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Theorem fmptcof2 23231
Description: Composition of two functions expressed as ordered-pair class abstractions. (Contributed by FL, 21-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 10-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptcof2.1  |-  F/_ x A
fmptcof2.2  |-  F/_ x B
fmptcof2.3  |-  F/ x ph
fmptcof2.4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  R  e.  B )
fmptcof2.5  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  R ) )
fmptcof2.6  |-  ( ph  ->  G  =  ( y  e.  B  |->  S ) )
fmptcof2.7  |-  ( y  =  R  ->  S  =  T )
Assertion
Ref Expression
fmptcof2  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  =  ( x  e.  A  |->  T ) )
Distinct variable groups:    x, y    y, B    y, R    x, S    y, T
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x, y)    B( x)    R( x)    S( y)    T( x)    F( x, y)    G( x, y)

Proof of Theorem fmptcof2
Dummy variables  v  u  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 5173 . 2  |-  Rel  ( G  o.  F )
2 funmpt 5292 . . 3  |-  Fun  (
x  e.  A  |->  T )
3 funrel 5274 . . 3  |-  ( Fun  ( x  e.  A  |->  T )  ->  Rel  ( x  e.  A  |->  T ) )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  Rel  (
x  e.  A  |->  T )
5 nfv 1607 . . . . 5  |-  F/ u ph
6 fmptcof2.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x ph
7 fmptcof2.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x A
8 fmptcof2.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x B
9 fmptcof2.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  R  e.  B )
109r19.21bi 2643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  B )
11 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R )
126, 7, 8, 10, 11fmptdF 23223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> B )
13 fmptcof2.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  R ) )
1413feq1d 5381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F : A --> B 
<->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> B ) )
1512, 14mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
16 ffun 5393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Fun  F )
18 funbrfv 5563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  ( z F u  ->  ( F `
 z )  =  u ) )
1918imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  z F u )  -> 
( F `  z
)  =  u )
2017, 19sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z F u )  ->  ( F `  z )  =  u )
2120eqcomd 2290 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z F u )  ->  u  =  ( F `  z ) )
2221a1d 22 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z F u )  ->  (
u G w  ->  u  =  ( F `  z ) ) )
2322expimpd 586 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( z F u  /\  u G w )  ->  u  =  ( F `  z ) ) )
2423pm4.71rd 616 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z F u  /\  u G w )  <->  ( u  =  ( F `  z )  /\  (
z F u  /\  u G w ) ) ) )
255, 24exbid 1755 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. u ( z F u  /\  u G w )  <->  E. u
( u  =  ( F `  z )  /\  ( z F u  /\  u G w ) ) ) )
26 fvex 5541 . . . . . 6  |-  ( F `
 z )  e. 
_V
27 breq2 4029 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  (
z F u  <->  z F
( F `  z
) ) )
28 breq1 4028 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  (
u G w  <->  ( F `  z ) G w ) )
2927, 28anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  (
( z F u  /\  u G w )  <->  ( z F ( F `  z
)  /\  ( F `  z ) G w ) ) )
3026, 29ceqsexv 2825 . . . . 5  |-  ( E. u ( u  =  ( F `  z
)  /\  ( z F u  /\  u G w ) )  <-> 
( z F ( F `  z )  /\  ( F `  z ) G w ) )
31 funfvbrb 5640 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  dom  F  <->  z F
( F `  z
) ) )
3217, 31syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( z  e.  dom  F  <-> 
z F ( F `
 z ) ) )
33 fdm 5395 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
3415, 33syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
3534eleq2d 2352 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( z  e.  dom  F  <-> 
z  e.  A ) )
3632, 35bitr3d 246 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z F ( F `  z )  <-> 
z  e.  A ) )
3713fveq1d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  z
)  =  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) )
38 fmptcof2.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  =  ( y  e.  B  |->  S ) )
39 eqidd 2286 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  w  =  w )
4037, 38, 39breq123d 4039 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  z ) G w  <-> 
( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w ) )
4136, 40anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( z F ( F `  z
)  /\  ( F `  z ) G w )  <->  ( z  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w ) ) )
42 nfcv 2421 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
z
4342, 7nfel 2429 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  z  e.  A
44 nfmpt1 4111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  R )
4544, 42nffv 5534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  R ) `  z )
46 nfcv 2421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x S
478, 46nfmpt 4110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( y  e.  B  |->  S )
48 nfcv 2421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x w
4945, 47, 48nfbr 4069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w
50 nfcsb1v 3115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ T
5150nfeq2 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x  w  =  [_ z  /  x ]_ T
5249, 51nfbi 1774 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T )
536, 52nfim 1771 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z
) ( y  e.  B  |->  S ) w  <-> 
w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
5443, 53nfim 1771 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( z  e.  A  ->  ( ph  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
55 eleq1 2345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  A  <->  z  e.  A ) )
56 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  R ) `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) )
5756breq1d 4035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 z ) ( y  e.  B  |->  S ) w ) )
58 csbeq1a 3091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  T  =  [_ z  /  x ]_ T )
5958eqeq2d 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
w  =  T  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
6057, 59bibi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  T )  <->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) `  z
) ( y  e.  B  |->  S ) w  <-> 
w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
6160imbi2d 307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  x
) ( y  e.  B  |->  S ) w  <-> 
w  =  T ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) ) )
6255, 61imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  ->  ( ph  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  T
) ) )  <->  ( z  e.  A  ->  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) ) ) )
63 vex 2793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  w  e. 
