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Theorem fmul01lt1lem1 27714
Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value larger than its frist element is larger the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1lem1.1  |-  F/_ i B
fmul01lt1lem1.2  |-  F/ i
ph
fmul01lt1lem1.3  |-  A  =  seq  L (  x.  ,  B )
fmul01lt1lem1.4  |-  ( ph  ->  L  e.  ZZ )
fmul01lt1lem1.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L ) )
fmul01lt1lem1.6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
fmul01lt1lem1.7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  i ) )
fmul01lt1lem1.8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  <_  1
)
fmul01lt1lem1.9  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
fmul01lt1lem1.10  |-  ( ph  ->  ( B `  L
)  <  E )
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1lem1  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  <  E )
Distinct variable groups:    i, L    i, M
Allowed substitution hints:    ph( i)    A( i)    B( i)    E( i)

Proof of Theorem fmul01lt1lem1
Dummy variables  j 
k  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  M  =  L )
21fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( A `  M )  =  ( A `  L ) )
3 fmul01lt1lem1.3 . . . . . . 7  |-  A  =  seq  L (  x.  ,  B )
43a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  A  =  seq  L (  x.  ,  B ) )
54fveq1d 5527 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( A `  L )  =  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 L ) )
6 fmul01lt1lem1.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  ZZ )
7 seq1 11059 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L
)  =  ( B `
 L ) )
86, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 L )  =  ( B `  L
) )
98adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L
)  =  ( B `
 L ) )
105, 9eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( A `  L )  =  ( B `  L ) )
112, 10eqtrd 2315 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( A `  M )  =  ( B `  L ) )
12 fmul01lt1lem1.10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B `  L
)  <  E )
1312adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( B `  L )  <  E )
1411, 13eqbrtrd 4043 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( A `  M )  <  E )
15 simpl 443 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  ph )
16 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  -.  M  =  L )
17 df-ne 2448 . . . . . 6  |-  ( M  =/=  L  <->  -.  M  =  L )
1816, 17sylibr 203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  M  =/=  L )
19 zre 10028 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
206, 19syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
21 fmul01lt1lem1.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L ) )
22 eluzelz 10238 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  M  e.  ZZ )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
24 zre 10028 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
2523, 24syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
26 eluzle 10240 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  L  <_  M )
2721, 26syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  <_  M )
2820, 25, 273jca 1132 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  L  <_  M ) )
2928adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  L  <_  M ) )
30 leltne 8911 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  L  <_  M )  ->  ( L  <  M  <->  M  =/=  L ) )
3129, 30syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  ( L  <  M  <->  M  =/=  L ) )
3218, 31mpbird 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  L  <  M )
3315, 32jca 518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  ( ph  /\  L  <  M
) )
343fveq1i 5526 . . . . 5  |-  ( A `
 M )  =  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 M )
3534a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( A `  M )  =  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  M ) )
36 remulcl 8822 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( j  x.  k
)  e.  RR )
3736adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
j  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  ->  ( j  x.  k )  e.  RR )
38 recn 8827 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  RR  ->  j  e.  CC )
39383ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  j  e.  CC )
40 recn 8827 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  RR  ->  k  e.  CC )
41403ad2ant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  k  e.  CC )
42 recn 8827 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  e.  RR  ->  l  e.  CC )
43423ad2ant3 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  l  e.  CC )
4439, 41, 433jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  (
j  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  l  e.  CC ) )
45 mulass 8825 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  l  e.  CC )  ->  (
( j  x.  k
)  x.  l )  =  ( j  x.  ( k  x.  l
) ) )
4644, 45syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  (
( j  x.  k
)  x.  l )  =  ( j  x.  ( k  x.  l
) ) )
4746adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR ) )  -> 
( ( j  x.  k )  x.  l
)  =  ( j  x.  ( k  x.  l ) ) )
48 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  <  M )
4948olcd 382 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  <  L  \/  L  < 
M ) )
5025, 20jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
5150adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
52 lttri2 8904 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( M  =/=  L  <->  ( M  <  L  \/  L  <  M ) ) )
5351, 52syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  =/=  L  <->  ( M  < 
L  \/  L  < 
M ) ) )
5449, 53mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  =/=  L )
5554, 17sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  -.  M  =  L )
56 uzp1 10261 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  ( M  =  L  \/  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
5721, 56syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  =  L  \/  M  e.  (
ZZ>= `  ( L  + 
1 ) ) ) )
5857adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  =  L  \/  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
59 df-or 359 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  =  L  \/  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1
) ) )  <->  ( -.  M  =  L  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
6058, 59sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( -.  M  =  L  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
6155, 60mpd 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) )
626adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  e.  ZZ )
63 uzid 10242 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  ( ZZ>= `  L )
)
6462, 63syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  e.  ( ZZ>= `  L )
)
65 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( L ... M ) )  ->  j  e.  ( L ... M ) )
66 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( L ... M ) )  ->  ( ph  /\  j  e.  ( L ... M ) ) )
67 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
j
68 fmul01lt1lem1.2 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i
ph
69 nfv 1605 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i  j  e.  ( L ... M )
7068, 69nfan 1771 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ph  /\  j  e.  ( L ... M
) )
71 fmul01lt1lem1.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i B
7271, 67nffv 5532 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
( B `  j
)
73 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i RR
7472, 73nfel 2427 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( B `  j
)  e.  RR
7570, 74nfim 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ( ph  /\  j  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  j
)  e.  RR )
76 eleq1 2343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
i  e.  ( L ... M )  <->  j  e.  ( L ... M ) ) )
7776anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  <->  ( ph  /\  j  e.  ( L ... M ) ) ) )
78 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  ( B `  i )  =  ( B `  j ) )
7978eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
( B `  i
)  e.  RR  <->  ( B `  j )  e.  RR ) )
8077, 79imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  j
)  e.  RR ) ) )
81 fmul01lt1lem1.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
8281a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  i )  e.  RR ) )
8367, 75, 80, 82vtoclgaf 2848 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  j  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  j )  e.  RR ) )
8465, 66, 83sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
8584adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  j  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
8637, 47, 61, 64, 85seqsplit 11079 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq  L (  x.  ,  B
) `  M )  =  ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) ) )
87 eluzfz1 10803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  L  e.  ( L ... M ) )
8821, 87syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  L  e.  ( L ... M ) )
8988ancli 534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) ) )
90 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i L
91 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i  L  e.  ( L ... M )
9268, 91nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i ( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )
9371, 90nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ i
( B `  L
)
9493, 73nfel 2427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i ( B `  L
)  e.  RR
9592, 94nfim 1769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  L
)  e.  RR )
96 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  L  ->  (
i  e.  ( L ... M )  <->  L  e.  ( L ... M ) ) )
9796anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  L  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  <->  ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) ) ) )
98 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  L  ->  ( B `  i )  =  ( B `  L ) )
9998eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  L  ->  (
( B `  i
)  e.  RR  <->  ( B `  L )  e.  RR ) )
10097, 99imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  L  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  L
)  e.  RR ) ) )
10190, 95, 100, 82vtoclgaf 2848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  L )  e.  RR ) )
10288, 89, 101sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B `  L
)  e.  RR )
1038, 102eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 L )  e.  RR )
104103adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq  L (  x.  ,  B
) `  L )  e.  RR )
105 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ph )
1066adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  ZZ )
10723adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  M  e.  ZZ )
108 elfzelz 10798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  j  e.  ZZ )
109108adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  j  e.  ZZ )
110106, 107, 1093jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )
11120adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  RR )
112 peano2re 8985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( L  e.  RR  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
11320, 112syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
114113adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
115 zre 10028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  RR )
116108, 115syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  j  e.  RR )
117116adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  j  e.  RR )
118111, 114, 1173jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  e.  RR  /\  ( L  +  1 )  e.  RR  /\  j  e.  RR ) )
119 lep1 9595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( L  e.  RR  ->  L  <_  ( L  +  1 ) )
12020, 119syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  L  <_  ( L  +  1 ) )
121120adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  ( L  +  1 ) )
122 elfzle1 10799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  ( L  +  1 )  <_  j )
123122adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  <_  j )
124121, 123jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  <_  ( L  + 
1 )  /\  ( L  +  1 )  <_  j ) )
125 letr 8914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  e.  RR  /\  ( L  +  1
)  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( ( L  <_ 
( L  +  1 )  /\  ( L  +  1 )  <_ 
j )  ->  L  <_  j ) )
126118, 124, 125sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  j )
127 elfzle2 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  j  <_  M )
128127adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  j  <_  M )
129126, 128jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  <_  j  /\  j  <_  M ) )
130110, 129jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  j  /\  j  <_  M ) ) )
131 elfz2 10789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( L ... M )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  j  /\  j  <_  M ) ) )
132130, 131sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  j  e.  ( L ... M
) )
