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Theorem fmufil 17654
Description: An image filter of an ultrafilter is an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmufil  |-  ( ( X  e.  A  /\  L  e.  ( UFil `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  L )  e.  ( UFil `  X
) )

Proof of Theorem fmufil
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 17599 . . . 4  |-  ( L  e.  ( UFil `  Y
)  ->  L  e.  ( Fil `  Y ) )
2 filfbas 17543 . . . 4  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  L  e.  ( fBas `  Y )
)
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( L  e.  ( UFil `  Y
)  ->  L  e.  ( fBas `  Y )
)
4 fmfil 17639 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  L  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  L )  e.  ( Fil `  X
) )
53, 4syl3an2 1216 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  L  e.  ( UFil `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  L )  e.  ( Fil `  X
) )
6 simpl2 959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  L  e.  ( UFil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( ( X  FilMap  F ) `  L )  C_  f
) )  ->  L  e.  ( UFil `  Y
) )
76, 1, 23syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  L  e.  ( UFil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( ( X  FilMap  F ) `  L )  C_  f
) )  ->  L  e.  ( fBas `  Y
) )
8 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  L  e.  ( UFil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( ( X  FilMap  F ) `  L )  C_  f
) )  ->  f  e.  ( Fil `  X
) )
9 simpl3 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  L  e.  ( UFil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( ( X  FilMap  F ) `  L )  C_  f
) )  ->  F : Y --> X )
10 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  L  e.  ( UFil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( ( X  FilMap  F ) `  L )  C_  f
) )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  C_  f )
117, 8, 9, 10fmfnfm 17653 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  L  e.  ( UFil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( ( X  FilMap  F ) `  L )  C_  f
) )  ->  E. g  e.  ( Fil `  Y
) ( L  C_  g  /\  f  =  ( ( X  FilMap  F ) `
 g ) ) )
126adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  L  e.  ( UFil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  C_  f ) )  /\  ( g  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( L  C_  g  /\  f  =  ( ( X  FilMap  F ) `
 g ) ) ) )  ->  L  e.  ( UFil `  Y
) )
13 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  L  e.  ( UFil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  C_  f ) )  /\  ( g  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( L  C_  g  /\  f  =  ( ( X  FilMap  F ) `
 g ) ) ) )  ->  g  e.  ( Fil `  Y
) )
14 simprrl 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  L  e.  ( UFil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  C_  f ) )  /\  ( g  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( L  C_  g  /\  f  =  ( ( X  FilMap  F ) `
 g ) ) ) )  ->  L  C_  g )
15 ufilmax 17602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
)  /\  L  C_  g
)  ->  L  =  g )
1612, 13, 14, 15syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  L  e.  ( UFil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  C_  f ) )  /\  ( g  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( L  C_  g  /\  f  =  ( ( X  FilMap  F ) `
 g ) ) ) )  ->  L  =  g )
1716fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  L  e.  ( UFil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  C_  f ) )  /\  ( g  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( L  C_  g  /\  f  =  ( ( X  FilMap  F ) `
 g ) ) ) )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  =  ( ( X  FilMap  F ) `  g ) )
18 simprrr 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  L  e.  ( UFil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  C_  f ) )  /\  ( g  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( L  C_  g  /\  f  =  ( ( X  FilMap  F ) `
 g ) ) ) )  ->  f  =  ( ( X 
FilMap  F ) `  g
) )
1917, 18eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  L  e.  ( UFil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  C_  f ) )  /\  ( g  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( L  C_  g  /\  f  =  ( ( X  FilMap  F ) `
 g ) ) ) )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  =  f )
2019expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  L  e.  ( UFil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  C_  f ) )  /\  g  e.  ( Fil `  Y ) )  -> 
( ( L  C_  g  /\  f  =  ( ( X  FilMap  F ) `
 g ) )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  L
)  =  f ) )
2120rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  L  e.  ( UFil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( ( X  FilMap  F ) `  L )  C_  f
) )  ->  ( E. g  e.  ( Fil `  Y ) ( L  C_  g  /\  f  =  ( ( X  FilMap  F ) `  g ) )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  L )  =  f ) )
2211, 21mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  L  e.  ( UFil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( ( X  FilMap  F ) `  L )  C_  f
) )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  =  f )
2322expr 598 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  L  e.  ( UFil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  f  e.  ( Fil `  X ) )  ->  ( (
( X  FilMap  F ) `
 L )  C_  f  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  L
)  =  f ) )
2423ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  L  e.  ( UFil `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( ( ( X  FilMap  F ) `  L ) 
C_  f  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  =  f ) )
25 isufil2 17603 . 2  |-  ( ( ( X  FilMap  F ) `
 L )  e.  ( UFil `  X
)  <->  ( ( ( X  FilMap  F ) `  L )  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( ( ( X  FilMap  F ) `  L )  C_  f  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  L )  =  f ) ) )
265, 24, 25sylanbrc 645 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  L  e.  ( UFil `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  L )  e.  ( UFil `  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   fBascfbas 17518   Filcfil 17540   UFilcufil 17594    FilMap cfm 17628
This theorem is referenced by:  ufldom  17657  uffcfflf  17734
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-ufil 17596  df-fm 17633
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