MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmfnfmlem4 Unicode version

Theorem fmfnfmlem4 17912
Description: Lemma for fmfnfm 17913. (Contributed by Jeff Hankins, 19-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmfnfm.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( fBas `  Y ) )
fmfnfm.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
fmfnfm.f  |-  ( ph  ->  F : Y --> X )
fmfnfm.fm  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) 
C_  L )
Assertion
Ref Expression
fmfnfmlem4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  <->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ( F "
s )  C_  t
) ) )
Distinct variable groups:    t, s, x, B    F, s, t, x    L, s, t, x    ph, s, t, x    X, s, t, x    Y, s, t, x

Proof of Theorem fmfnfmlem4
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmfnfm.l . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
2 filelss 17807 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  t  e.  L )  ->  t  C_  X )
32ex 424 . . . 4  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( t  e.  L  ->  t  C_  X ) )
41, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  ->  t  C_  X )
)
5 fmfnfm.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  ( fBas `  Y ) )
6 mptexg 5906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e.  _V )
7 rnexg 5073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e.  _V  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e. 
_V )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e.  _V )
91, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e. 
_V )
10 unexg 4652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e. 
_V )  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  _V )
115, 9, 10syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  e.  _V )
12 ssfii 7361 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  u.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  _V  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) 
C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )
1312unssbd 3470 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  u.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  _V  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )
1411, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )
1514adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )
16 eqid 2389 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " t )  =  ( `' F " t )
17 imaeq2 5141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  t  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " t ) )
1817eqeq2d 2400 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  t  ->  (
( `' F "
t )  =  ( `' F " x )  <-> 
( `' F "
t )  =  ( `' F " t ) ) )
1918rspcev 2997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  L  /\  ( `' F " t )  =  ( `' F " t ) )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F " x ) )
2016, 19mpan2 653 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  L  ->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) )
2120adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) )
22 elfvdm 5699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  Y  e.  dom  fBas )
235, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  dom  fBas )
24 cnvimass 5166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F " t ) 
C_  dom  F
25 fmfnfm.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : Y --> X )
26 fdm 5537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y --> X  ->  dom  F  =  Y )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  F  =  Y )
2824, 27syl5sseq 3341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' F "
t )  C_  Y
)
2923, 28ssexd 4293 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' F "
t )  e.  _V )
3029adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ( `' F " t )  e.  _V )
31 eqid 2389 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  =  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )
3231elrnmpt 5059 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F " t )  e.  _V  ->  (
( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) ) )
3330, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  (
( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) ) )
3421, 33mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ( `' F " t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )
3515, 34sseldd 3294 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ( `' F " t )  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )
36 ffun 5535 . . . . . . . 8  |-  ( F : Y --> X  ->  Fun  F )
37 ssid 3312 . . . . . . . 8  |-  ( `' F " t ) 
C_  ( `' F " t )
38 funimass2 5469 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  ( `' F " t ) 
C_  ( `' F " t ) )  -> 
( F " ( `' F " t ) )  C_  t )
3936, 37, 38sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( F : Y --> X  -> 
( F " ( `' F " t ) )  C_  t )
4025, 39syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F " ( `' F " t ) )  C_  t )
4140adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ( F " ( `' F " t ) )  C_  t )
42 imaeq2 5141 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( `' F " t )  ->  ( F " s )  =  ( F " ( `' F " t ) ) )
4342sseq1d 3320 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( `' F " t )  ->  (
( F " s
)  C_  t  <->  ( F " ( `' F "
t ) )  C_  t ) )
4443rspcev 2997 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
t )  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  /\  ( F " ( `' F " t ) )  C_  t )  ->  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t )
4535, 41, 44syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t )
4645ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  ->  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t ) )
474, 46jcad 520 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  ->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
48 elfiun 7372 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e. 
_V )  ->  (
s  e.  ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )  <->  ( s  e.  ( fi `  B
)  \/  s  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  \/  E. z  e.  ( fi `  B
) E. w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) s  =  ( z  i^i  w ) ) ) )
495, 9, 48syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  <->  ( s  e.  ( fi `  B
)  \/  s  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  \/  E. z  e.  ( fi `  B
) E. w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) s  =  ( z  i^i  w ) ) ) )
50 fmfnfm.fm . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) 
C_  L )
515, 1, 25, 50fmfnfmlem1 17909 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  B )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
525, 1, 25, 50fmfnfmlem3 17911 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  =  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )
5352eleq2d 2456 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  <->  s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )
54 vex 2904 . . . . . . . . . 10  |-  s  e. 
