Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmul01lt1lem1 Structured version   Unicode version

Theorem fmul01lt1lem1 27690
 Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value larger than its frist element is larger the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1lem1.1
fmul01lt1lem1.2
fmul01lt1lem1.3
fmul01lt1lem1.4
fmul01lt1lem1.5
fmul01lt1lem1.6
fmul01lt1lem1.7
fmul01lt1lem1.8
fmul01lt1lem1.9
fmul01lt1lem1.10
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1lem1
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem fmul01lt1lem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . 5
21fveq2d 5732 . . . 4
3 fmul01lt1lem1.3 . . . . . 6
43a1i 11 . . . . 5
54fveq1d 5730 . . . 4
6 fmul01lt1lem1.4 . . . . . 6
7 seq1 11336 . . . . . 6
86, 7syl 16 . . . . 5
98adantr 452 . . . 4
102, 5, 93eqtrd 2472 . . 3
11 fmul01lt1lem1.10 . . . 4
1310, 12eqbrtrd 4232 . 2
14 simpr 448 . . . . 5
15 df-ne 2601 . . . . 5
1614, 15sylibr 204 . . . 4
176zred 10375 . . . . . . 7
18 fmul01lt1lem1.5 . . . . . . . . 9
19 eluzelz 10496 . . . . . . . . 9
2018, 19syl 16 . . . . . . . 8
2120zred 10375 . . . . . . 7
22 eluzle 10498 . . . . . . . 8
2318, 22syl 16 . . . . . . 7
2417, 21, 233jca 1134 . . . . . 6
2524adantr 452 . . . . 5
26 leltne 9164 . . . . 5
2725, 26syl 16 . . . 4
2816, 27mpbird 224 . . 3
293fveq1i 5729 . . . 4
30 remulcl 9075 . . . . . . 7
3130adantl 453 . . . . . 6
32 recn 9080 . . . . . . . . 9
33323ad2ant1 978 . . . . . . . 8
34 recn 9080 . . . . . . . . 9
35343ad2ant2 979 . . . . . . . 8
36 recn 9080 . . . . . . . . 9
37363ad2ant3 980 . . . . . . . 8
3833, 35, 37mulassd 9111 . . . . . . 7
3938adantl 453 . . . . . 6
40 simpr 448 . . . . . . . . . 10
4140olcd 383 . . . . . . . . 9
4221, 17jca 519 . . . . . . . . . . 11
4342adantr 452 . . . . . . . . . 10
44 lttri2 9157 . . . . . . . . . 10
4543, 44syl 16 . . . . . . . . 9
4641, 45mpbird 224 . . . . . . . 8
4746neneqd 2617 . . . . . . 7
48 uzp1 10519 . . . . . . . . . 10
4918, 48syl 16 . . . . . . . . 9
5049adantr 452 . . . . . . . 8
5150ord 367 . . . . . . 7
5247, 51mpd 15 . . . . . 6
536adantr 452 . . . . . . 7
54 uzid 10500 . . . . . . 7
5553, 54syl 16 . . . . . 6
56 fmul01lt1lem1.2 . . . . . . . . . 10
57 nfv 1629 . . . . . . . . . 10
5856, 57nfan 1846 . . . . . . . . 9
59 fmul01lt1lem1.1 . . . . . . . . . . 11
60 nfcv 2572 . . . . . . . . . . 11
6159, 60nffv 5735 . . . . . . . . . 10
6261nfel1 2582 . . . . . . . . 9
6358, 62nfim 1832 . . . . . . . 8
64 eleq1 2496 . . . . . . . . . 10
6564anbi2d 685 . . . . . . . . 9
66 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10
6766eleq1d 2502 . . . . . . . . 9
6865, 67imbi12d 312 . . . . . . . 8
69 fmul01lt1lem1.6 . . . . . . . 8
7063, 68, 69chvar 1968 . . . . . . 7
7170adantlr 696 . . . . . 6
7231, 39, 52, 55, 71seqsplit 11356 . . . . 5
73 eluzfz1 11064 . . . . . . . . . . 11
7418, 73syl 16 . . . . . . . . . 10
7574ancli 535 . . . . . . . . . 10
76 nfcv 2572 . . . . . . . . . . 11
77 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . 13
7856, 77nfan 1846 . . . . . . . . . . . 12
7959, 76nffv 5735 . . . . . . . . . . . . 13
8079nfel1 2582 . . . . . . . . . . . 12
8178, 80nfim 1832 . . . . . . . . . . 11
82 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . 13
8382anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12
84 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . 13
8584eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . 12
8683, 85imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11
8776, 81, 86, 69vtoclgf 3010 . . . . . . . . . 10
8874, 75, 87sylc 58 . . . . . . . . 9
898, 88eqeltrd 2510 . . . . . . . 8
9089adantr 452 . . . . . . 7
916adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
9220adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
93 elfzelz 11059 . . . . . . . . . . . . 13
9493adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
9591, 92, 943jca 1134 . . . . . . . . . . 11
9617adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
97 peano2re 9239 . . . . . . . . . . . . . . 15
9817, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
9998adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
10093zred 10375 . . . . . . . . . . . . . 14
101100adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
10217lep1d 9942 . . . . . . . . . . . . . 14
103102adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
104 elfzle1 11060 . . . . . . . . . . . . . 14
105104adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
10696, 99, 101, 103, 105letrd 9227 . . . . . . . . . . . 12
107 elfzle2 11061 . . . . . . . . . . . . 13
108107adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
109106, 108jca 519 . . . . . . . . . . 11
110 elfz2 11050 . . . . . . . . . . 11
11195, 109, 110sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10
112111, 70syldan 457 . . . . . . . . 9
113112adantlr 696 . . . . . . . 8
11452, 113, 31seqcl 11343 . . . . . . 7
11590, 114remulcld 9116 . . . . . 6
