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Theorem fmul01lt1lem1 27690
Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value larger than its frist element is larger the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1lem1.1  |-  F/_ i B
fmul01lt1lem1.2  |-  F/ i
ph
fmul01lt1lem1.3  |-  A  =  seq  L (  x.  ,  B )
fmul01lt1lem1.4  |-  ( ph  ->  L  e.  ZZ )
fmul01lt1lem1.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L ) )
fmul01lt1lem1.6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
fmul01lt1lem1.7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  i ) )
fmul01lt1lem1.8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  <_  1
)
fmul01lt1lem1.9  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
fmul01lt1lem1.10  |-  ( ph  ->  ( B `  L
)  <  E )
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1lem1  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  <  E )
Distinct variable groups:    i, L    i, M
Allowed substitution hints:    ph( i)    A( i)    B( i)    E( i)

Proof of Theorem fmul01lt1lem1
Dummy variables  j 
k  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  M  =  L )
21fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( A `  M )  =  ( A `  L ) )
3 fmul01lt1lem1.3 . . . . . 6  |-  A  =  seq  L (  x.  ,  B )
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  A  =  seq  L (  x.  ,  B ) )
54fveq1d 5730 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( A `  L )  =  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 L ) )
6 fmul01lt1lem1.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  ZZ )
7 seq1 11336 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L
)  =  ( B `
 L ) )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 L )  =  ( B `  L
) )
98adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L
)  =  ( B `
 L ) )
102, 5, 93eqtrd 2472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( A `  M )  =  ( B `  L ) )
11 fmul01lt1lem1.10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B `  L
)  <  E )
1211adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( B `  L )  <  E )
1310, 12eqbrtrd 4232 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( A `  M )  <  E )
14 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  -.  M  =  L )
15 df-ne 2601 . . . . 5  |-  ( M  =/=  L  <->  -.  M  =  L )
1614, 15sylibr 204 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  M  =/=  L )
176zred 10375 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
18 fmul01lt1lem1.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L ) )
19 eluzelz 10496 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  M  e.  ZZ )
2018, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2120zred 10375 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
22 eluzle 10498 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  L  <_  M )
2318, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  <_  M )
2417, 21, 233jca 1134 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  L  <_  M ) )
2524adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  L  <_  M ) )
26 leltne 9164 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  L  <_  M )  ->  ( L  <  M  <->  M  =/=  L ) )
2725, 26syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  ( L  <  M  <->  M  =/=  L ) )
2816, 27mpbird 224 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  L  <  M )
293fveq1i 5729 . . . 4  |-  ( A `
 M )  =  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 M )
30 remulcl 9075 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( j  x.  k
)  e.  RR )
3130adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
j  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  ->  ( j  x.  k )  e.  RR )
32 recn 9080 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  RR  ->  j  e.  CC )
33323ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  j  e.  CC )
34 recn 9080 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  RR  ->  k  e.  CC )
35343ad2ant2 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  k  e.  CC )
36 recn 9080 . . . . . . . . 9  |-  ( l  e.  RR  ->  l  e.  CC )
37363ad2ant3 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  l  e.  CC )
3833, 35, 37mulassd 9111 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  (
( j  x.  k
)  x.  l )  =  ( j  x.  ( k  x.  l
) ) )
3938adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR ) )  -> 
( ( j  x.  k )  x.  l
)  =  ( j  x.  ( k  x.  l ) ) )
40 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  <  M )
4140olcd 383 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  <  L  \/  L  < 
M ) )
4221, 17jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
4342adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
44 lttri2 9157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( M  =/=  L  <->  ( M  <  L  \/  L  <  M ) ) )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  =/=  L  <->  ( M  < 
L  \/  L  < 
M ) ) )
4641, 45mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  =/=  L )
4746neneqd 2617 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  -.  M  =  L )
48 uzp1 10519 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  ( M  =  L  \/  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
4918, 48syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  =  L  \/  M  e.  (
ZZ>= `  ( L  + 
1 ) ) ) )
5049adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  =  L  \/  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
5150ord 367 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( -.  M  =  L  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
5247, 51mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) )
536adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  e.  ZZ )
54 uzid 10500 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  ( ZZ>= `  L )
)
5553, 54syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  e.  ( ZZ>= `  L )
)
56 fmul01lt1lem1.2 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i
ph
57 nfv 1629 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  j  e.  ( L ... M )
5856, 57nfan 1846 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ph  /\  j  e.  ( L ... M
) )
59 fmul01lt1lem1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i B
60 nfcv 2572 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
j
6159, 60nffv 5735 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
( B `  j
)
6261nfel1 2582 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( B `  j
)  e.  RR
6358, 62nfim 1832 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ( ph  /\  j  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  j
)  e.  RR )
64 eleq1 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
