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Theorem fmfnfmlem4 17994
Description: Lemma for fmfnfm 17995. (Contributed by Jeff Hankins, 19-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmfnfm.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( fBas `  Y ) )
fmfnfm.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
fmfnfm.f  |-  ( ph  ->  F : Y --> X )
fmfnfm.fm  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) 
C_  L )
Assertion
Ref Expression
fmfnfmlem4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  <->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ( F "
s )  C_  t
) ) )
Distinct variable groups:    t, s, x, B    F, s, t, x    L, s, t, x    ph, s, t, x    X, s, t, x    Y, s, t, x

Proof of Theorem fmfnfmlem4
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmfnfm.l . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
2 filelss 17889 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  t  e.  L )  ->  t  C_  X )
32ex 425 . . . 4  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( t  e.  L  ->  t  C_  X ) )
41, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  ->  t  C_  X )
)
5 fmfnfm.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  ( fBas `  Y ) )
6 mptexg 5968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e.  _V )
7 rnexg 5134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e.  _V  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e. 
_V )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e.  _V )
91, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e. 
_V )
10 unexg 4713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e. 
_V )  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  _V )
115, 9, 10syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  e.  _V )
12 ssfii 7427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  u.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  _V  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) 
C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )
1312unssbd 3527 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  u.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  _V  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )
1411, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )
1514adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )
16 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " t )  =  ( `' F " t )
17 imaeq2 5202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  t  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " t ) )
1817eqeq2d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  t  ->  (
( `' F "
t )  =  ( `' F " x )  <-> 
( `' F "
t )  =  ( `' F " t ) ) )
1918rspcev 3054 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  L  /\  ( `' F " t )  =  ( `' F " t ) )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F " x ) )
2016, 19mpan2 654 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  L  ->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) )
2120adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) )
22 elfvdm 5760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  Y  e.  dom  fBas )
235, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  dom  fBas )
24 cnvimass 5227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F " t ) 
C_  dom  F
25 fmfnfm.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : Y --> X )
26 fdm 5598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y --> X  ->  dom  F  =  Y )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  F  =  Y )
2824, 27syl5sseq 3398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' F "
t )  C_  Y
)
2923, 28ssexd 4353 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' F "
t )  e.  _V )
3029adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ( `' F " t )  e.  _V )
31 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  =  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )
3231elrnmpt 5120 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F " t )  e.  _V  ->  (
( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) ) )
3330, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  (
( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) ) )
3421, 33mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ( `' F " t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )
3515, 34sseldd 3351 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ( `' F " t )  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )
36 ffun 5596 . . . . . . . 8  |-  ( F : Y --> X  ->  Fun  F )
37 ssid 3369 . . . . . . . 8  |-  ( `' F " t ) 
C_  ( `' F " t )
38 funimass2 5530 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  ( `' F " t ) 
C_  ( `' F " t ) )  -> 
( F " ( `' F " t ) )  C_  t )
3936, 37, 38sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( F : Y --> X  -> 
( F " ( `' F " t ) )  C_  t )
4025, 39syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F " ( `' F " t ) )  C_  t )
4140adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ( F " ( `' F " t ) )  C_  t )
42 imaeq2 5202 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( `' F " t )  ->  ( F " s )  =  ( F " ( `' F " t ) ) )
4342sseq1d 3377 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( `' F " t )  ->  (
( F " s
)  C_  t  <->  ( F " ( `' F "
t ) )  C_  t ) )
4443rspcev 3054 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
t )  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  /\  ( F " ( `' F " t ) )  C_  t )  ->  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t )
4535, 41, 44syl2anc 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t )
4645ex 425 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  ->  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t ) )
474, 46jcad 521 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  ->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
48 elfiun 7438 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e. 
_V )  ->  (
s  e.  ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )  <->  ( s  e.  ( fi `  B
)  \/  s  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  \/  E. z  e.  ( fi `  B
) E. w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) s  =  ( z  i^i  w ) ) ) )
495, 9, 48syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  <->  ( s  e.  ( fi `  B
)  \/  s  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  \/  E. z  e.  ( fi `  B
) E. w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) s  =  ( z  i^i  w ) ) ) )
50 fmfnfm.fm . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) 
C_  L )
515, 1, 25, 50fmfnfmlem1 17991 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  B )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
525, 1, 25, 50fmfnfmlem3 17993 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  =  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )
5352eleq2d 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  <->  s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )
54 vex 2961 . . . . . . . . . 10  |-  s  e. 
