Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmul01lt1lem1 Unicode version

Theorem fmul01lt1lem1 27817
 Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value larger than its frist element is larger the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1lem1.1
fmul01lt1lem1.2
fmul01lt1lem1.3
fmul01lt1lem1.4
fmul01lt1lem1.5
fmul01lt1lem1.6
fmul01lt1lem1.7
fmul01lt1lem1.8
fmul01lt1lem1.9
fmul01lt1lem1.10
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1lem1
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem fmul01lt1lem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . 5
21fveq2d 5545 . . . 4
3 fmul01lt1lem1.3 . . . . . . 7
43a1i 10 . . . . . 6
54fveq1d 5543 . . . . 5
6 fmul01lt1lem1.4 . . . . . . 7
7 seq1 11075 . . . . . . 7
86, 7syl 15 . . . . . 6
98adantr 451 . . . . 5
105, 9eqtrd 2328 . . . 4
112, 10eqtrd 2328 . . 3
12 fmul01lt1lem1.10 . . . 4
1411, 13eqbrtrd 4059 . 2
15 simpl 443 . . . 4
16 simpr 447 . . . . . 6
17 df-ne 2461 . . . . . 6
1816, 17sylibr 203 . . . . 5
19 zre 10044 . . . . . . . . 9
206, 19syl 15 . . . . . . . 8
21 fmul01lt1lem1.5 . . . . . . . . . 10
22 eluzelz 10254 . . . . . . . . . 10
2321, 22syl 15 . . . . . . . . 9
24 zre 10044 . . . . . . . . 9
2523, 24syl 15 . . . . . . . 8
26 eluzle 10256 . . . . . . . . 9
2721, 26syl 15 . . . . . . . 8
2820, 25, 273jca 1132 . . . . . . 7
2928adantr 451 . . . . . 6
30 leltne 8927 . . . . . 6
3129, 30syl 15 . . . . 5
3218, 31mpbird 223 . . . 4
3315, 32jca 518 . . 3
343fveq1i 5542 . . . . 5
3534a1i 10 . . . 4
36 remulcl 8838 . . . . . . 7
3736adantl 452 . . . . . 6
38 recn 8843 . . . . . . . . . 10
39383ad2ant1 976 . . . . . . . . 9
40 recn 8843 . . . . . . . . . 10
41403ad2ant2 977 . . . . . . . . 9
42 recn 8843 . . . . . . . . . 10
43423ad2ant3 978 . . . . . . . . 9
4439, 41, 433jca 1132 . . . . . . . 8
45 mulass 8841 . . . . . . . 8
4644, 45syl 15 . . . . . . 7
4746adantl 452 . . . . . 6
48 simpr 447 . . . . . . . . . 10
4948olcd 382 . . . . . . . . 9
5025, 20jca 518 . . . . . . . . . . 11
5150adantr 451 . . . . . . . . . 10
52 lttri2 8920 . . . . . . . . . 10
5351, 52syl 15 . . . . . . . . 9
5449, 53mpbird 223 . . . . . . . 8
5554, 17sylib 188 . . . . . . 7
56 uzp1 10277 . . . . . . . . . 10
5721, 56syl 15 . . . . . . . . 9
5857adantr 451 . . . . . . . 8
59 df-or 359 . . . . . . . 8
6058, 59sylib 188 . . . . . . 7
6155, 60mpd 14 . . . . . 6
626adantr 451 . . . . . . 7
63 uzid 10258 . . . . . . 7
6462, 63syl 15 . . . . . 6
65 simpr 447 . . . . . . . 8
66 id 19 . . . . . . . 8
67 nfcv 2432 . . . . . . . . 9
68 fmul01lt1lem1.2 . . . . . . . . . . 11
69 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11
7068, 69nfan 1783 . . . . . . . . . 10
71 fmul01lt1lem1.1 . . . . . . . . . . . 12
7271, 67nffv 5548 . . . . . . . . . . 11
73 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11
7472, 73nfel 2440 . . . . . . . . . 10
7570, 74nfim 1781 . . . . . . . . 9
76 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11
7776anbi2d 684 . . . . . . . . . 10
78 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11
7978eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10
8077, 79imbi12d 311 . . . . . . . . 9
81 fmul01lt1lem1.6 . . . . . . . . . 10
8281a1i 10 . . . . . . . . 9
8367, 75, 80, 82vtoclgaf 2861 . . . . . . . 8
8465, 66, 83sylc 56 . . . . . . 7
8584adantlr 695 . . . . . 6
8637, 47, 61, 64, 85seqsplit 11095 . . . . 5
87 eluzfz1 10819 . . . . . . . . . . . . 13
8821, 87syl 15 . . . . . . . . . . . 12
8988ancli 534 . . . . . . . . . . . 12
90 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13
91 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . 15
9268, 91nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . 14
9371, 90nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . 15
9493, 73nfel 2440 . . . . . . . . . . . . . 14
9592, 94nfim 1781 . . . . . . . . . . . . 13
96 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . 15
9796anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14
98 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15
9998eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . 14
10097, 99imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13
10190, 95, 100, 82vtoclgaf 2861 . . . . . . . . . . . 12
10288, 89, 101sylc 56 . . . . . . . . . . 11
1038, 102eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10
104103adantr 451 . . . . . . . . 9
105 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13
1066adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10723adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109108adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110106, 107, 1093jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15
11120adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112 peano2re 9001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11320, 112syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
114113adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
115 zre 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
116108, 115syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117116adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118111, 114, 1173jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119 lep1 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12020, 119syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
121120adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122 elfzle1 10815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
123122adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
124121, 123jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
125 letr 8930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
126118, 124, 125sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
128127adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
129126, 128jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15
130110, 129jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
131 elfz2 10805 . . . . . . . . . . . . . 14
132130, 131sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13
133105, 132jca 518 . . . . . . . . . . . 12
134133, 84syl 15 . . . . . . . . . . 11
135134adantlr 695 . . . . . . . . . 10
13661, 135, 37seqcl 11082 . . . . . . . . 9
137104, 136jca 518 . . . . . . . 8
138 remulcl 8838 . . . . . . . 8
139137, 138syl 15 . . . . . . 7
140 fmul01lt1lem1.9 . . . . . . . . 9
141 rpre 10376 . . . . . . . . 9
142140, 141syl 15 . . . . . . . 8
143142adantr 451 . . . . . . 7
144139, 104, 1433jca 1132 . . . . . 6
145 1re 8853 . . . . . . . . . . . 12
146145a1i 10 . . . . . . . . . . 11
147 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