_V
5531elrnmpt 5059 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x ) ) )
5654, 55ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x ) )
575, 1, 25, 50fmfnfmlem2 17910 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
5856, 57syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  -> 
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
5953, 58sylbid 207 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  ->  (
( F " s
)  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
6052eleq2d 2456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  <->  w  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )
61 vex 2904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  w  e. 
_V
6231elrnmpt 5059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x ) ) )
6361, 62ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x ) )
6460, 63syl6bb 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  <->  E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x ) ) )
6564adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( fi `  B ) )  ->  ( w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  <->  E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x ) ) )
66 fbssfi 17792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  z  e.  ( fi `  B
) )  ->  E. s  e.  B  s  C_  z )
675, 66sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( fi `  B ) )  ->  E. s  e.  B  s  C_  z )
681ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
691adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
7050adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 B )  C_  L )
71 filtop 17810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  L )
721, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  X  e.  L )
7372, 5, 253jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X ) )
7473adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X ) )
75 ssfg 17827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  ( Y filGen B ) )
765, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Y filGen B ) )
7776sselda 3293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  e.  ( Y filGen B ) )
78 eqid 2389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Y
filGen B )  =  ( Y filGen B )
7978imaelfm 17906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  s  e.  ( Y filGen B ) )  ->  ( F "
s )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B ) )
8074, 77, 79syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( F " s )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) )
8170, 80sseldd 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( F " s )  e.  L )
8281adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  -> 
( F " s
)  e.  L )
8369, 82jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  -> 
( L  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F "
s )  e.  L
) )
84 filin 17809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F " s )  e.  L  /\  x  e.  L )  ->  (
( F " s
)  i^i  x )  e.  L )
85843expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F "
s )  e.  L
)  /\  x  e.  L )  ->  (
( F " s
)  i^i  x )  e.  L )
8683, 85sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L
)  ->  ( ( F " s )  i^i  x )  e.  L
)
8786adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( ( F
" s )  i^i  x )  e.  L
)
88 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  t  C_  X
)
89 elin 3475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  ( ( F
" s )  i^i  x )  <->  ( w  e.  ( F " s
)  /\  w  e.  x ) )
9025, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  Fun  F )
91 fvelima 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Fun  F  /\  w  e.  ( F " s
) )  ->  E. y  e.  s  ( F `  y )  =  w )
9291ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( Fun 
F  ->  ( w  e.  ( F " s
)  ->  E. y  e.  s  ( F `  y )  =  w ) )
9390, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( F " s )  ->  E. y  e.  s  ( F `  y
)  =  w ) )
9493ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  (
w  e.  ( F
" s )  ->  E. y  e.  s 
( F `  y
)  =  w ) )
9590ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  ->  Fun  F )
96 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L
)  ->  s  C_  z )
97 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) )  ->  y  e.  s )
98 ssel2 3288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( s  C_  z  /\  y  e.  s )  ->  y  e.  z )
9996, 97, 98syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  -> 
y  e.  z )
10090ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  y  e.  s )  ->  Fun  F )
101 fbelss 17788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  s  e.  B )  ->  s  C_  Y )
1025, 101sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  C_  Y )
10327adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  dom  F  =  Y )
104102, 103sseqtr4d 3330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  C_ 
dom  F )
105104adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  -> 
s  C_  dom  F )
106105sselda 3293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  y  e.  s )  ->  y  e.  dom  F )
107 fvimacnv 5786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  y )  e.  x  <->  y  e.  ( `' F " x ) ) )
108100, 106, 107syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  y  e.  s )  ->  ( ( F `  y )  e.  x  <->  y  e.  ( `' F " x ) ) )
109108biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  y  e.  s )  ->  ( ( F `  y )  e.  x  ->  y  e.  ( `' F "
x ) ) )
110109impr 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `
 y )  e.  x ) )  -> 
y  e.  ( `' F " x ) )
111110ad2ant2rl 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  -> 
y  e.  ( `' F " x ) )
112 elin 3475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( y  e.  ( z  i^i  ( `' F "
x ) )  <->  ( y  e.  z  /\  y  e.  ( `' F "
x ) ) )
11399, 111, 112sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  -> 
y  e.  ( z  i^i  ( `' F " x ) ) )
114 inss2 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( z  i^i  ( `' F " x ) )  C_  ( `' F " x )
115 cnvimass 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
116114, 115sstri 3302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  i^i  ( `' F " x ) )  C_  dom  F
117 funfvima2 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Fun  F  /\  (
z  i^i  ( `' F " x ) ) 
C_  dom  F )  ->  ( y  e.  ( z  i^i  ( `' F " x ) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
118116, 117mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( Fun 
F  ->  ( y  e.  ( z  i^i  ( `' F " x ) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
11995, 113, 118sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  -> 
( F `  y
)  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) )
120119anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  /\  (
y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x ) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) )
121120expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  /\  y  e.  s )  ->  (
( F `  y
)  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) )
