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Theorem fmfnfmlem2 17650
Description: Lemma for fmfnfm 17653. (Contributed by Jeff Hankins, 19-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmfnfm.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( fBas `  Y ) )
fmfnfm.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
fmfnfm.f  |-  ( ph  ->  F : Y --> X )
fmfnfm.fm  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) 
C_  L )
Assertion
Ref Expression
fmfnfmlem2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
Distinct variable groups:    t, s, x, B    F, s, t, x    L, s, t, x    ph, s, t, x    X, s, t, x    Y, s, t, x

Proof of Theorem fmfnfmlem2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmfnfm.l . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
21ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
3 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  x  e.  L
)
4 fmfnfm.fm . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) 
C_  L )
5 fmfnfm.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : Y --> X )
6 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : Y --> X  ->  F  Fn  Y )
7 dffn4 5457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  Y  <->  F : Y -onto-> ran  F )
86, 7sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Y --> X  ->  F : Y -onto-> ran  F
)
9 foima 5456 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Y -onto-> ran  F  ->  ( F " Y
)  =  ran  F
)
105, 8, 93syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F " Y
)  =  ran  F
)
11 filtop 17550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  L )
121, 11syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  L )
13 fmfnfm.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  ( fBas `  Y ) )
14 fgcl 17573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen B )  e.  ( Fil `  Y ) )
15 filtop 17550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y filGen B )  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  ( Y filGen B ) )
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Y
filGen B ) )
17 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y
filGen B )  =  ( Y filGen B )
1817imaelfm 17646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  Y  e.  ( Y filGen B ) )  ->  ( F " Y )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B ) )
1912, 13, 5, 16, 18syl31anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F " Y
)  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) )
2010, 19eqeltrrd 2358 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B ) )
214, 20sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  F  e.  L
)
2221ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ran  F  e.  L )
23 filin 17549 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  L  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
x  i^i  ran  F )  e.  L )
242, 3, 22, 23syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( x  i^i 
ran  F )  e.  L )
25 simprr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  t  C_  X
)
26 elin 3358 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
ran  F )  <->  ( y  e.  x  /\  y  e.  ran  F ) )
27 fvelrnb 5570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  Y  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y ) )
285, 6, 273syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ran  F  <->  E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y ) )
2928ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  t )  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y ) )
30 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : Y --> X  ->  Fun  F )
315, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Fun  F )
3231ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  Fun  F )
33 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  z  e.  Y )
34 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : Y --> X  ->  dom  F  =  Y )
355, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  F  =  Y )
3635ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  dom  F  =  Y )
3733, 36eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  z  e.  dom  F )
38 fvimacnv 5640 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  z )  e.  x  <->  z  e.  ( `' F " x ) ) )
3932, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  x  <->  z  e.  ( `' F " x ) ) )
40 cnvimass 5033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
41 funfvima2 5754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  F  /\  ( `' F " x ) 
C_  dom  F )  ->  ( z  e.  ( `' F " x )  ->  ( F `  z )  e.  ( F " ( `' F " x ) ) ) )
4232, 40, 41sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( z  e.  ( `' F "
x )  ->  ( F `  z )  e.  ( F " ( `' F " x ) ) ) )
43 ssel 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  t  ->  ( ( F `  z
)  e.  ( F
" ( `' F " x ) )  -> 
( F `  z
)  e.  t ) )
4443ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( F " ( `' F " x ) )  ->  ( F `  z )  e.  t ) )
4542, 44syld 40 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( z  e.  ( `' F "
x )  ->  ( F `  z )  e.  t ) )
4639, 45sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  x  ->  ( F `
 z )  e.  t ) )
47 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  =  y  ->  (
( F `  z
)  e.  x  <->  y  e.  x ) )
48 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  =  y  ->  (
( F `  z
)  e.  t  <->  y  e.  t ) )
4947, 48imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  z )  =  y  ->  (
( ( F `  z )  e.  x  ->  ( F `  z
)  e.  t )  <-> 
( y  e.  x  ->  y  e.  t ) ) )
5046, 49syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( ( F `  z )  =  y  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  t ) ) )
5150expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  t )  ->  (
z  e.  Y  -> 
( ( F `  z )  =  y  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  t ) ) ) )
5251rexlimdv 2666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  t )  ->  ( E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y  ->  (
y  e.  x  -> 
y  e.  t ) ) )
5329, 52sylbid 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  t )  ->  (
y  e.  ran  F  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  t ) ) )
5453com23 72 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  t )  ->  (
y  e.  x  -> 
( y  e.  ran  F  ->  y  e.  t ) ) )
5554imp3a 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  t )  ->  (
( y  e.  x  /\  y  e.  ran  F )  ->  y  e.  t ) )
5655adantrr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( ( y  e.  x  /\  y  e.  ran  F )  -> 
y  e.  t ) )
5726, 56syl5bi 208 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( y  e.  ( x  i^i  ran  F )  ->  y  e.  t ) )
5857ssrdv 3185 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( x  i^i 
ran  F )  C_  t )
59 filss 17548 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( x  i^i  ran  F )  e.  L  /\  t  C_  X  /\  (
x  i^i  ran  F ) 
C_  t ) )  ->  t  e.  L
)
602, 24, 25, 58, 59syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  t  e.  L
)
6160exp32 588 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  L )  ->  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) )
62 imaeq2 5008 . . . . 5  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  ( F " s )  =  ( F " ( `' F " x ) ) )
6362sseq1d 3205 . . . 4  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " s
)  C_  t  <->  ( F " ( `' F "
x ) )  C_  t ) )
6463imbi1d 308 . . 3  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  (
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) )  <->  ( ( F
" ( `' F " x ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
6561, 64syl5ibrcom 213 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  L )  ->  (
s  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
6665rexlimdva 2667 1  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   fBascfbas 17518   filGencfg 17519   Filcfil 17540    FilMap cfm 17628
This theorem is referenced by:  fmfnfmlem4  17652
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633
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