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Theorem fmfnfm 17992
Description: A filter finer than an image filter is an image filter of the same function. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmfnfm.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( fBas `  Y ) )
fmfnfm.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
fmfnfm.f  |-  ( ph  ->  F : Y --> X )
fmfnfm.fm  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) 
C_  L )
Assertion
Ref Expression
fmfnfm  |-  ( ph  ->  E. f  e.  ( Fil `  Y ) ( B  C_  f  /\  L  =  (
( X  FilMap  F ) `
 f ) ) )
Distinct variable groups:    B, f    f, F    f, L    f, X    f, Y
Allowed substitution hint:    ph( f)

Proof of Theorem fmfnfm
Dummy variables  s 
t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmfnfm.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( fBas `  Y ) )
2 fbsspw 17866 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  ~P Y )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  ~P Y
)
4 elfvdm 5759 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  Y  e.  dom  fBas )
51, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  dom  fBas )
6 fmfnfm.l . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
7 fmfnfm.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : Y --> X )
8 fmfnfm.fm . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) 
C_  L )
9 ffn 5593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : Y --> X  ->  F  Fn  Y )
10 dffn4 5661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  Y  <->  F : Y -onto-> ran  F )
119, 10sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Y --> X  ->  F : Y -onto-> ran  F
)
12 foima 5660 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Y -onto-> ran  F  ->  ( F " Y
)  =  ran  F
)
137, 11, 123syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F " Y
)  =  ran  F
)
14 filtop 17889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  L )
156, 14syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  L )
16 fgcl 17912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen B )  e.  ( Fil `  Y ) )
17 filtop 17889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y filGen B )  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  ( Y filGen B ) )
181, 16, 173syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Y
filGen B ) )
19 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y
filGen B )  =  ( Y filGen B )
2019imaelfm 17985 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  Y  e.  ( Y filGen B ) )  ->  ( F " Y )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B ) )
2115, 1, 7, 18, 20syl31anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F " Y
)  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) )
2213, 21eqeltrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B ) )
238, 22sseldd 3351 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  F  e.  L
)
24 rnelfmlem 17986 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  dom  fBas  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
) )
255, 6, 7, 23, 24syl31anc 1188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e.  ( fBas `  Y
) )
26 fbsspw 17866 . . . . . 6  |-  ( ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  C_  ~P Y
)
2725, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  C_  ~P Y )
283, 27unssd 3525 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) 
C_  ~P Y )
29 ssun1 3512 . . . . 5  |-  B  C_  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )
30 fbasne0 17864 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  =/=  (/) )
311, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
32 ssn0 3662 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  /\  B  =/=  (/) )  -> 
( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  =/=  (/) )
3329, 31, 32sylancr 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  =/=  (/) )
34 vex 2961 . . . . . . . . 9  |-  t  e. 
_V
35 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  =  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )
3635elrnmpt 5119 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  _V  ->  (
t  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  t  =  ( `' F " x ) ) )
3734, 36ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  t  =  ( `' F " x ) )
38 0nelfil 17883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  -.  (/)  e.  L
)
396, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  (/)  e.  L )
4039ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  -.  (/) 
e.  L )
416adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  L  e.  ( Fil `  X
) )
428adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 B )  C_  L )
4315, 1, 73jca 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X ) )
4443adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X ) )
45 ssfg 17906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  ( Y filGen B ) )
461, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Y filGen B ) )
4746sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  e.  ( Y filGen B ) )
4819imaelfm 17985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  s  e.  ( Y filGen B ) )  ->  ( F "
s )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B ) )
4944, 47, 48syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( F " s )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) )
5042, 49sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( F " s )  e.  L )
5141, 50jca 520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F " s )  e.  L ) )
52 filin 17888 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F " s )  e.  L  /\  x  e.  L )  ->  (
( F " s
)  i^i  x )  e.  L )