148 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149147, 148, 93nfbr 4083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15092, 149nfim 1781 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15198breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15297, 151imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
153 fmul01lt1lem1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
154153a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15590, 150, 152, 154vtoclgaf 2861 . . . . . . . . . . . . . . 15
15688, 89, 155sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14
157156, 8breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . 13
158157adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
159104, 158jca 518 . . . . . . . . . . 11
160136, 146, 1593jca 1132 . . . . . . . . . 10
161 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . 13
16268, 161nfan 1783 . . . . . . . . . . . 12
163 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12
164 peano2z 10076 . . . . . . . . . . . . . 14
1656, 164syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
166165adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
16720adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
168167, 48jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15
169 ltne 8933 . . . . . . . . . . . . . . 15
170168, 169syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
171170, 17sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13
17221adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
173172, 56syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
174 orel1 371 . . . . . . . . . . . . 13
175171, 173, 174sylc 56 . . . . . . . . . . . 12
17623adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
177166, 176, 1763jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14
17862, 176jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
179 zltp1le 10083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
180178, 179syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
18148, 180mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15
18225adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
183 leid 8932 . . . . . . . . . . . . . . . 16
184182, 183syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
185181, 184jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
186177, 185jca 518 . . . . . . . . . . . . 13
187 elfz2 10805 . . . . . . . . . . . . 13
188186, 187sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12
189 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . 15
1906adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
19123adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
192 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
193192adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
194190, 191, 1933jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
19520adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
196195, 112syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
197 zre 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
198192, 197syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
199198adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
200195, 196, 1993jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
201120adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
202 elfzle1 10815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
203202adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
204201, 203jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
205 letr 8930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
206200, 204, 205sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
207 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
208207adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
209206, 208jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
210194, 209jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
211 elfz2 10805 . . . . . . . . . . . . . . . 16
212210, 211sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . 15
213189, 212jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
214213, 81syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
215214adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12
216 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . 14
2176ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
21823ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
219192adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
220217, 218, 2193jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16
22120ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
222113ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
223198adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
224221, 222, 2233jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
225120ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
226202adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
227225, 226jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
228224, 227, 205sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
229207adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
230228, 229jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
231220, 230jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15
232231, 211sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14
233216, 232jca 518 . . . . . . . . . . . . 13
234233, 153syl 15 . . . . . . . . . . . 12
235 fmul01lt1lem1.8 . . . . . . . . . . . . 13
236233, 235syl 15 . . . . . . . . . . . 12
23771, 162, 163, 166, 175, 188, 215, 234, 236fmul01 27813 . . . . . . . . . . 11
238237simprd 449 . . . . . . . . . 10
239160, 238jca 518 . . . . . . . . 9
240 lemul2a 9627 . . . . . . . . 9
241239, 240syl 15 . . . . . . . 8
242 recn 8843 . . . . . . . . . . 11
243103, 242syl 15 . . . . . . . . . 10
244 mulid1 8851 . . . . . . . . . 10
245243, 244syl 15 . . . . . . . . 9
246245adantr 451 . . . . . . . 8
247241, 246breqtrd 4063 . . . . . . 7
2488, 12eqbrtrd 4059 . . . . . . . 8
249248adantr 451 . . . . . . 7
250247, 249jca 518 . . . . . 6
251 lelttr 8928 . . . . . 6
252144, 250, 251sylc 56 . . . . 5
25386, 252eqbrtrd 4059 . . . 4
25435, 253eqbrtrd 4059 . . 3
25533, 254syl 15 . 2
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 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   w3a 934  wnf 1534   wceq 1632   wcel 1696  wnfc 2419   wne 2459   class class class wbr 4039  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758   clt 8883   cle 8884  cz 10040  cuz 10246  crp 10370  cfz 10798   cseq 11062 This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem2  27818 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063
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