116 fmul01lt1lem1.9 . . . . . . . 8
117116rpred 10648 . . . . . . 7
118117adantr 452 . . . . . 6
119 1re 9090 . . . . . . . . 9
120119a1i 11 . . . . . . . 8
121 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . 14
122 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . 14
123121, 122, 79nfbr 4256 . . . . . . . . . . . . 13
12478, 123nfim 1832 . . . . . . . . . . . 12
12584breq2d 4224 . . . . . . . . . . . . 13
12683, 125imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12
127 fmul01lt1lem1.7 . . . . . . . . . . . 12
12876, 124, 126, 127vtoclgf 3010 . . . . . . . . . . 11
12974, 75, 128sylc 58 . . . . . . . . . 10
130129, 8breqtrrd 4238 . . . . . . . . 9
131130adantr 452 . . . . . . . 8
132 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11
13356, 132nfan 1846 . . . . . . . . . 10
134 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
1356peano2zd 10378 . . . . . . . . . . 11
136135adantr 452 . . . . . . . . . 10
13717adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
138137, 40gtned 9208 . . . . . . . . . . . 12
139138neneqd 2617 . . . . . . . . . . 11
14018adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
141140, 48syl 16 . . . . . . . . . . 11
142 orel1 372 . . . . . . . . . . 11
143139, 141, 142sylc 58 . . . . . . . . . 10
14420adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
145136, 144, 1443jca 1134 . . . . . . . . . . 11
146 zltp1le 10325 . . . . . . . . . . . . . 14
14753, 144, 146syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13
14840, 147mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12
14921adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
150149leidd 9593 . . . . . . . . . . . 12
151148, 150jca 519 . . . . . . . . . . 11
152 elfz2 11050 . . . . . . . . . . 11
153145, 151, 152sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10
1546adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
15520adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
156 elfzelz 11059 . . . . . . . . . . . . . . 15
157156adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
158154, 155, 1573jca 1134 . . . . . . . . . . . . 13
15917adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
160159, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
161156zred 10375 . . . . . . . . . . . . . . . 16
162161adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
163102adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
164 elfzle1 11060 . . . . . . . . . . . . . . . 16
165164adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
166159, 160, 162, 163, 165letrd 9227 . . . . . . . . . . . . . 14
167 elfzle2 11061 . . . . . . . . . . . . . . 15
168167adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
169166, 168jca 519 . . . . . . . . . . . . 13
170 elfz2 11050 . . . . . . . . . . . . 13
171158, 169, 170sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12
172171, 69syldan 457 . . . . . . . . . . 11
173172adantlr 696 . . . . . . . . . 10
174 simpll 731 . . . . . . . . . . 11
1756ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13
17620ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13
177156adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
178175, 176, 1773jca 1134 . . . . . . . . . . . 12
17917ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
18098ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
181161adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
182102ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
183164adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
184179, 180, 181, 182, 183letrd 9227 . . . . . . . . . . . . 13
185167adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
186184, 185jca 519 . . . . . . . . . . . 12
187178, 186, 170sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11
188174, 187, 127syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
189 fmul01lt1lem1.8 . . . . . . . . . . 11
190174, 187, 189syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
19159, 133, 134, 136, 143, 153, 173, 188, 190fmul01 27686 . . . . . . . . 9
192191simprd 450 . . . . . . . 8
193114, 120, 90, 131, 192lemul2ad 9951 . . . . . . 7
19489recnd 9114 . . . . . . . . 9
195194mulid1d 9105 . . . . . . . 8
196195adantr 452 . . . . . . 7
197193, 196breqtrd 4236 . . . . . 6
1988, 11eqbrtrd 4232 . . . . . . 7
199198adantr 452 . . . . . 6
200115, 90, 118, 197, 199lelttrd 9228 . . . . 5
20172, 200eqbrtrd 4232 . . . 4
20229, 201syl5eqbr 4245 . . 3
20328, 202syldan 457 . 2
20413, 203pm2.61dan 767 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936  wnf 1553   wceq 1652   wcel 1725  wnfc 2559   wne 2599   class class class wbr 4212  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995   clt 9120   cle 9121  cz 10282  cuz 10488  crp 10612  cfz 11043   cseq 11323 This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem2  27691 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324
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