MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmpt2 Unicode version

Theorem fmpt2 6207
Description: Functionality, domain and range of a class given by the "maps to" notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
fmpt2.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
Assertion
Ref Expression
fmpt2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  D  <->  F : ( A  X.  B ) --> D )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, D, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem fmpt2
StepHypRef Expression
1 fmpt2.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
21fmpt2x 6206 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  D  <->  F : U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
) --> D )
3 iunxpconst 4762 . . 3  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
)  =  ( A  X.  B )
43feq2i 5400 . 2  |-  ( F : U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B ) --> D  <-> 
F : ( A  X.  B ) --> D )
52, 4bitri 240 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  D  <->  F : ( A  X.  B ) --> D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {csn 3653   U_ciun 3921    X. cxp 4703   -->wf 5267    e. cmpt2 5876
This theorem is referenced by:  fnmpt2  6208  fmpt2co  6218  eroprf  6772  omxpenlem  6979  mapxpen  7043  dffi3  7200  ixpiunwdom  7321  cantnfvalf  7382  iunfictbso  7757  axdc4lem  8097  axcclem  8099  addpqf  8584  mulpqf  8586  subf  9069  xaddf  10567  xmulf  10608  ixxf  10682  ioof  10757  fzf  10802  fzof  10888  axdc4uzlem  11060  sadcf  12660  smupf  12685  gcdf  12714  eucalgf  12769  vdwapf  13035  prdsval  13371  prdsplusg  13374  prdsmulr  13375  prdsvsca  13376  prdsds  13379  prdshom  13382  imasvscaf  13457  xpsff1o  13486  wunnat  13846  catcoppccl  13956  catcfuccl  13957  catcxpccl  13997  evlfcl  14012  hofcl  14049  plusffval  14395  mndplusf  14399  grpsubf  14561  subgga  14770  lactghmga  14800  sylow1lem2  14926  sylow3lem1  14954  lsmssv  14970  lsmidm  14989  efgmf  15038  efgtf  15047  frgpuptf  15095  scaffval  15661  lmodscaf  15665  evlslem2  16265  xrsds  16430  ipffval  16568  phlipf  16572  ordtbas2  16937  iccordt  16960  txuni2  17276  xkotf  17296  txbasval  17317  tx1stc  17360  xkococn  17370  cnmpt12  17377  cnmpt21  17381  cnmpt2t  17383  cnmpt22  17384  cnmptcom  17388  cnmpt2k  17398  txswaphmeo  17512  xpstopnlem1  17516  cnmpt2plusg  17787  cnmpt2vsca  17893  prdsdsf  17947  blfval  17963  blf  17977  stdbdmet  18078  met2ndci  18084  dscmet  18111  xrsxmet  18331  cnmpt2ds  18364  cnmpt2pc  18442  iimulcn  18452  ishtpy  18486  reparphti  18511  cnmpt2ip  18691  bcthlem5  18766  dyadf  18962  itg1addlem2  19068  mbfi1fseqlem1  19086  mbfi1fseqlem3  19088  mbfi1fseqlem4  19089  mbfi1fseqlem5  19090  cxpcn3  20104  sgmf  20399  grpodivf  20929  nvmf  21220  ipf  21305  hvsubf  21611  ofoprabco  23247  cvxscon  23789  cvmlift2lem5  23853  hmeogrpi  25639  sigadd  25752  fnmulcv  25787  sdclem1  26556  metf1o  26572  rrnval  26654  rrnmet  26656  frmx  27101  frmy  27102  mamucl  27559  mamudiagcl  27560
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139
  Copyright terms: Public domain W3C validator