MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmpt Structured version   Unicode version

Theorem fmpt 5882
Description: Functionality of the mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fmpt.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  C )
Assertion
Ref Expression
fmpt  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  <->  F : A --> B )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    C( x)    F( x)

Proof of Theorem fmpt
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmpt.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  C )
21fnmpt 5563 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  ->  F  Fn  A )
31rnmpt 5108 . . . 4  |-  ran  F  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  C }
4 r19.29 2838 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  E. x  e.  A  y  =  C )  ->  E. x  e.  A  ( C  e.  B  /\  y  =  C
) )
5 eleq1 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  C  ->  (
y  e.  B  <->  C  e.  B ) )
65biimparc 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  B  /\  y  =  C )  ->  y  e.  B )
76rexlimivw 2818 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  ( C  e.  B  /\  y  =  C )  ->  y  e.  B )
84, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  E. x  e.  A  y  =  C )  -> 
y  e.  B )
98ex 424 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  ->  ( E. x  e.  A  y  =  C  ->  y  e.  B ) )
109abssdv 3409 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  C }  C_  B )
113, 10syl5eqss 3384 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  ->  ran  F  C_  B )
12 df-f 5450 . . 3  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  Fn  A  /\  ran  F  C_  B ) )
132, 11, 12sylanbrc 646 . 2  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  ->  F : A
--> B )
141mptpreima 5355 . . . 4  |-  ( `' F " B )  =  { x  e.  A  |  C  e.  B }
15 fimacnv 5854 . . . 4  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' F " B )  =  A )
1614, 15syl5reqr 2482 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  A  =  { x  e.  A  |  C  e.  B } )
17 rabid2 2877 . . 3  |-  ( A  =  { x  e.  A  |  C  e.  B }  <->  A. x  e.  A  C  e.  B )
1816, 17sylib 189 . 2  |-  ( F : A --> B  ->  A. x  e.  A  C  e.  B )
1913, 18impbii 181 1  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  <->  F : A --> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701    C_ wss 3312    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869   ran crn 4871   "cima 4873    Fn wfn 5441   -->wf 5442
This theorem is referenced by:  f1ompt  5883  fmpti  5884  fmptd  5885  rnmptss  5889  idref  5971  f1mpt  5999  f1stres  6360  f2ndres  6361  fmpt2x  6409  fmpt2co  6422  iunon  6592  iinon  6594  onoviun  6597  onnseq  6598  mptelixpg  7091  dom2lem  7139  iinfi  7414  cantnfrescl  7624  acni2  7919  acnlem  7921  dfac4  7995  dfacacn  8013  fin23lem28  8212  axdc2lem  8320  axcclem  8329  ac6num  8351  uzf  10483  rlim2  12282  rlimi  12299  rlimmptrcl  12393  lo1mptrcl  12407  o1mptrcl  12408  o1fsum  12584  ackbijnn  12599  pcmptcl  13252  vdwlem11  13351  ismon2  13952  isepi2  13959  yonedalem3b  14368  efgsf  15353  gsummhm2  15527  gsumcom2  15541  issrngd  15941  psrass1lem  16434  subrgasclcl  16551  ipcl  16856  iinopn  16967  tgiun  17036  ordtrest2  17260  iscnp2  17295  discmp  17453  2ndcdisj  17511  ptunimpt  17619  pttopon  17620  txcnp  17644  ptcnplem  17645  ptcnp  17646  upxp  17647  ptcn  17651  txdis1cn  17659  cnmpt11  17687  cnmpt1t  17689  cnmpt12  17691  cnmpt21  17695  cnmptkp  17704  cnmptk1  17705  cnmpt1k  17706  cnmptkk  17707  cnmptk1p  17709  cnmptk2  17710  qtopeu  17740  uzrest  17921  txflf  18030  cnmpt1plusg  18109  clsnsg  18131  tgpconcomp  18134  tsmsf1o  18166  cnmpt1vsca  18215  prdsmet  18392  cnmpt1ds  18865  fsumcn  18892  cncfmpt1f  18935  cncfmpt2ss  18937  iccpnfcnv  18961  lebnumlem1  18978  copco  19035  pcoass  19041  cnmpt1ip  19193  bcth3  19276  voliun  19440  mbfmptcl  19521  i1f1lem  19573  i1fposd  19591  iblcnlem  19672  itgss3  19698  limcvallem  19750  ellimc2  19756  cnmptlimc  19769  dvmptcl  19837  dvmptco  19850  dvle  19883  dvfsumle  19897  dvfsumge  19898  dvfsumabs  19899  dvmptrecl  19900  dvfsumlem2  19903  itgparts  19923  itgsubstlem  19924  itgsubst  19925  evl1sca  19942  ulmss  20305  ulmdvlem2  20309  itgulm2  20317  sincn  20352  coscn  20353  logtayl  20543  rlimcxp  20804  harmonicbnd  20834  harmonicbnd2  20835  sqff1o  20957  lgseisenlem3  21127  fargshiftf  21615  fmptdF  24061  0rrv  24701  lgamgulmlem6  24810  subfacf  24853  tailf  26395  sdclem2  26437  fdc  26440  heiborlem5  26515  elrfirn2  26741  mptfcl  26768  mzpexpmpt  26793  mzpsubst  26796  rabdiophlem1  26852  rabdiophlem2  26853  pw2f1ocnv  27099  frlmgsum  27200  uvcresum  27210  refsumcn  27668  fmptdf  27685
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454
  Copyright terms: Public domain W3C validator