MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmfil Unicode version

Theorem fmfil 17897
Description: A mapping filter is a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmfil  |-  ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  B )  e.  ( Fil `  X
) )

Proof of Theorem fmfil
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmval 17896 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  B )  =  ( X filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) ) ) )
2 eqid 2387 . . . . 5  |-  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) )  =  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) )
32fbasrn 17837 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X  /\  X  e.  A )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) )  e.  (
fBas `  X )
)
433comr 1161 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) )  e.  (
fBas `  X )
)
5 fgcl 17831 . . 3  |-  ( ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) )  e.  (
fBas `  X )  ->  ( X filGen ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( X filGen ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
71, 6eqeltrd 2461 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  B )  e.  ( Fil `  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    e. wcel 1717    e. cmpt 4207   ran crn 4819   "cima 4821   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   fBascfbas 16615   filGencfg 16616   Filcfil 17798    FilMap cfm 17886
This theorem is referenced by:  fmf  17898  fmufil  17912  fmco  17914  ufldom  17915  flfnei  17944  isflf  17946  flfcnp  17957  isfcf  17987  cnpfcfi  17993  cnpfcf  17994  cnextucn  18254
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-fil 17799  df-fm 17891
  Copyright terms: Public domain W3C validator