_V
5531elrnmpt 5120 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x ) ) )
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x ) )
575, 1, 25, 50fmfnfmlem2 17992 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
5856, 57syl5bi 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  -> 
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
5953, 58sylbid 208 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  ->  (
( F " s
)  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
6052eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  <->  w  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )
61 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  w  e. 
_V
6231elrnmpt 5120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x ) ) )
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x ) )
6460, 63syl6bb 254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  <->  E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x ) ) )
6564adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( fi `  B ) )  ->  ( w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  <->  E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x ) ) )
66 fbssfi 17874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  z  e.  ( fi `  B
) )  ->  E. s  e.  B  s  C_  z )
675, 66sylan 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( fi `  B ) )  ->  E. s  e.  B  s  C_  z )
681ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
691adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
7050adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 B )  C_  L )
71 filtop 17892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  L )
721, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  X  e.  L )
7372, 5, 253jca 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X ) )
7473adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X ) )
75 ssfg 17909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  ( Y filGen B ) )
765, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Y filGen B ) )
7776sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  e.  ( Y filGen B ) )
78 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Y
filGen B )  =  ( Y filGen B )
7978imaelfm 17988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  s  e.  ( Y filGen B ) )  ->  ( F "
s )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B ) )
8074, 77, 79syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( F " s )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) )
8170, 80sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( F " s )  e.  L )
8281adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  -> 
( F " s
)  e.  L )
8369, 82jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  -> 
( L  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F "
s )  e.  L
) )
84 filin 17891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F " s )  e.  L  /\  x  e.  L )  ->  (
( F " s
)  i^i  x )  e.  L )
85843expa 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F "
s )  e.  L
)  /\  x  e.  L )  ->  (
( F " s
)  i^i  x )  e.  L )
8683, 85sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L
)  ->  ( ( F " s )  i^i  x )  e.  L
)
8786adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( ( F
" s )  i^i  x )  e.  L
)
88 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  t  C_  X
)
89 elin 3532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  ( ( F
" s )  i^i  x )  <->  ( w  e.  ( F " s
)  /\  w  e.  x ) )
9025, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  Fun  F )
91 fvelima 5781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Fun  F  /\  w  e.  ( F " s
) )  ->  E. y  e.  s  ( F `  y )  =  w )
9291ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( Fun 
F  ->  ( w  e.  ( F " s
)  ->  E. y  e.  s  ( F `  y )  =  w ) )
9390, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( F " s )  ->  E. y  e.  s  ( F `  y
)  =  w ) )
9493ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  (
w  e.  ( F
" s )  ->  E. y  e.  s 
( F `  y
)  =  w ) )
9590ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  ->  Fun  F )
96 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L
)  ->  s  C_  z )
97 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) )  ->  y  e.  s )
98 ssel2 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( s  C_  z  /\  y  e.  s )  ->  y  e.  z )
9996, 97, 98syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  -> 
y  e.  z )
10090ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  y  e.  s )  ->  Fun  F )
101 fbelss 17870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  s  e.  B )  ->  s  C_  Y )
1025, 101sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  C_  Y )
10327adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  dom  F  =  Y )
104102, 103sseqtr4d 3387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  C_ 
dom  F )
105104adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  -> 
s  C_  dom  F )
106105sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  y  e.  s )  ->  y  e.  dom  F )
107 fvimacnv 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  y )  e.  x  <->  y  e.  ( `' F " x ) ) )
108100, 106, 107syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  y  e.  s )  ->  ( ( F `  y )  e.  x  <->  y  e.  ( `' F " x ) ) )
109108biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  y  e.  s )  ->  ( ( F `  y )  e.  x  ->  y  e.  ( `' F "
x ) ) )
110109impr 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `
 y )  e.  x ) )  -> 
y  e.  ( `' F " x ) )
111110ad2ant2rl 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  -> 
y  e.  ( `' F " x ) )
112 elin 3532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( y  e.  ( z  i^i  ( `' F "
x ) )  <->  ( y  e.  z  /\  y  e.  ( `' F "
x ) ) )
11399, 111, 112sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  -> 
y  e.  ( z  i^i  ( `' F " x ) ) )
114 inss2 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( z  i^i  ( `' F " x ) )  C_  ( `' F " x )
115 cnvimass 5227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
116114, 115sstri 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  i^i  ( `' F " x ) )  C_  dom  F
117 funfvima2 5977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Fun  F  /\  (
z  i^i  ( `' F " x ) ) 
C_  dom  F )  ->  ( y  e.  ( z  i^i  ( `' F " x ) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
118116, 117mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( Fun 
F  ->  ( y  e.  ( z  i^i  ( `' F " x ) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
11995, 113, 118sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  -> 
( F `  y
)  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) )
120119anassrs 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  /\  (
y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x ) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) )
121120expr 600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  /\  y  e.  s )  ->  (
( F `  y
)  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) )
