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Theorem fmptcof2 24037
Description: Composition of two functions expressed as ordered-pair class abstractions. (Contributed by FL, 21-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 10-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptcof2.1  |-  F/_ x A
fmptcof2.2  |-  F/_ x B
fmptcof2.3  |-  F/ x ph
fmptcof2.4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  R  e.  B )
fmptcof2.5  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  R ) )
fmptcof2.6  |-  ( ph  ->  G  =  ( y  e.  B  |->  S ) )
fmptcof2.7  |-  ( y  =  R  ->  S  =  T )
Assertion
Ref Expression
fmptcof2  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  =  ( x  e.  A  |->  T ) )
Distinct variable groups:    x, y    y, B    y, R    x, S    y, T
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x, y)    B( x)    R( x)    S( y)    T( x)    F( x, y)    G( x, y)

Proof of Theorem fmptcof2
Dummy variables  v  u  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 5335 . 2  |-  Rel  ( G  o.  F )
2 funmpt 5456 . . 3  |-  Fun  (
x  e.  A  |->  T )
3 funrel 5438 . . 3  |-  ( Fun  ( x  e.  A  |->  T )  ->  Rel  ( x  e.  A  |->  T ) )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  Rel  (
x  e.  A  |->  T )
5 fmptcof2.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x ph
6 fmptcof2.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x A
7 fmptcof2.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x B
8 fmptcof2.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  R  e.  B )
98r19.21bi 2772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  B )
10 eqid 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R )
115, 6, 7, 9, 10fmptdF 24030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> B )
12 fmptcof2.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  R ) )
1312feq1d 5547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F : A --> B 
<->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> B ) )
1411, 13mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
15 ffun 5560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Fun  F )
17 funbrfv 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  ( z F u  ->  ( F `
 z )  =  u ) )
1817imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  z F u )  -> 
( F `  z
)  =  u )
1916, 18sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z F u )  ->  ( F `  z )  =  u )
2019eqcomd 2417 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z F u )  ->  u  =  ( F `  z ) )
2120a1d 23 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z F u )  ->  (
u G w  ->  u  =  ( F `  z ) ) )
2221expimpd 587 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( z F u  /\  u G w )  ->  u  =  ( F `  z ) ) )
2322pm4.71rd 617 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z F u  /\  u G w )  <->  ( u  =  ( F `  z )  /\  (
z F u  /\  u G w ) ) ) )
2423exbidv 1633 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. u ( z F u  /\  u G w )  <->  E. u
( u  =  ( F `  z )  /\  ( z F u  /\  u G w ) ) ) )
25 fvex 5709 . . . . . 6  |-  ( F `
 z )  e. 
_V
26 breq2 4184 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  (
z F u  <->  z F
( F `  z
) ) )
27 breq1 4183 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  (
u G w  <->  ( F `  z ) G w ) )
2826, 27anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  (
( z F u  /\  u G w )  <->  ( z F ( F `  z
)  /\  ( F `  z ) G w ) ) )
2925, 28ceqsexv 2959 . . . . 5  |-  ( E. u ( u  =  ( F `  z
)  /\  ( z F u  /\  u G w ) )  <-> 
( z F ( F `  z )  /\  ( F `  z ) G w ) )
30 funfvbrb 5810 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  dom  F  <->  z F
( F `  z
) ) )
3116, 30syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( z  e.  dom  F  <-> 
z F ( F `
 z ) ) )
32 fdm 5562 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
3314, 32syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
3433eleq2d 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( z  e.  dom  F  <-> 
z  e.  A ) )
3531, 34bitr3d 247 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z F ( F `  z )  <-> 
z  e.  A ) )
3612fveq1d 5697 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  z
)  =  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) )
37 fmptcof2.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  =  ( y  e.  B  |->  S ) )
38 eqidd 2413 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  w  =  w )
3936, 37, 38breq123d 4194 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  z ) G w  <-> 
( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w ) )
4035, 39anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( z F ( F `  z
)  /\  ( F `  z ) G w )  <->  ( z  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w ) ) )
416nfcri 2542 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  z  e.  A
42 nffvmpt1 5703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  R ) `  z )
43 nfcv 2548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x S
447, 43nfmpt 4265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( y  e.  B  |->  S )
45 nfcv 2548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x w
4642, 44, 45nfbr 4224 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w
47 nfcsb1v 3251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ T
4847nfeq2 2559 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  w  =  [_ z  /  x ]_ T
4946, 48nfbi 1852 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T )
505, 49nfim 1828 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z
) ( y  e.  B  |->  S ) w  <-> 
w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
5141, 50nfim 1828 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( z  e.  A  ->  ( ph  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
52 eleq1 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  A  <->  z  e.  A ) )
53 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  R ) `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) )
5453breq1d 4190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 z ) ( y  e.  B  |->  S ) w ) )
55 csbeq1a 3227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  T  =  [_ z  /  x ]_ T )
5655eqeq2d 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
w  =  T  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
5754, 56bibi12d 313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  T )  <->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) `  z
) ( y  e.  B  |->  S ) w  <-> 
w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
5857imbi2d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  x
) ( y  e.  B  |->  S ) w  <-> 
w  =  T ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) ) )
5952, 58imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  ->  ( ph  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  T
) ) )  <->  ( z  e.  A  ->  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) ) ) )
60 vex 2927 . . . . . . . . . . . 12  |-  w  e. 