122 eleq1 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( F `  y
)  e.  x  <->  w  e.  x ) )
123 eleq1 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) )  <-> 
w  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) )
124122, 123imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( ( F `  y )  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) )  <->  ( w  e.  x  ->  w  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) ) )
125121, 124syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  /\  y  e.  s )  ->  (
( F `  y
)  =  w  -> 
( w  e.  x  ->  w  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) ) )
126125rexlimdva 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  ( E. y  e.  s 
( F `  y
)  =  w  -> 
( w  e.  x  ->  w  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) ) )
12794, 126syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  (
w  e.  ( F
" s )  -> 
( w  e.  x  ->  w  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) ) )
128127imp3a 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  (
( w  e.  ( F " s )  /\  w  e.  x
)  ->  w  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
12989, 128syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  (
w  e.  ( ( F " s )  i^i  x )  ->  w  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
130129adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( w  e.  ( ( F "
s )  i^i  x
)  ->  w  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
131130ssrdv 3299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( ( F
" s )  i^i  x )  C_  ( F " ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) )
132 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( F "
( z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t
)
133131, 132sstrd 3303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( ( F
" s )  i^i  x )  C_  t
)
134 filss 17808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( ( F "
s )  i^i  x
)  e.  L  /\  t  C_  X  /\  (
( F " s
)  i^i  x )  C_  t ) )  -> 
t  e.  L )
13568, 87, 88, 133, 134syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  t  e.  L
)
136135exp32 589 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L
)  ->  ( ( F " ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) 
C_  t  ->  (
t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) )
137 ineq2 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( `' F " x )  ->  (
z  i^i  w )  =  ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) )
138137imaeq2d 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  ( `' F " x )  ->  ( F " ( z  i^i  w ) )  =  ( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) ) )
139138sseq1d 3320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " (
z  i^i  w )
)  C_  t  <->  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t
) )
140139imbi1d 309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( `' F " x )  ->  (
( ( F "
( z  i^i  w
) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) )  <->  ( ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) 
C_  t  ->  (
t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
141136, 140syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L
)  ->  ( w  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " (
z  i^i  w )
)  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
142141rexlimdva 2775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  -> 
( E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
143142rexlimdvaa 2776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  B  s  C_  z  ->  ( E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) ) )
144143imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  E. s  e.  B  s  C_  z )  ->  ( E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x )  -> 
( ( F "
( z  i^i  w
) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
14567, 144syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( fi `  B ) )  ->  ( E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " (
z  i^i  w )
)  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
14665, 145sylbid 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( fi `  B ) )  ->  ( w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  ->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
147146impr 603 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( fi `  B
)  /\  w  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )  ->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) )
148 imaeq2 5141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( z  i^i  w )  ->  ( F " s )  =  ( F " (
z  i^i  w )
) )
149148sseq1d 3320 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( z  i^i  w )  ->  (
( F " s
)  C_  t  <->  ( F " ( z  i^i  w
) )  C_  t
) )
150149imbi1d 309 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( z  i^i  w )  ->  (
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) )  <->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
151147, 150syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( fi `  B
)  /\  w  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )  ->  ( s  =  ( z  i^i  w
)  ->  ( ( F " s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
152151rexlimdvva 2782 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( fi `  B
) E. w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) s  =  ( z  i^i  w )  -> 
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
15351, 59, 1523jaod 1248 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( fi `  B
)  \/  s  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  \/  E. z  e.  ( fi `  B
) E. w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) s  =  ( z  i^i  w ) )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
15449, 153sylbid 207 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  -> 
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
155154rexlimdv 2774 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t  ->  (
t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) )
156155com23 74 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  C_  X  ->  ( E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t  ->  t  e.  L ) ) )
157156imp3a 421 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t )  -> 
t  e.  L ) )
15847, 157impbid 184 1  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  <->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ( F "
s )  C_  t
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    \/ w3o 935    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2652   _Vcvv 2901    u. cun 3263    i^i cin 3264    C_ wss 3265    e. cmpt 4209   `'ccnv 4819   dom cdm 4820   ran crn 4821   "cima 4823   Fun wfun 5390   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   ficfi 7352   fBascfbas 16617   filGencfg 16618   Filcfil 17800    FilMap cfm 17888
This theorem is referenced by:  fmfnfm  17913
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-en 7048  df-fin 7051  df-fi 7353  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-fil 17801  df-fm 17893
  Copyright terms: Public domain W3C validator