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Theorem fmptcof2 24078
 Description: Composition of two functions expressed as ordered-pair class abstractions. (Contributed by FL, 21-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 10-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptcof2.1
fmptcof2.2
fmptcof2.3
fmptcof2.4
fmptcof2.5
fmptcof2.6
fmptcof2.7
Assertion
Ref Expression
fmptcof2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()   ()   ()   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem fmptcof2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 5370 . 2
2 funmpt 5491 . . 3
3 funrel 5473 . . 3
42, 3ax-mp 8 . 2
5 fmptcof2.3 . . . . . . . . . . . . 13
6 fmptcof2.1 . . . . . . . . . . . . 13
7 fmptcof2.2 . . . . . . . . . . . . 13
8 fmptcof2.4 . . . . . . . . . . . . . 14
98r19.21bi 2806 . . . . . . . . . . . . 13
10 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13
115, 6, 7, 9, 10fmptdF 24071 . . . . . . . . . . . 12
12 fmptcof2.5 . . . . . . . . . . . . 13
1312feq1d 5582 . . . . . . . . . . . 12
1411, 13mpbird 225 . . . . . . . . . . 11
15 ffun 5595 . . . . . . . . . . 11
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . 10
17 funbrfv 5767 . . . . . . . . . . 11
1817imp 420 . . . . . . . . . 10
1916, 18sylan 459 . . . . . . . . 9
2019eqcomd 2443 . . . . . . . 8
2120a1d 24 . . . . . . 7
2221expimpd 588 . . . . . 6
2322pm4.71rd 618 . . . . 5
2423exbidv 1637 . . . 4
25 fvex 5744 . . . . . 6
26 breq2 4218 . . . . . . 7
27 breq1 4217 . . . . . . 7
2826, 27anbi12d 693 . . . . . 6
2925, 28ceqsexv 2993 . . . . 5
30 funfvbrb 5845 . . . . . . . . 9
3116, 30syl 16 . . . . . . . 8
32 fdm 5597 . . . . . . . . . 10
3314, 32syl 16 . . . . . . . . 9
3433eleq2d 2505 . . . . . . . 8
3531, 34bitr3d 248 . . . . . . 7
3612fveq1d 5732 . . . . . . . 8
37 fmptcof2.6 . . . . . . . 8
38 eqidd 2439 . . . . . . . 8
3936, 37, 38breq123d 4228 . . . . . . 7
4035, 39anbi12d 693 . . . . . 6
416nfcri 2568 . . . . . . . . . 10
42 nffvmpt1 5738 . . . . . . . . . . . . 13
43 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14
447, 43nfmpt 4299 . . . . . . . . . . . . 13
45 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13
4642, 44, 45nfbr 4258 . . . . . . . . . . . 12
47 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . . 13
4847nfeq2 2585 . . . . . . . . . . . 12
4946, 48nfbi 1857 . . . . . . . . . . 11
505, 49nfim 1833 . . . . . . . . . 10
5141, 50nfim 1833 . . . . . . . . 9
52 eleq1 2498 . . . . . . . . . 10
53 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13
5453breq1d 4224 . . . . . . . . . . . 12
55 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . . . 13
5655eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . 12
5754, 56bibi12d 314 . . . . . . . . . . 11
5857imbi2d 309 . . . . . . . . . 10
5952, 58imbi12d 313 . . . . . . . . 9
60 vex 2961 . . . . . . . . . . . 12
61 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . 15
6261eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . 14
63 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15
64 fmptcof2.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6564adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
6663, 65eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . 14
6762, 66anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . 13
68 df-mpt 4270 . . . . . . . . . . . . 13
6967, 68brabga 4471 . . . . . . . . . . . 12
709, 60, 69sylancl 645 . . . . . . . . . . 11
71 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13
726fvmpt2f 24074 . . . . . . . . . . . . 13
7371, 9, 72syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12
7473breq1d 4224 . . . . . . . . . . 11
759biantrurd 496 . . . . . . . . . . 11
7670, 74, 753bitr4d 278 . . . . . . . . . 10
7776expcom 426 . . . . . . . . 9
7851, 59, 77chvar 1969 . . . . . . . 8
7978impcom 421 . . . . . . 7
8079pm5.32da 624 . . . . . 6
8140, 80bitrd 246 . . . . 5
8229, 81syl5bb 250 . . . 4
8324, 82bitrd 246 . . 3
84 vex 2961 . . . 4
8584, 60opelco 5046 . . 3
86 df-mpt 4270 . . . . 5
8786eleq2i 2502 . . . 4
8847nfeq2 2585 . . . . . 6
8941, 88nfan 1847 . . . . 5
90 nfv 1630 . . . . 5
9155eqeq2d 2449 . . . . . 6
9252, 91anbi12d 693 . . . . 5
93 eqeq1 2444 . . . . . 6
9493anbi2d 686 . . . . 5
9589, 90, 84, 60, 92, 94opelopabf 4481 . . . 4
9687, 95bitri 242 . . 3
9783, 85, 963bitr4g 281 . 2
981, 4, 97eqrelrdv 4974 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360  wex 1551  wnf 1554   wceq 1653   wcel 1726  wnfc 2561  wral 2707  cvv 2958  csb 3253  cop 3819   class class class wbr 4214  copab 4267   cmpt 4268   cdm 4880   ccom 4884   wrel 4885   wfun 5450  wf 5452  cfv 5456 This theorem is referenced by:  esumf1o  24447 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-fv 5464
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