MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmfil Structured version   Unicode version

Theorem fmfil 17968
Description: A mapping filter is a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmfil  |-  ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  B )  e.  ( Fil `  X
) )

Proof of Theorem fmfil
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmval 17967 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  B )  =  ( X filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) ) ) )
2 eqid 2435 . . . . 5  |-  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) )  =  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) )
32fbasrn 17908 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X  /\  X  e.  A )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) )  e.  (
fBas `  X )
)
433comr 1161 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) )  e.  (
fBas `  X )
)
5 fgcl 17902 . . 3  |-  ( ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) )  e.  (
fBas `  X )  ->  ( X filGen ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( X filGen ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
71, 6eqeltrd 2509 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  B )  e.  ( Fil `  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    e. wcel 1725    e. cmpt 4258   ran crn 4871   "cima 4873   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   fBascfbas 16681   filGencfg 16682   Filcfil 17869    FilMap cfm 17957
This theorem is referenced by:  fmf  17969  fmufil  17983  fmco  17985  ufldom  17986  flfnei  18015  isflf  18017  flfcnp  18028  isfcf  18058  cnpfcfi  18064  cnpfcf  18065  cnextucn  18325
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-fil 17870  df-fm 17962
  Copyright terms: Public domain W3C validator