-  ( F : Y --> X  ->  dom  F  =  Y )
983ad2ant3 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  dom  F  =  Y )
107, 9sylan9eqr 2490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  =  X  /\  f  =  F ) )  ->  dom  f  =  Y
)
1110fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  =  X  /\  f  =  F ) )  -> 
( fBas `  dom  f )  =  ( fBas `  Y
) )
12 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
13 imaeq1 5198 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
f " y )  =  ( F "
y ) )
1413mpteq2dv 4296 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
y  e.  b  |->  ( f " y ) )  =  ( y  e.  b  |->  ( F
" y ) ) )
1514rneqd 5097 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  ran  ( y  e.  b 
|->  ( f " y
) )  =  ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) )
1612, 15oveqan12d 6100 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  X  /\  f  =  F )  ->  ( x filGen ran  (
y  e.  b  |->  ( f " y ) ) )  =  ( X filGen ran  ( y  e.  b  |->  ( F
" y ) ) ) )
1716adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  =  X  /\  f  =  F ) )  -> 
( x filGen ran  (
y  e.  b  |->  ( f " y ) ) )  =  ( X filGen ran  ( y  e.  b  |->  ( F
" y ) ) ) )
1811, 17mpteq12dv 4287 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  =  X  /\  f  =  F ) )  -> 
( b  e.  (
fBas `  dom  f ) 
|->  ( x filGen ran  (
y  e.  b  |->  ( f " y ) ) ) )  =  ( b  e.  (
fBas `  Y )  |->  ( X filGen ran  (
y  e.  b  |->  ( F " y ) ) ) ) )
19 elex 2964 . . . . . 6  |-  ( X  e.  A  ->  X  e.  _V )
20193ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  X  e.  _V )
21 fex2 5603 . . . . . 6  |-  ( ( F : Y --> X  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  A )  ->  F  e.  _V )
22213com13 1158 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  F  e.  _V )
23 fvex 5742 . . . . . . 7  |-  ( fBas `  Y )  e.  _V
2423mptex 5966 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) )  e.  _V
2524a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) )  e.  _V )
265, 18, 20, 22, 25ovmpt2d 6201 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  ( X  FilMap  F )  =  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) ) )
2726fneq1d 5536 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( X 
FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y )  <->  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) )  Fn  ( fBas `  Y
) ) )
283, 27mpbiri 225 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  ( X  FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y ) )
29 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  X  e.  A )
30 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  b  e.  ( fBas `  Y )
)
31 simpl3 962 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  F : Y
--> X )
32 fmfil 17976 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  b  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  b )  e.  ( Fil `  X
) )
3329, 30, 31, 32syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  b )  e.  ( Fil `  X ) )
3433ralrimiva 2789 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  A. b  e.  (
fBas `  Y )
( ( X  FilMap  F ) `  b )  e.  ( Fil `  X
) )
35 ffnfv 5894 . 2  |-  ( ( X  FilMap  F ) : ( fBas `  Y
) --> ( Fil `  X
)  <->  ( ( X 
FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y )  /\  A. b  e.  ( fBas `  Y ) ( ( X  FilMap  F ) `  b )  e.  ( Fil `  X ) ) )
3628, 34, 35sylanbrc 646 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  ( X  FilMap  F ) : ( fBas `  Y ) --> ( Fil `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   ran crn 4879   "cima 4881    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083   fBascfbas 16689   filGencfg 16690   Filcfil 17877    FilMap cfm 17965
This theorem is referenced by:  rnelfm  17985
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-fil 17878  df-fm 17970
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