53523expa 1154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F "
s )  e.  L
)  /\  x  e.  L )  ->  (
( F " s
)  i^i  x )  e.  L )
5451, 53sylan 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  (
( F " s
)  i^i  x )  e.  L )
55 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F " s
)  i^i  x )  =  (/)  ->  ( (
( F " s
)  i^i  x )  e.  L  <->  (/)  e.  L ) )
5654, 55syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  (
( ( F "
s )  i^i  x
)  =  (/)  ->  (/)  e.  L
) )
5740, 56mtod 171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  -.  ( ( F "
s )  i^i  x
)  =  (/) )
58 neq0 3640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( F "
s )  i^i  x
)  =  (/)  <->  E. t 
t  e.  ( ( F " s )  i^i  x ) )
59 elin 3532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( ( F
" s )  i^i  x )  <->  ( t  e.  ( F " s
)  /\  t  e.  x ) )
60 ffun 5595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : Y --> X  ->  Fun  F )
61 fvelima 5780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Fun  F  /\  t  e.  ( F " s
) )  ->  E. y  e.  s  ( F `  y )  =  t )
6261ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Fun 
F  ->  ( t  e.  ( F " s
)  ->  E. y  e.  s  ( F `  y )  =  t ) )
637, 60, 623syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( F " s )  ->  E. y  e.  s  ( F `  y
)  =  t ) )
6463ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  (
t  e.  ( F
" s )  ->  E. y  e.  s 
( F `  y
)  =  t ) )
657, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  Fun  F )
6665ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L
)  /\  y  e.  s )  ->  Fun  F )
67 fbelss 17867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  s  e.  B )  ->  s  C_  Y )
681, 67sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  C_  Y )
69 fdm 5597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( F : Y --> X  ->  dom  F  =  Y )
707, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  dom  F  =  Y )
7170adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  dom  F  =  Y )
7268, 71sseqtr4d 3387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  C_ 
dom  F )
7372adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  s  C_ 
dom  F )
7473sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L
)  /\  y  e.  s )  ->  y  e.  dom  F )
75 fvimacnv 5847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  y )  e.  x  <->  y  e.  ( `' F " x ) ) )
7666, 74, 75syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L
)  /\  y  e.  s )  ->  (
( F `  y
)  e.  x  <->  y  e.  ( `' F " x ) ) )
77 inelcm 3684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  s  /\  y  e.  ( `' F " x ) )  ->  ( s  i^i  ( `' F "
x ) )  =/=  (/) )
7877ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  s  ->  (
y  e.  ( `' F " x )  ->  ( s  i^i  ( `' F "
x ) )  =/=  (/) ) )
7978adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L
)  /\  y  e.  s )  ->  (
y  e.  ( `' F " x )  ->  ( s  i^i  ( `' F "
x ) )  =/=  (/) ) )
8076, 79sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L
)  /\  y  e.  s )  ->  (
( F `  y
)  e.  x  -> 
( s  i^i  ( `' F " x ) )  =/=  (/) ) )
81 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  y )  =  t  ->  (
( F `  y
)  e.  x  <->  t  e.  x ) )
8281imbi1d 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  y )  =  t  ->  (
( ( F `  y )  e.  x  ->  ( s  i^i  ( `' F " x ) )  =/=  (/) )  <->  ( t  e.  x  ->  ( s  i^i  ( `' F " x ) )  =/=  (/) ) ) )
8380, 82syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L
)  /\  y  e.  s )  ->  (
( F `  y
)  =  t  -> 
( t  e.  x  ->  ( s  i^i  ( `' F " x ) )  =/=  (/) ) ) )
8483rexlimdva 2832 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  ( E. y  e.  s 
( F `  y
)  =  t  -> 
( t  e.  x  ->  ( s  i^i  ( `' F " x ) )  =/=  (/) ) ) )
8564, 84syld 43 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  (
t  e.  ( F
" s )  -> 
( t  e.  x  ->  ( s  i^i  ( `' F " x ) )  =/=  (/) ) ) )
8685imp3a 422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  (
( t  e.  ( F " s )  /\  t  e.  x
)  ->  ( s  i^i  ( `' F "
x ) )  =/=  (/) ) )
8759, 86syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  (
t  e.  ( ( F " s )  i^i  x )  -> 
( s  i^i  ( `' F " x ) )  =/=  (/) ) )
8887exlimdv 1647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  ( E. t  t  e.  ( ( F "
s )  i^i  x
)  ->  ( s  i^i  ( `' F "
x ) )  =/=  (/) ) )
8958, 88syl5bi 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  ( -.  ( ( F "
s )  i^i  x
)  =  (/)  ->  (
s  i^i  ( `' F " x ) )  =/=  (/) ) )
9057, 89mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  (
s  i^i  ( `' F " x ) )  =/=  (/) )
91 ineq2 3538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( `' F " x )  ->  (
s  i^i  t )  =  ( s  i^i  ( `' F "
x ) ) )
9291neeq1d 2616 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( `' F " x )  ->  (
( s  i^i  t
)  =/=  (/)  <->  ( s  i^i  ( `' F "
x ) )  =/=  (/) ) )
9390, 92syl5ibrcom 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  (
t  =  ( `' F " x )  ->  ( s  i^i  t )  =/=  (/) ) )
9493rexlimdva 2832 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( E. x  e.  L  t  =  ( `' F " x )  -> 
( s  i^i  t
)  =/=  (/) ) )
9537, 94syl5bi 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  (
t  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  ->  ( s  i^i  t )  =/=  (/) ) )
9695expimpd 588 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  B  /\  t  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  ->  ( s  i^i  t )  =/=  (/) ) )
9796ralrimivv 2799 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  B  A. t  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( s  i^i  t )  =/=  (/) )