_V
61 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  y  =  R )
6261eleq1d 2478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  ( y  e.  B  <->  R  e.  B ) )
63 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  u  =  w )
64 fmptcof2.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  R  ->  S  =  T )
6564adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  S  =  T )
6663, 65eqeq12d 2426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  ( u  =  S  <-> 
w  =  T ) )
6762, 66anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  ( ( y  e.  B  /\  u  =  S )  <->  ( R  e.  B  /\  w  =  T ) ) )
68 df-mpt 4236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  B  |->  S )  =  { <. y ,  u >.  |  (
y  e.  B  /\  u  =  S ) }
6967, 68brabga 4437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  B  /\  w  e.  _V )  ->  ( R ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  ( R  e.  B  /\  w  =  T ) ) )
709, 60, 69sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R ( y  e.  B  |->  S ) w  <-> 
( R  e.  B  /\  w  =  T
) ) )
71 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
726fvmpt2f 24033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  R  e.  B )  ->  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  x )  =  R )
7371, 9, 72syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  R ) `  x
)  =  R )
7473breq1d 4190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  R ( y  e.  B  |->  S ) w ) )
759biantrurd 495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
w  =  T  <->  ( R  e.  B  /\  w  =  T ) ) )
7670, 74, 753bitr4d 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  T
) )
7776expcom 425 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  T ) ) )
7851, 59, 77chvar 2049 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  A  ->  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
7978impcom 420 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
8079pm5.32da 623 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w )  <-> 
( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
8140, 80bitrd 245 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z F ( F `  z
)  /\  ( F `  z ) G w )  <->  ( z  e.  A  /\  w  = 
[_ z  /  x ]_ T ) ) )
8229, 81syl5bb 249 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. u ( u  =  ( F `
 z )  /\  ( z F u  /\  u G w ) )  <->  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
8324, 82bitrd 245 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. u ( z F u  /\  u G w )  <->  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
84 vex 2927 . . . 4  |-  z  e. 
_V
8584, 60opelco 5011 . . 3  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( G  o.  F
)  <->  E. u ( z F u  /\  u G w ) )
86 df-mpt 4236 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  T )  =  { <. x ,  v >.  |  ( x  e.  A  /\  v  =  T ) }
8786eleq2i 2476 . . . 4  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( x  e.  A  |->  T )  <->  <. z ,  w >.  e.  { <. x ,  v >.  |  ( x  e.  A  /\  v  =  T ) } )
8847nfeq2 2559 . . . . . 6  |-  F/ x  v  =  [_ z  /  x ]_ T
8941, 88nfan 1842 . . . . 5  |-  F/ x
( z  e.  A  /\  v  =  [_ z  /  x ]_ T )
90 nfv 1626 . . . . 5  |-  F/ v ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T )
9155eqeq2d 2423 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
v  =  T  <->  v  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
9252, 91anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  /\  v  =  T
)  <->  ( z  e.  A  /\  v  = 
[_ z  /  x ]_ T ) ) )
93 eqeq1 2418 . . . . . 6  |-  ( v  =  w  ->  (
v  =  [_ z  /  x ]_ T  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
9493anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( v  =  w  ->  (
( z  e.  A  /\  v  =  [_ z  /  x ]_ T )  <-> 
( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
9589, 90, 84, 60, 92, 94opelopabf 4447 . . . 4  |-  ( <.
z ,  w >.  e. 
{ <. x ,  v
>.  |  ( x  e.  A  /\  v  =  T ) }  <->  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
9687, 95bitri 241 . . 3  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( x  e.  A  |->  T )  <->  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
9783, 85, 963bitr4g 280 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. z ,  w >.  e.  ( G  o.  F )  <->  <. z ,  w >.  e.  (
x  e.  A  |->  T ) ) )
981, 4, 97eqrelrdv 4939 1  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  =  ( x  e.  A  |->  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1721   F/_wnfc 2535   A.wral 2674   _Vcvv 2924   [_csb 3219   <.cop 3785   class class class wbr 4180   {copab 4233    e. cmpt 4234   dom cdm 4845    o. ccom 4849   Rel wrel 4850   Fun wfun 5415   -->wf 5417   ` cfv 5421
This theorem is referenced by:  esumf1o  24406
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pr 4371
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-fv 5429
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