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Theorem fmf 17656
Description: Pushing-forward via a function induces a mapping on filters. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmf  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  ( X  FilMap  F ) : ( fBas `  Y ) --> ( Fil `  X ) )

Proof of Theorem fmf
Dummy variables  f 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 5899 . . . 4  |-  ( X
filGen ran  ( y  e.  b  |->  ( F "
y ) ) )  e.  _V
2 eqid 2296 . . . 4  |-  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) )  =  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) )
31, 2fnmpti 5388 . . 3  |-  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) )  Fn  ( fBas `  Y
)
4 df-fm 17649 . . . . . 6  |-  FilMap  =  ( x  e.  _V , 
f  e.  _V  |->  ( b  e.  ( fBas `  dom  f )  |->  ( x filGen ran  ( y  e.  b  |->  ( f
" y ) ) ) ) )
54a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  FilMap  =  ( x  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  ( b  e.  ( fBas `  dom  f )  |->  ( x
filGen ran  ( y  e.  b  |->  ( f "
y ) ) ) ) ) )
6 dmeq 4895 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  dom  f  =  dom  F )
76adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  X  /\  f  =  F )  ->  dom  f  =  dom  F )
8 fdm 5409 . . . . . . . . 9  |-  ( F : Y --> X  ->  dom  F  =  Y )
983ad2ant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  dom  F  =  Y )
107, 9sylan9eqr 2350 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  =  X  /\  f  =  F ) )  ->  dom  f  =  Y
)
1110fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  =  X  /\  f  =  F ) )  -> 
( fBas `  dom  f )  =  ( fBas `  Y
) )
12 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
13 imaeq1 5023 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
f " y )  =  ( F "
y ) )
1413mpteq2dv 4123 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
y  e.  b  |->  ( f " y ) )  =  ( y  e.  b  |->  ( F
" y ) ) )
1514rneqd 4922 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  ran  ( y  e.  b 
|->  ( f " y
) )  =  ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) )
1612, 15oveqan12d 5893 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  X  /\  f  =  F )  ->  ( x filGen ran  (
y  e.  b  |->  ( f " y ) ) )  =  ( X filGen ran  ( y  e.  b  |->  ( F
" y ) ) ) )
1716adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  =  X  /\  f  =  F ) )  -> 
( x filGen ran  (
y  e.  b  |->  ( f " y ) ) )  =  ( X filGen ran  ( y  e.  b  |->  ( F
" y ) ) ) )
1811, 17mpteq12dv 4114 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  =  X  /\  f  =  F ) )  -> 
( b  e.  (
fBas `  dom  f ) 
|->  ( x filGen ran  (
y  e.  b  |->  ( f " y ) ) ) )  =  ( b  e.  (
fBas `  Y )  |->  ( X filGen ran  (
y  e.  b  |->  ( F " y ) ) ) ) )
19 elex 2809 . . . . . 6  |-  ( X  e.  A  ->  X  e.  _V )
20193ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  X  e.  _V )
21 fex2 5417 . . . . . 6  |-  ( ( F : Y --> X  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  A )  ->  F  e.  _V )
22213com13 1156 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  F  e.  _V )
23 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( fBas `  Y )  e.  _V
2423mptex 5762 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) )  e.  _V
2524a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) )  e.  _V )
265, 18, 20, 22, 25ovmpt2d 5991 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  ( X  FilMap  F )  =  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) ) )
2726fneq1d 5351 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( X 
FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y )  <->  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) )  Fn  ( fBas `  Y
) ) )
283, 27mpbiri 224 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  ( X  FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y ) )
29 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  X  e.  A )
30 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  b  e.  ( fBas `  Y )
)
31 simpl3 960 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  F : Y
--> X )
32 fmfil 17655 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  b  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  b )  e.  ( Fil `  X
) )
3329, 30, 31, 32syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  b )  e.  ( Fil `  X ) )
3433ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  A. b  e.  (
fBas `  Y )
( ( X  FilMap  F ) `  b )  e.  ( Fil `  X
) )
35 ffnfv 5701 . 2  |-  ( ( X  FilMap  F ) : ( fBas `  Y
) --> ( Fil `  X
)  <->  ( ( X 
FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y )  /\  A. b  e.  ( fBas `  Y ) ( ( X  FilMap  F ) `  b )  e.  ( Fil `  X ) ) )
3628, 34, 35sylanbrc 645 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  ( X  FilMap  F ) : ( fBas `  Y ) --> ( Fil `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   fBascfbas 17534   filGencfg 17535   Filcfil 17556    FilMap cfm 17644
This theorem is referenced by:  rnelfm  17664
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649
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