98 fbunfip 17903 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )  <->  A. s  e.  B  A. t  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( s  i^i  t )  =/=  (/) ) )
991, 25, 98syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  <->  A. s  e.  B  A. t  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ( s  i^i  t )  =/=  (/) ) )
10097, 99mpbird 225 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  (/)  e.  ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )
101 fsubbas 17901 . . . . 5  |-  ( Y  e.  dom  fBas  ->  ( ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  e.  ( fBas `  Y
)  <->  ( ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  C_  ~P Y  /\  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ) ) )
1021, 4, 1013syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )  e.  ( fBas `  Y )  <->  ( ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  C_  ~P Y  /\  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ) ) )
10328, 33, 100, 102mpbir3and 1138 . . 3  |-  ( ph  ->  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  e.  ( fBas `  Y
) )
104 fgcl 17912 . . 3  |-  ( ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )  e.  ( Fil `  Y
) )
105103, 104syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y filGen ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )  e.  ( Fil `  Y ) )
106 unexg 4712 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  _V )
1071, 25, 106syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  e.  _V )
108 ssfii 7426 . . . . 5  |-  ( ( B  u.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  _V  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) 
C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )
109107, 108syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) 
C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )
110109unssad 3526 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )
111 ssfg 17906 . . . 4  |-  ( ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )  C_  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ) )
112103, 111syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  C_  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ) )
113110, 112sstrd 3360 . 2  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ) )
1141, 6, 7, 8fmfnfmlem4 17991 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  <->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ( F "
s )  C_  t
) ) )
115 elfm 17981 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  L  /\  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
t  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
11615, 103, 7, 115syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )  <->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
117114, 116bitr4d 249 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  <->  t  e.  ( ( X 
FilMap  F ) `  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ) ) )
118117eqrdv 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  L  =  ( ( X  FilMap  F ) `  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ) )
119 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Y
filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )  =  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )
120119fmfg 17983 . . . 4  |-  ( ( X  e.  L  /\  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )  =  ( ( X  FilMap  F ) `
 ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ) ) )
12115, 103, 7, 120syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )  =  ( ( X  FilMap  F ) `
 ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ) ) )
122118, 121eqtrd 2470 . 2  |-  ( ph  ->  L  =  ( ( X  FilMap  F ) `  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ) ) )
123 sseq2 3372 . . . 4  |-  ( f  =  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )  ->  ( B  C_  f 
<->  B  C_  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ) ) )
124 fveq2 5730 . . . . 5  |-  ( f  =  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  f
)  =  ( ( X  FilMap  F ) `  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ) ) )
125124eqeq2d 2449 . . . 4  |-  ( f  =  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )  ->  ( L  =  ( ( X  FilMap  F ) `  f )  <-> 
L  =  ( ( X  FilMap  F ) `  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ) ) ) )
126123, 125anbi12d 693 . . 3  |-  ( f  =  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )  ->  ( ( B 
C_  f  /\  L  =  ( ( X 
FilMap  F ) `  f
) )  <->  ( B  C_  ( Y filGen ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )  /\  L  =  ( ( X 
FilMap  F ) `  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ) ) ) ) )
127126rspcev 3054 . 2  |-  ( ( ( Y filGen ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( B  C_  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )  /\  L  =  ( ( X 
FilMap  F ) `  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ) ) ) )  ->  E. f  e.  ( Fil `  Y
) ( B  C_  f  /\  L  =  ( ( X  FilMap  F ) `
 f ) ) )
128105, 113, 122, 127syl12anc 1183 1  |-  ( ph  ->  E. f  e.  ( Fil `  Y ) ( B  C_  f  /\  L  =  (
( X  FilMap  F ) `
 f ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801    e. cmpt 4268   `'ccnv 4879   dom cdm 4880   ran crn 4881   "cima 4883   Fun wfun 5450    Fn wfn 5451   -->wf 5452   -onto->wfo 5454   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   ficfi 7417   fBascfbas 16691   filGencfg 16692   Filcfil 17879    FilMap cfm 17967
This theorem is referenced by:  fmufil  17993  cnpfcf  18075
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-fin 7115  df-fi 7418  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-fil 17880  df-fm 17972
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