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Theorem fmf 17640
Description: Pushing-forward via a function induces a mapping on filters. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmf  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  ( X  FilMap  F ) : ( fBas `  Y ) --> ( Fil `  X ) )

Proof of Theorem fmf
Dummy variables  f 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 5883 . . . 4  |-  ( X
filGen ran  ( y  e.  b  |->  ( F "
y ) ) )  e.  _V
2 eqid 2283 . . . 4  |-  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) )  =  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) )
31, 2fnmpti 5372 . . 3  |-  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) )  Fn  ( fBas `  Y
)
4 df-fm 17633 . . . . . 6  |-  FilMap  =  ( x  e.  _V , 
f  e.  _V  |->  ( b  e.  ( fBas `  dom  f )  |->  ( x filGen ran  ( y  e.  b  |->  ( f
" y ) ) ) ) )
54a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  FilMap  =  ( x  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  ( b  e.  ( fBas `  dom  f )  |->  ( x
filGen ran  ( y  e.  b  |->  ( f "
y ) ) ) ) ) )
6 dmeq 4879 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  dom  f  =  dom  F )
76adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  X  /\  f  =  F )  ->  dom  f  =  dom  F )
8 fdm 5393 . . . . . . . . 9  |-  ( F : Y --> X  ->  dom  F  =  Y )
983ad2ant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  dom  F  =  Y )
107, 9sylan9eqr 2337 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  =  X  /\  f  =  F ) )  ->  dom  f  =  Y
)
1110fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  =  X  /\  f  =  F ) )  -> 
( fBas `  dom  f )  =  ( fBas `  Y
) )
12 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
13 imaeq1 5007 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
f " y )  =  ( F "
y ) )
1413mpteq2dv 4107 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
y  e.  b  |->  ( f " y ) )  =  ( y  e.  b  |->  ( F
" y ) ) )
1514rneqd 4906 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  ran  ( y  e.  b 
|->  ( f " y
) )  =  ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) )
1612, 15oveqan12d 5877 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  X  /\  f  =  F )  ->  ( x filGen ran  (
y  e.  b  |->  ( f " y ) ) )  =  ( X filGen ran  ( y  e.  b  |->  ( F
" y ) ) ) )
1716adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  =  X  /\  f  =  F ) )  -> 
( x filGen ran  (
y  e.  b  |->  ( f " y ) ) )  =  ( X filGen ran  ( y  e.  b  |->  ( F
" y ) ) ) )
1811, 17mpteq12dv 4098 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  =  X  /\  f  =  F ) )  -> 
( b  e.  (
fBas `  dom  f ) 
|->  ( x filGen ran  (
y  e.  b  |->  ( f " y ) ) ) )  =  ( b  e.  (
fBas `  Y )  |->  ( X filGen ran  (
y  e.  b  |->  ( F " y ) ) ) ) )
19 elex 2796 . . . . . 6  |-  ( X  e.  A  ->  X  e.  _V )
20193ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  X  e.  _V )
21 fex2 5401 . . . . . 6  |-  ( ( F : Y --> X  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  A )  ->  F  e.  _V )
22213com13 1156 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  F  e.  _V )
23 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( fBas `  Y )  e.  _V
2423mptex 5746 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) )  e.  _V
2524a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) )  e.  _V )
265, 18, 20, 22, 25ovmpt2d 5975 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  ( X  FilMap  F )  =  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) ) )
2726fneq1d 5335 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( X 
FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y )  <->  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) )  Fn  ( fBas `  Y
) ) )
283, 27mpbiri 224 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  ( X  FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y ) )
29 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  X  e.  A )
30 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  b  e.  ( fBas `  Y )
)
31 simpl3 960 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  F : Y
--> X )
32 fmfil 17639 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  b  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  b )  e.  ( Fil `  X
) )
3329, 30, 31, 32syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  b )  e.  ( Fil `  X ) )
3433ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  A. b  e.  (
fBas `  Y )
( ( X  FilMap  F ) `  b )  e.  ( Fil `  X
) )
35 ffnfv 5685 . 2  |-  ( ( X  FilMap  F ) : ( fBas `  Y
) --> ( Fil `  X
)  <->  ( ( X 
FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y )  /\  A. b  e.  ( fBas `  Y ) ( ( X  FilMap  F ) `  b )  e.  ( Fil `  X ) ) )
3628, 34, 35sylanbrc 645 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  ( X  FilMap  F ) : ( fBas `  Y ) --> ( Fil `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   fBascfbas 17518   filGencfg 17519   Filcfil 17540    FilMap cfm 17628
This theorem is referenced by:  rnelfm  17648
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633
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