MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmptap Unicode version

Theorem fmptap 5710
Description: Append an additional value to a function. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptap.0a  |-  A  e. 
_V
fmptap.0b  |-  B  e. 
_V
fmptap.1  |-  ( R  u.  { A }
)  =  S
fmptap.2  |-  ( x  =  A  ->  C  =  B )
Assertion
Ref Expression
fmptap  |-  ( ( x  e.  R  |->  C )  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( x  e.  S  |->  C )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, R    x, S
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem fmptap
StepHypRef Expression
1 fmptap.0a . . . . 5  |-  A  e. 
_V
2 fmptap.0b . . . . 5  |-  B  e. 
_V
3 fmptsn 5709 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  { <. A ,  B >. }  =  ( x  e.  { A }  |->  B ) )
41, 2, 3mp2an 653 . . . 4  |-  { <. A ,  B >. }  =  ( x  e.  { A }  |->  B )
5 elsni 3664 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
6 fmptap.2 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  C  =  B )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( x  e.  { A }  ->  C  =  B )
87mpteq2ia 4102 . . . 4  |-  ( x  e.  { A }  |->  C )  =  ( x  e.  { A }  |->  B )
94, 8eqtr4i 2306 . . 3  |-  { <. A ,  B >. }  =  ( x  e.  { A }  |->  C )
109uneq2i 3326 . 2  |-  ( ( x  e.  R  |->  C )  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( ( x  e.  R  |->  C )  u.  ( x  e. 
{ A }  |->  C ) )
11 mptun 5374 . 2  |-  ( x  e.  ( R  u.  { A } )  |->  C )  =  ( ( x  e.  R  |->  C )  u.  ( x  e.  { A }  |->  C ) )
12 fmptap.1 . . 3  |-  ( R  u.  { A }
)  =  S
13 mpteq1 4100 . . 3  |-  ( ( R  u.  { A } )  =  S  ->  ( x  e.  ( R  u.  { A } )  |->  C )  =  ( x  e.  S  |->  C ) )
1412, 13ax-mp 8 . 2  |-  ( x  e.  ( R  u.  { A } )  |->  C )  =  ( x  e.  S  |->  C )
1510, 11, 143eqtr2i 2309 1  |-  ( ( x  e.  R  |->  C )  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( x  e.  S  |->  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    u. cun 3150   {csn 3640   <.cop 3643    e. cmpt 4077
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262
  Copyright terms: Public domain W3C validator