_V
64 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  y  =  R )
6564eleq1d 2351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  ( y  e.  B  <->  R  e.  B ) )
66 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  u  =  w )
67 fmptcof2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  R  ->  S  =  T )
6867adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  S  =  T )
6966, 68eqeq12d 2299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  ( u  =  S  <-> 
w  =  T ) )
7065, 69anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  ( ( y  e.  B  /\  u  =  S )  <->  ( R  e.  B  /\  w  =  T ) ) )
71 df-mpt 4081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  B  |->  S )  =  { <. y ,  u >.  |  (
y  e.  B  /\  u  =  S ) }
7270, 71brabga 4281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  B  /\  w  e.  _V )  ->  ( R ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  ( R  e.  B  /\  w  =  T ) ) )
7310, 63, 72sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R ( y  e.  B  |->  S ) w  <-> 
( R  e.  B  /\  w  =  T
) ) )
74 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
757fvmpt2f 23226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  R  e.  B )  ->  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  x )  =  R )
7674, 10, 75syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  R ) `  x
)  =  R )
7776breq1d 4035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  R ( y  e.  B  |->  S ) w ) )
7810biantrurd 494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
w  =  T  <->  ( R  e.  B  /\  w  =  T ) ) )
7973, 77, 783bitr4d 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  T
) )
8079expcom 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  T ) ) )
8142, 54, 62, 80vtoclgf 2844 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  (
z  e.  A  -> 
( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z
) ( y  e.  B  |->  S ) w  <-> 
w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) ) )
8281pm2.43i 43 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  A  ->  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
8382impcom 419 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
8483pm5.32da 622 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w )  <-> 
( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
8541, 84bitrd 244 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z F ( F `  z
)  /\  ( F `  z ) G w )  <->  ( z  e.  A  /\  w  = 
[_ z  /  x ]_ T ) ) )
8630, 85syl5bb 248 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. u ( u  =  ( F `
 z )  /\  ( z F u  /\  u G w ) )  <->  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
8725, 86bitrd 244 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. u ( z F u  /\  u G w )  <->  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
88 vex 2793 . . . 4  |-  z  e. 
_V
8988, 63opelco 4855 . . 3  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( G  o.  F
)  <->  E. u ( z F u  /\  u G w ) )
90 df-mpt 4081 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  T )  =  { <. x ,  v >.  |  ( x  e.  A  /\  v  =  T ) }
9190eleq2i 2349 . . . 4  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( x  e.  A  |->  T )  <->  <. z ,  w >.  e.  { <. x ,  v >.  |  ( x  e.  A  /\  v  =  T ) } )
9250nfeq2 2432 . . . . . 6  |-  F/ x  v  =  [_ z  /  x ]_ T
9343, 92nfan 1773 . . . . 5  |-  F/ x
( z  e.  A  /\  v  =  [_ z  /  x ]_ T )
94 nfv 1607 . . . . 5  |-  F/ v ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T )
9558eqeq2d 2296 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
v  =  T  <->  v  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
9655, 95anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  /\  v  =  T
)  <->  ( z  e.  A  /\  v  = 
[_ z  /  x ]_ T ) ) )
97 eqeq1 2291 . . . . . 6  |-  ( v  =  w  ->  (
v  =  [_ z  /  x ]_ T  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
9897anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( v  =  w  ->  (
( z  e.  A  /\  v  =  [_ z  /  x ]_ T )  <-> 
( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
9993, 94, 88, 63, 96, 98opelopabf 4291 . . . 4  |-  ( <.
z ,  w >.  e. 
{ <. x ,  v
>.  |  ( x  e.  A  /\  v  =  T ) }  <->  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
10091, 99bitri 240 . . 3  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( x  e.  A  |->  T )  <->  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
10187, 89, 1003bitr4g 279 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. z ,  w >.  e.  ( G  o.  F )  <->  <. z ,  w >.  e.  (
x  e.  A  |->  T ) ) )
1021, 4, 101eqrelrdv 4785 1  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  =  ( x  e.  A  |->  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1530   F/wnf 1533    = wceq 1625    e. wcel 1686   F/_wnfc 2408   A.wral 2545   _Vcvv 2790   [_csb 3083   <.cop 3645   class class class wbr 4025   {copab 4078    e. cmpt 4079   dom cdm 4691    o. ccom 4695   Rel wrel 4696   Fun wfun 5251   -->wf 5253   ` cfv 5257
This theorem is referenced by:  fcomptf  23232  esumf1o  23431
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-fv 5265
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