133105, 132jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( ph  /\  j  e.  ( L ... M ) ) )
134133, 84syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
135134adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
13661, 135, 37seqcl 11066 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq  ( L  +  1
) (  x.  ,  B ) `  M
)  e.  RR )
137104, 136jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L
)  e.  RR  /\  (  seq  ( L  + 
1 ) (  x.  ,  B ) `  M )  e.  RR ) )
138 remulcl 8822 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 L )  e.  RR  /\  (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
)  e.  RR )  ->  ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  e.  RR )
139137, 138syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  e.  RR )
140 fmul01lt1lem1.9 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
141 rpre 10360 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  RR+  ->  E  e.  RR )
142140, 141syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
143142adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  E  e.  RR )
144139, 104, 1433jca 1132 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (
(  seq  L (  x.  ,  B ) `  L )  x.  (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  e.  RR  /\  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 L )  e.  RR  /\  E  e.  RR ) )
145 1re 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
146145a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  1  e.  RR )
147 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i
0
148 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i  <_
149147, 148, 93nfbr 4067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ i 0  <_  ( B `  L )
15092, 149nfim 1769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ i ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  L ) )
15198breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  L  ->  (
0  <_  ( B `  i )  <->  0  <_  ( B `  L ) ) )
15297, 151imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  L  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  i ) )  <->  ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  L ) ) ) )
153 fmul01lt1lem1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  i ) )
154153a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  ->  0  <_  ( B `  i
) ) )
15590, 150, 152, 154vtoclgaf 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )  ->  0  <_  ( B `  L
) ) )
15688, 89, 155sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B `  L ) )
157156, 8breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  (  seq  L (  x.  ,  B
) `  L )
)
158157adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  0  <_  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L ) )
159104, 158jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L
)  e.  RR  /\  0  <_  (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  L )
) )
160136, 146, 1593jca 1132 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
(  seq  L (  x.  ,  B ) `  L )  e.  RR  /\  0  <_  (  seq  L (  x.  ,  B
) `  L )
) ) )
161 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i  L  <  M
16268, 161nfan 1771 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ph  /\  L  <  M )
163 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B
)  =  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B
)
164 peano2z 10060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  e.  ZZ  ->  ( L  +  1 )  e.  ZZ )
1656, 164syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( L  +  1 )  e.  ZZ )
166165adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( L  +  1 )  e.  ZZ )
16720adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  e.  RR )
168167, 48jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( L  e.  RR  /\  L  < 
M ) )
169 ltne 8917 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  e.  RR  /\  L  <  M )  ->  M  =/=  L )
170168, 169syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  =/=  L )
171170, 17sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  -.  M  =  L )
17221adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L )
)
173172, 56syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  =  L  \/  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
174 orel1 371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  M  =  L  -> 
( ( M  =  L  \/  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
175171, 173, 174sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) )
17623adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ZZ )
177166, 176, 1763jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( ( L  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
17862, 176jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
179 zltp1le 10067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  <  M  <->  ( L  +  1 )  <_  M ) )
180178, 179syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( L  <  M  <->  ( L  + 
1 )  <_  M
) )
18148, 180mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( L  +  1 )  <_  M )
18225adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  RR )
183 leid 8916 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  RR  ->  M  <_  M )
184182, 183syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  <_  M )
185181, 184jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( ( L  +  1 )  <_  M  /\  M  <_  M ) )
186177, 185jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (
( L  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
( L  +  1 )  <_  M  /\  M  <_  M ) ) )
187 elfz2 10789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  <->  ( (
( L  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
( L  +  1 )  <_  M  /\  M  <_  M ) ) )
188186, 187sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )
189 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ph )
1906adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  ZZ )
19123adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  M  e.  ZZ )
192 elfzelz 10798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  i  e.  ZZ )
193192adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  ZZ )
194190, 191, 1933jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ ) )
19520adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  RR )
196195, 112syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
197 zre 10028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ZZ  ->  i  e.  RR )
198192, 197syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  i  e.  RR )
199198adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  RR )
200195, 196, 1993jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  e.  RR  /\  ( L  +  1 )  e.  RR  /\  i  e.  RR ) )
