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Theorem fmfnfmlem2 17987
Description: Lemma for fmfnfm 17990. (Contributed by Jeff Hankins, 19-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmfnfm.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( fBas `  Y ) )
fmfnfm.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
fmfnfm.f  |-  ( ph  ->  F : Y --> X )
fmfnfm.fm  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) 
C_  L )
Assertion
Ref Expression
fmfnfmlem2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
Distinct variable groups:    t, s, x, B    F, s, t, x    L, s, t, x    ph, s, t, x    X, s, t, x    Y, s, t, x

Proof of Theorem fmfnfmlem2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmfnfm.l . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
21ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
3 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  x  e.  L
)
4 fmfnfm.fm . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) 
C_  L )
5 fmfnfm.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : Y --> X )
6 ffn 5591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : Y --> X  ->  F  Fn  Y )
7 dffn4 5659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  Y  <->  F : Y -onto-> ran  F )
86, 7sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Y --> X  ->  F : Y -onto-> ran  F
)
9 foima 5658 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Y -onto-> ran  F  ->  ( F " Y
)  =  ran  F
)
105, 8, 93syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F " Y
)  =  ran  F
)
11 filtop 17887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  L )
121, 11syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  L )
13 fmfnfm.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  ( fBas `  Y ) )
14 fgcl 17910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen B )  e.  ( Fil `  Y ) )
15 filtop 17887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y filGen B )  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  ( Y filGen B ) )
1613, 14, 153syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Y
filGen B ) )
17 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y
filGen B )  =  ( Y filGen B )
1817imaelfm 17983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  Y  e.  ( Y filGen B ) )  ->  ( F " Y )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B ) )
1912, 13, 5, 16, 18syl31anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F " Y
)  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) )
2010, 19eqeltrrd 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B ) )
214, 20sseldd 3349 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  F  e.  L
)
2221ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ran  F  e.  L )
23 filin 17886 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  L  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
x  i^i  ran  F )  e.  L )
242, 3, 22, 23syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( x  i^i 
ran  F )  e.  L )
25 simprr 734 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  t  C_  X
)
26 elin 3530 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
ran  F )  <->  ( y  e.  x  /\  y  e.  ran  F ) )
27 fvelrnb 5774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  Y  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y ) )
285, 6, 273syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ran  F  <->  E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y ) )
2928ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  t )  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y ) )
30 ffun 5593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : Y --> X  ->  Fun  F )
315, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Fun  F )
3231ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  Fun  F )
33 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  z  e.  Y )
34 fdm 5595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : Y --> X  ->  dom  F  =  Y )
355, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  F  =  Y )
3635ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  dom  F  =  Y )
3733, 36eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  z  e.  dom  F )
38 fvimacnv 5845 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  z )  e.  x  <->  z  e.  ( `' F " x ) ) )
3932, 37, 38syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  x  <->  z  e.  ( `' F " x ) ) )
40 cnvimass 5224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
41 funfvima2 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  F  /\  ( `' F " x ) 
C_  dom  F )  ->  ( z  e.  ( `' F " x )  ->  ( F `  z )  e.  ( F " ( `' F " x ) ) ) )
4232, 40, 41sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( z  e.  ( `' F "
x )  ->  ( F `  z )  e.  ( F " ( `' F " x ) ) ) )
43 ssel 3342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  t  ->  ( ( F `  z
)  e.  ( F
" ( `' F " x ) )  -> 
( F `  z
)  e.  t ) )
4443ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( F " ( `' F " x ) )  ->  ( F `  z )  e.  t ) )
4542, 44syld 42 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( z  e.  ( `' F "
x )  ->  ( F `  z )  e.  t ) )
4639, 45sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  x  ->  ( F `
 z )  e.  t ) )
47 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  =  y  ->  (
( F `  z
)  e.  x  <->  y  e.  x ) )
48 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  =  y  ->  (
( F `  z
)  e.  t  <->  y  e.  t ) )
4947, 48imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  z )  =  y  ->  (
( ( F `  z )  e.  x  ->  ( F `  z
)  e.  t )  <-> 
( y  e.  x  ->  y  e.  t ) ) )
5046, 49syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( ( F `  z )  =  y  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  t ) ) )
5150expr 599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  t )  ->  (
z  e.  Y  -> 
( ( F `  z )  =  y  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  t ) ) ) )
5251rexlimdv 2829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  t )  ->  ( E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y  ->  (
y  e.  x  -> 
y  e.  t ) ) )
5329, 52sylbid 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  t )  ->  (
y  e.  ran  F  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  t ) ) )
5453com23 74 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  t )  ->  (
y  e.  x  -> 
( y  e.  ran  F  ->  y  e.  t ) ) )
5554imp3a 421 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  t )  ->  (
( y  e.  x  /\  y  e.  ran  F )  ->  y  e.  t ) )
5655adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( ( y  e.  x  /\  y  e.  ran  F )  -> 
y  e.  t ) )
5726, 56syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( y  e.  ( x  i^i  ran  F )  ->  y  e.  t ) )
5857ssrdv 3354 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( x  i^i 
ran  F )  C_  t )
59 filss 17885 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( x  i^i  ran  F )  e.  L  /\  t  C_  X  /\  (
x  i^i  ran  F ) 
C_  t ) )  ->  t  e.  L
)
602, 24, 25, 58, 59syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  t  e.  L
)
6160exp32 589 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  L )  ->  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) )
62 imaeq2 5199 . . . . 5  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  ( F " s )  =  ( F " ( `' F " x ) ) )
6362sseq1d 3375 . . . 4  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " s
)  C_  t  <->  ( F " ( `' F "
x ) )  C_  t ) )
6463imbi1d 309 . . 3  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  (
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) )  <->  ( ( F
" ( `' F " x ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
6561, 64syl5ibrcom 214 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  L )  ->  (
s  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
6665rexlimdva 2830 1  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2706    i^i cin 3319    C_ wss 3320   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   ran crn 4879   "cima 4881   Fun wfun 5448    Fn wfn 5449   -->wf 5450   -onto->wfo 5452   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   fBascfbas 16689   filGencfg 16690   Filcfil 17877    FilMap cfm 17965
This theorem is referenced by:  fmfnfmlem4  17989
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-fil 17878  df-fm 17970
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