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Theorem fmss 17899
Description: A finer filter produces a finer image filter. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmss  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  B
)  C_  ( ( X  FilMap  F ) `  C ) )

Proof of Theorem fmss
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 961 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  B  e.  (
fBas `  Y )
)
2 simprl 733 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  F : Y --> X )
3 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  X  e.  A
)
4 eqid 2387 . . . . 5  |-  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) )  =  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) )
54fbasrn 17837 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X  /\  X  e.  A )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) )  e.  (
fBas `  X )
)
61, 2, 3, 5syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) )  e.  ( fBas `  X
) )
7 simpl3 962 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  C  e.  (
fBas `  Y )
)
8 eqid 2387 . . . . 5  |-  ran  (
y  e.  C  |->  ( F " y ) )  =  ran  (
y  e.  C  |->  ( F " y ) )
98fbasrn 17837 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X  /\  X  e.  A )  ->  ran  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) )  e.  (
fBas `  X )
)
107, 2, 3, 9syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) )  e.  ( fBas `  X
) )
11 resmpt 5131 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  C  ->  (
( y  e.  C  |->  ( F " y
) )  |`  B )  =  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) )
1211ad2antll 710 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) )  |`  B )  =  ( y  e.  B  |->  ( F " y ) ) )
13 resss 5110 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  C  |->  ( F " y ) )  |`  B )  C_  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) )
1412, 13syl6eqssr 3342 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) )  C_  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) ) )
15 rnss 5038 . . . 4  |-  ( ( y  e.  B  |->  ( F " y ) )  C_  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) ) 
C_  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) ) )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) ) 
C_  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) ) )
17 fgss 17826 . . 3  |-  ( ( ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) )  e.  ( fBas `  X
)  /\  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) )  e.  ( fBas `  X
)  /\  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) ) 
C_  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) ) )  ->  ( X filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) ) 
C_  ( X filGen ran  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) ) ) )
186, 10, 16, 17syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( X filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) ) )  C_  ( X filGen ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) ) ) )
19 fmval 17896 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  B )  =  ( X filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) ) ) )
203, 1, 2, 19syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  B
)  =  ( X
filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) ) )
21 fmval 17896 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  C  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  C )  =  ( X filGen ran  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) ) ) )
223, 7, 2, 21syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  C
)  =  ( X
filGen ran  ( y  e.  C  |->  ( F "
y ) ) ) )
2318, 20, 223sstr4d 3334 1  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  B
)  C_  ( ( X  FilMap  F ) `  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3263    e. cmpt 4207   ran crn 4819    |` cres 4820   "cima 4821   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   fBascfbas 16615   filGencfg 16616    FilMap cfm 17886
This theorem is referenced by:  ufldom  17915  cnpfcfi  17993
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-fm 17891
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