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Theorem fmss 17970
Description: A finer filter produces a finer image filter. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmss  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  B
)  C_  ( ( X  FilMap  F ) `  C ) )

Proof of Theorem fmss
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 961 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  B  e.  (
fBas `  Y )
)
2 simprl 733 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  F : Y --> X )
3 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  X  e.  A
)
4 eqid 2435 . . . . 5  |-  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) )  =  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) )
54fbasrn 17908 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X  /\  X  e.  A )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) )  e.  (
fBas `  X )
)
61, 2, 3, 5syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) )  e.  ( fBas `  X
) )
7 simpl3 962 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  C  e.  (
fBas `  Y )
)
8 eqid 2435 . . . . 5  |-  ran  (
y  e.  C  |->  ( F " y ) )  =  ran  (
y  e.  C  |->  ( F " y ) )
98fbasrn 17908 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X  /\  X  e.  A )  ->  ran  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) )  e.  (
fBas `  X )
)
107, 2, 3, 9syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) )  e.  ( fBas `  X
) )
11 resmpt 5183 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  C  ->  (
( y  e.  C  |->  ( F " y
) )  |`  B )  =  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) )
1211ad2antll 710 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) )  |`  B )  =  ( y  e.  B  |->  ( F " y ) ) )
13 resss 5162 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  C  |->  ( F " y ) )  |`  B )  C_  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) )
1412, 13syl6eqssr 3391 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) )  C_  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) ) )
15 rnss 5090 . . . 4  |-  ( ( y  e.  B  |->  ( F " y ) )  C_  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) ) 
C_  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) ) )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) ) 
C_  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) ) )
17 fgss 17897 . . 3  |-  ( ( ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) )  e.  ( fBas `  X
)  /\  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) )  e.  ( fBas `  X
)  /\  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) ) 
C_  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) ) )  ->  ( X filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) ) 
C_  ( X filGen ran  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) ) ) )
186, 10, 16, 17syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( X filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) ) )  C_  ( X filGen ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) ) ) )
19 fmval 17967 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  B )  =  ( X filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) ) ) )
203, 1, 2, 19syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  B
)  =  ( X
filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) ) )
21 fmval 17967 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  C  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  C )  =  ( X filGen ran  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) ) ) )
223, 7, 2, 21syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  C
)  =  ( X
filGen ran  ( y  e.  C  |->  ( F "
y ) ) ) )
2318, 20, 223sstr4d 3383 1  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  B
)  C_  ( ( X  FilMap  F ) `  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312    e. cmpt 4258   ran crn 4871    |` cres 4872   "cima 4873   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   fBascfbas 16681   filGencfg 16682    FilMap cfm 17957
This theorem is referenced by:  ufldom  17986  cnpfcfi  18064
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-fm 17962
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