i  e.  ( L ... M )  <->  j  e.  ( L ... M ) ) )
6564anbi2d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  <->  ( ph  /\  j  e.  ( L ... M ) ) ) )
66 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  ( B `  i )  =  ( B `  j ) )
6766eleq1d 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( B `  i
)  e.  RR  <->  ( B `  j )  e.  RR ) )
6865, 67imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  j
)  e.  RR ) ) )
69 fmul01lt1lem1.6 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
7063, 68, 69chvar 1968 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
7170adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  j  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
7231, 39, 52, 55, 71seqsplit 11356 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq  L (  x.  ,  B
) `  M )  =  ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) ) )
73 eluzfz1 11064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  L  e.  ( L ... M ) )
7418, 73syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  ( L ... M ) )
7574ancli 535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) ) )
76 nfcv 2572 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i L
77 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i  L  e.  ( L ... M )
7856, 77nfan 1846 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )
7959, 76nffv 5735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( B `  L
)
8079nfel1 2582 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( B `  L
)  e.  RR
8178, 80nfim 1832 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  L
)  e.  RR )
82 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  L  ->  (
i  e.  ( L ... M )  <->  L  e.  ( L ... M ) ) )
8382anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  L  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  <->  ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) ) ) )
84 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  L  ->  ( B `  i )  =  ( B `  L ) )
8584eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  L  ->  (
( B `  i
)  e.  RR  <->  ( B `  L )  e.  RR ) )
8683, 85imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  L  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  L
)  e.  RR ) ) )
8776, 81, 86, 69vtoclgf 3010 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  L )  e.  RR ) )
8874, 75, 87sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B `  L
)  e.  RR )
898, 88eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 L )  e.  RR )
9089adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq  L (  x.  ,  B
) `  L )  e.  RR )
916adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  ZZ )
9220adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  M  e.  ZZ )
93 elfzelz 11059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  j  e.  ZZ )
9493adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  j  e.  ZZ )
9591, 92, 943jca 1134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )
9617adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  RR )
97 peano2re 9239 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  e.  RR  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
9817, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
9998adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
10093zred 10375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  j  e.  RR )
101100adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  j  e.  RR )
10217lep1d 9942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  L  <_  ( L  +  1 ) )
103102adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  ( L  +  1 ) )
104 elfzle1 11060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  ( L  +  1 )  <_  j )
105104adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  <_  j )
10696, 99, 101, 103, 105letrd 9227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  j )
107 elfzle2 11061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  j  <_  M )
108107adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  j  <_  M )
109106, 108jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  <_  j  /\  j  <_  M ) )
110 elfz2 11050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( L ... M )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  j  /\  j  <_  M ) ) )
11195, 109, 110sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  j  e.  ( L ... M
) )
112111, 70syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
113112adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
11452, 113, 31seqcl 11343 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq  ( L  +  1
) (  x.  ,  B ) `  M
)  e.  RR )
11590, 114remulcld 9116 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  e.  RR )
116 fmul01lt1lem1.9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
117116rpred 10648 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
118117adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  E  e.  RR )
119 1re 9090 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
120119a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  1  e.  RR )
121 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
0
122 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i  <_
123121, 122, 79nfbr 4256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i 0  <_  ( B `  L )
12478, 123nfim 1832 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  L ) )
12584breq2d 4224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  L  ->  (
0  <_  ( B `  i )  <->  0  <_  ( B `  L ) ) )
12683, 125imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  L  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  i ) )  <->  ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  L ) ) ) )
127 fmul01lt1lem1.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  i ) )
12876, 124, 126, 127vtoclgf 3010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )  ->  0  <_  ( B `  L
) ) )
12974, 75, 128sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B `  L ) )
130129, 8breqtrrd 4238 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  (  seq  L (  x.  ,  B
) `  L )
)
131130adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  0  <_  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L ) )
132 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i  L  <  M
13356, 132nfan 1846 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ph  /\  L  <  M )
134 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B
)  =  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B
)
1356peano2zd 10378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( L  +  1 )  e.  ZZ )
136135adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( L  +  1 )  e.  ZZ )
