MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmptap Unicode version

Theorem fmptap 5862
Description: Append an additional value to a function. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptap.0a  |-  A  e. 
_V
fmptap.0b  |-  B  e. 
_V
fmptap.1  |-  ( R  u.  { A }
)  =  S
fmptap.2  |-  ( x  =  A  ->  C  =  B )
Assertion
Ref Expression
fmptap  |-  ( ( x  e.  R  |->  C )  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( x  e.  S  |->  C )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, R    x, S
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem fmptap
StepHypRef Expression
1 fmptap.0a . . . . 5  |-  A  e. 
_V
2 fmptap.0b . . . . 5  |-  B  e. 
_V
3 fmptsn 5861 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  { <. A ,  B >. }  =  ( x  e.  { A }  |->  B ) )
41, 2, 3mp2an 654 . . . 4  |-  { <. A ,  B >. }  =  ( x  e.  { A }  |->  B )
5 elsni 3781 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
6 fmptap.2 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  C  =  B )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  { A }  ->  C  =  B )
87mpteq2ia 4232 . . . 4  |-  ( x  e.  { A }  |->  C )  =  ( x  e.  { A }  |->  B )
94, 8eqtr4i 2410 . . 3  |-  { <. A ,  B >. }  =  ( x  e.  { A }  |->  C )
109uneq2i 3441 . 2  |-  ( ( x  e.  R  |->  C )  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( ( x  e.  R  |->  C )  u.  ( x  e. 
{ A }  |->  C ) )
11 mptun 5515 . 2  |-  ( x  e.  ( R  u.  { A } )  |->  C )  =  ( ( x  e.  R  |->  C )  u.  ( x  e.  { A }  |->  C ) )
12 fmptap.1 . . 3  |-  ( R  u.  { A }
)  =  S
13 mpteq1 4230 . . 3  |-  ( ( R  u.  { A } )  =  S  ->  ( x  e.  ( R  u.  { A } )  |->  C )  =  ( x  e.  S  |->  C ) )
1412, 13ax-mp 8 . 2  |-  ( x  e.  ( R  u.  { A } )  |->  C )  =  ( x  e.  S  |->  C )
1510, 11, 143eqtr2i 2413 1  |-  ( ( x  e.  R  |->  C )  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( x  e.  S  |->  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899    u. cun 3261   {csn 3757   <.cop 3760    e. cmpt 4207
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pr 4344
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401
  Copyright terms: Public domain W3C validator