201120adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  ( L  +  1 ) )
202 elfzle1 10799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  ( L  +  1 )  <_  i )
203202adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  <_  i )
204201, 203jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  <_  ( L  + 
1 )  /\  ( L  +  1 )  <_  i ) )
205 letr 8914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( L  e.  RR  /\  ( L  +  1
)  e.  RR  /\  i  e.  RR )  ->  ( ( L  <_ 
( L  +  1 )  /\  ( L  +  1 )  <_ 
i )  ->  L  <_  i ) )
206200, 204, 205sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  i )
207 elfzle2 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  i  <_  M )
208207adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  <_  M )
209206, 208jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  <_  i  /\  i  <_  M ) )
210194, 209jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
211 elfz2 10789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( L ... M )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
212210, 211sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  ( L ... M
) )
213189, 212jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) ) )
214213, 81syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
215214adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
216 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ph )
2176ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  ZZ )
21823ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  M  e.  ZZ )
219192adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  ZZ )
220217, 218, 2193jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ ) )
22120ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  RR )
222113ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
223198adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  RR )
224221, 222, 2233jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  e.  RR  /\  ( L  +  1 )  e.  RR  /\  i  e.  RR ) )
225120ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  ( L  +  1 ) )
226202adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  <_  i )
227225, 226jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  <_  ( L  + 
1 )  /\  ( L  +  1 )  <_  i ) )
228224, 227, 205sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  i )
229207adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  <_  M )
230228, 229jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  <_  i  /\  i  <_  M ) )
231220, 230jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
232231, 211sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  ( L ... M
) )
233216, 232jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) ) )
234233, 153syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  0  <_  ( B `  i
) )
235 fmul01lt1lem1.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  <_  1
)
236233, 235syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  i )  <_  1 )
23771, 162, 163, 166, 175, 188, 215, 234, 236fmul01 27710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( 0  <_  (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B
) `  M )  /\  (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `
 M )  <_ 
1 ) )
238237simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq  ( L  +  1
) (  x.  ,  B ) `  M
)  <_  1 )
239160, 238jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (
(  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `
 M )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L )  e.  RR  /\  0  <_  (  seq  L (  x.  ,  B
) `  L )
) )  /\  (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
)  <_  1 ) )
240 lemul2a 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B
) `  M )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L )  e.  RR  /\  0  <_  (  seq  L (  x.  ,  B
) `  L )
) )  /\  (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
)  <_  1 )  ->  ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  <_  (
(  seq  L (  x.  ,  B ) `  L )  x.  1 ) )
241239, 240syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  <_  (
(  seq  L (  x.  ,  B ) `  L )  x.  1 ) )
242 recn 8827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L )  e.  RR  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 L )  e.  CC )
243103, 242syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 L )  e.  CC )
244 mulid1 8835 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L )  e.  CC  ->  ( (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  L )  x.  1 )  =  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L ) )
245243, 244syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  L )  x.  1 )  =  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L ) )
246245adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  1 )  =  (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  L )
)
247241, 246breqtrd 4047 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  <_  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L
) )
2488, 12eqbrtrd 4043 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 L )  < 
E )
249248adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq  L (  x.  ,  B
) `  L )  <  E )
250247, 249jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (
(  seq  L (  x.  ,  B ) `  L )  x.  (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  <_  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L
)  /\  (  seq  L (  x.  ,  B
) `  L )  <  E ) )
251 lelttr 8912 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  L )  x.  (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `
 M ) )  e.  RR  /\  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L
)  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L )  x.  (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  <_  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L
)  /\  (  seq  L (  x.  ,  B
) `  L )  <  E )  ->  (
(  seq  L (  x.  ,  B ) `  L )  x.  (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  <  E
) )
252144, 250, 251sylc 56 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  <  E
)
25386, 252eqbrtrd 4043 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq  L (  x.  ,  B
) `  M )  <  E )
25435, 253eqbrtrd 4043 . . 3  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( A `  M )  <  E
)
25533, 254syl 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  ( A `  M )  <  E )
25614, 255pm2.61dan 766 1  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  <  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   ...cfz 10782    seq cseq 11046
This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem2  27715
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047
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