122 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( F `  y
)  e.  x  <->  w  e.  x ) )
123 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) )  <-> 
w  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) )
124122, 123imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( ( F `  y )  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) )  <->  ( w  e.  x  ->  w  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) ) )
125121, 124syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  /\  y  e.  s )  ->  (
( F `  y
)  =  w  -> 
( w  e.  x  ->  w  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) ) )
126125rexlimdva 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  ( E. y  e.  s 
( F `  y
)  =  w  -> 
( w  e.  x  ->  w  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) ) )
12794, 126syld 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  (
w  e.  ( F
" s )  -> 
( w  e.  x  ->  w  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) ) )
128127imp3a 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  (
( w  e.  ( F " s )  /\  w  e.  x
)  ->  w  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
12989, 128syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  (
w  e.  ( ( F " s )  i^i  x )  ->  w  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
130129adantrl 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( w  e.  ( ( F "
s )  i^i  x
)  ->  w  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
131130ssrdv 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( ( F
" s )  i^i  x )  C_  ( F " ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) )
132 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( F "
( z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t
)
133131, 132sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( ( F
" s )  i^i  x )  C_  t
)
134 filss 17890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( ( F "
s )  i^i  x
)  e.  L  /\  t  C_  X  /\  (
( F " s
)  i^i  x )  C_  t ) )  -> 
t  e.  L )
13568, 87, 88, 133, 134syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  t  e.  L
)
136135exp32 590 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L
)  ->  ( ( F " ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) 
C_  t  ->  (
t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) )
137 ineq2 3538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( `' F " x )  ->  (
z  i^i  w )  =  ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) )
138137imaeq2d 5206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  ( `' F " x )  ->  ( F " ( z  i^i  w ) )  =  ( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) ) )
139138sseq1d 3377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " (
z  i^i  w )
)  C_  t  <->  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t
) )
140139imbi1d 310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( `' F " x )  ->  (
( ( F "
( z  i^i  w
) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) )  <->  ( ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) 
C_  t  ->  (
t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
141136, 140syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L
)  ->  ( w  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " (
z  i^i  w )
)  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
142141rexlimdva 2832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  -> 
( E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
143142rexlimdvaa 2833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  B  s  C_  z  ->  ( E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) ) )
144143imp 420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  E. s  e.  B  s  C_  z )  ->  ( E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x )  -> 
( ( F "
( z  i^i  w
) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
14567, 144syldan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( fi `  B ) )  ->  ( E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " (
z  i^i  w )
)  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
14665, 145sylbid 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( fi `  B ) )  ->  ( w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  ->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
147146impr 604 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( fi `  B
)  /\  w  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )  ->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) )
148 imaeq2 5202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( z  i^i  w )  ->  ( F " s )  =  ( F " (
z  i^i  w )
) )
149148sseq1d 3377 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( z  i^i  w )  ->  (
( F " s
)  C_  t  <->  ( F " ( z  i^i  w
) )  C_  t
) )
150149imbi1d 310 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( z  i^i  w )  ->  (
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) )  <->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
151147, 150syl5ibrcom 215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( fi `  B
)  /\  w  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )  ->  ( s  =  ( z  i^i  w
)  ->  ( ( F " s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
152151rexlimdvva 2839 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( fi `  B
) E. w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) s  =  ( z  i^i  w )  -> 
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
15351, 59, 1523jaod 1249 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( fi `  B
)  \/  s  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  \/  E. z  e.  ( fi `  B
) E. w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) s  =  ( z  i^i  w ) )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
15449, 153sylbid 208 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  -> 
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
155154rexlimdv 2831 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t  ->  (
t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) )
156155com23 75 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  C_  X  ->  ( E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t  ->  t  e.  L ) ) )
157156imp3a 422 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t )  -> 
t  e.  L ) )
15847, 157impbid 185 1  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  <->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ( F "
s )  C_  t
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    \/ w3o 936    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322    e. cmpt 4269   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   ran crn 4882   "cima 4884   Fun wfun 5451   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   ficfi 7418   fBascfbas 16694   filGencfg 16695   Filcfil 17882    FilMap cfm 17970
This theorem is referenced by:  fmfnfm  17995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-fin 7116  df-fi 7419  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-fil 17883  df-fm 17975
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