13717adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  e.  RR )
138137, 40gtned 9208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  =/=  L )
139138neneqd 2617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  -.  M  =  L )
14018adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L )
)
141140, 48syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  =  L  \/  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
142 orel1 372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  M  =  L  -> 
( ( M  =  L  \/  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
143139, 141, 142sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) )
14420adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ZZ )
145136, 144, 1443jca 1134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( ( L  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
146 zltp1le 10325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  <  M  <->  ( L  +  1 )  <_  M ) )
14753, 144, 146syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( L  <  M  <->  ( L  + 
1 )  <_  M
) )
14840, 147mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( L  +  1 )  <_  M )
14921adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  RR )
150149leidd 9593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  <_  M )
151148, 150jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( ( L  +  1 )  <_  M  /\  M  <_  M ) )
152 elfz2 11050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  <->  ( (
( L  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
( L  +  1 )  <_  M  /\  M  <_  M ) ) )
153145, 151, 152sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )
1546adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  ZZ )
15520adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  M  e.  ZZ )
156 elfzelz 11059 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  i  e.  ZZ )
157156adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  ZZ )
158154, 155, 1573jca 1134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ ) )
15917adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  RR )
160159, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
161156zred 10375 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  i  e.  RR )
162161adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  RR )
163102adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  ( L  +  1 ) )
164 elfzle1 11060 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  ( L  +  1 )  <_  i )
165164adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  <_  i )
166159, 160, 162, 163, 165letrd 9227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  i )
167 elfzle2 11061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  i  <_  M )
168167adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  <_  M )
169166, 168jca 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  <_  i  /\  i  <_  M ) )
170 elfz2 11050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( L ... M )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
171158, 169, 170sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  ( L ... M
) )
172171, 69syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
173172adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
174 simpll 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ph )
1756ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  ZZ )
17620ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  M  e.  ZZ )
177156adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  ZZ )
178175, 176, 1773jca 1134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ ) )
17917ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  RR )
18098ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
181161adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  RR )
182102ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  ( L  +  1 ) )
183164adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  <_  i )
184179, 180, 181, 182, 183letrd 9227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  i )
185167adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  <_  M )
186184, 185jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  <_  i  /\  i  <_  M ) )
187178, 186, 170sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  ( L ... M
) )
188174, 187, 127syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  0  <_  ( B `  i
) )
189 fmul01lt1lem1.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  <_  1
)
190174, 187, 189syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  i )  <_  1 )
19159, 133, 134, 136, 143, 153, 173, 188, 190fmul01 27686 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( 0  <_  (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B
) `  M )  /\  (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `
 M )  <_ 
1 ) )
192191simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq  ( L  +  1
) (  x.  ,  B ) `  M
)  <_  1 )
193114, 120, 90, 131, 192lemul2ad 9951 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  <_  (
(  seq  L (  x.  ,  B ) `  L )  x.  1 ) )
19489recnd 9114 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 L )  e.  CC )
195194mulid1d 9105 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  L )  x.  1 )  =  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L ) )
196195adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  1 )  =  (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  L )
)
197193, 196breqtrd 4236 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  <_  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L
) )
1988, 11eqbrtrd 4232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 L )  < 
E )
199198adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq  L (  x.  ,  B
) `  L )  <  E )
200115, 90, 118, 197, 199lelttrd 9228 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  (  seq  ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  <  E
)
20172, 200eqbrtrd 4232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq  L (  x.  ,  B
) `  M )  <  E )
20229, 201syl5eqbr 4245 . . 3  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( A `  M )  <  E
)
20328, 202syldan 457 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  ( A `  M )  <  E )
20413, 203pm2.61dan 767 1  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  <  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   F/wnf 1553    = wceq 1652    e. wcel 1725   F/_wnfc 2559    =/= wne 2599   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612   ...cfz 11043    seq cseq 11323
This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem2  27691
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324
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