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Theorem fmul01lt1lem2 27818
Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value  E larger than any multiplicand, is larger than the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1lem2.1  |-  F/_ i B
fmul01lt1lem2.2  |-  F/ i
ph
fmul01lt1lem2.3  |-  A  =  seq  L (  x.  ,  B )
fmul01lt1lem2.4  |-  ( ph  ->  L  e.  ZZ )
fmul01lt1lem2.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L ) )
fmul01lt1lem2.6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
fmul01lt1lem2.7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  i ) )
fmul01lt1lem2.8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  <_  1
)
fmul01lt1lem2.9  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
fmul01lt1lem2.10  |-  ( ph  ->  J  e.  ( L ... M ) )
fmul01lt1lem2.11  |-  ( ph  ->  ( B `  J
)  <  E )
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1lem2  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  <  E )
Distinct variable groups:    i, J    i, L    i, M
Allowed substitution hints:    ph( i)    A( i)    B( i)    E( i)

Proof of Theorem fmul01lt1lem2
Dummy variables  a 
b  c  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmul01lt1lem2.1 . . 3  |-  F/_ i B
2 fmul01lt1lem2.2 . . . 4  |-  F/ i
ph
3 nfv 1609 . . . 4  |-  F/ i  J  =  L
42, 3nfan 1783 . . 3  |-  F/ i ( ph  /\  J  =  L )
5 fmul01lt1lem2.3 . . 3  |-  A  =  seq  L (  x.  ,  B )
6 fmul01lt1lem2.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ZZ )
76adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  =  L )  ->  L  e.  ZZ )
8 fmul01lt1lem2.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L ) )
98adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  =  L )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L )
)
10 fmul01lt1lem2.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
1110adantlr 695 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  L )  /\  i  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
12 fmul01lt1lem2.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  i ) )
1312adantlr 695 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  L )  /\  i  e.  ( L ... M
) )  ->  0  <_  ( B `  i
) )
14 fmul01lt1lem2.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  <_  1
)
1514adantlr 695 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  L )  /\  i  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  i )  <_  1 )
16 fmul01lt1lem2.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
1716adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  =  L )  ->  E  e.  RR+ )
18 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  =  L )  ->  J  =  L )
1918fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  =  L )  ->  ( B `  J )  =  ( B `  L ) )
20 fmul01lt1lem2.11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B `  J
)  <  E )
2120adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  =  L )  ->  ( B `  J )  <  E )
2219, 21eqbrtrrd 4061 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  =  L )  ->  ( B `  L )  <  E )
231, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 22fmul01lt1lem1 27817 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  =  L )  ->  ( A `  M )  <  E )
24 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
a
25 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i  a  e.  ( L ... M )
262, 25nfan 1783 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ph  /\  a  e.  ( L ... M
) )
271, 24nffv 5548 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
( B `  a
)
28 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i RR
2927, 28nfel 2440 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( B `  a
)  e.  RR
3026, 29nfim 1781 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ( ph  /\  a  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  a
)  e.  RR )
31 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  a  ->  (
i  e.  ( L ... M )  <->  a  e.  ( L ... M ) ) )
3231anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  a  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  <->  ( ph  /\  a  e.  ( L ... M ) ) ) )
33 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  a  ->  ( B `  i )  =  ( B `  a ) )
3433eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  a  ->  (
( B `  i
)  e.  RR  <->  ( B `  a )  e.  RR ) )
3532, 34imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  a  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  a
)  e.  RR ) ) )
3610a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  i )  e.  RR ) )
3724, 30, 35, 36vtoclgaf 2861 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  a  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  a )  e.  RR ) )
3837anabsi7 792 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  a )  e.  RR )
39 remulcl 8838 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( a  x.  j
)  e.  RR )
4039adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR  /\  j  e.  RR ) )  -> 
( a  x.  j
)  e.  RR )
418, 38, 40seqcl 11082 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 M )  e.  RR )
4241adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  M
)  e.  RR )
43 fmul01lt1lem2.10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  ( L ... M ) )
44 elfzuz3 10811 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ( L ... M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  J )
)
4543, 44syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  J ) )
46 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i  a  e.  ( J ... M )
472, 46nfan 1783 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ph  /\  a  e.  ( J ... M
) )
4847, 29nfim 1781 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ( ph  /\  a  e.  ( J ... M ) )  -> 
( B `  a
)  e.  RR )
49 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  a  ->  (
i  e.  ( J ... M )  <->  a  e.  ( J ... M ) ) )
5049anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  a  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( J ... M
) )  <->  ( ph  /\  a  e.  ( J ... M ) ) ) )
5150, 34imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( J ... M ) )  -> 
( B `  i
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  a  e.  ( J ... M ) )  -> 
( B `  a
)  e.  RR ) ) )
52 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( J ... M ) )  ->  ph )
536adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( J ... M ) )  ->  L  e.  ZZ )
54 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  M  e.  ZZ )
558, 54syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
5655adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( J ... M ) )  ->  M  e.  ZZ )
57 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( J ... M )  ->  i  e.  ZZ )
5857adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( J ... M ) )  ->  i  e.  ZZ )
5953, 56, 583jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( J ... M ) )  ->  ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ ) )
60 zre 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
616, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
6261adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( J ... M ) )  ->  L  e.  RR )
63 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( J  e.  ( L ... M )  ->  J  e.  ZZ )
6443, 63syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
65 zre 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  RR )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  J  e.  RR )
6766adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( J ... M ) )  ->  J  e.  RR )
68 zre 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ZZ  ->  i  e.  RR )
6957, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( J ... M )  ->  i  e.  RR )
7069adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( J ... M ) )  ->  i  e.  RR )
7162, 67, 703jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( J ... M ) )  ->  ( L  e.  RR  /\  J  e.  RR  /\  i  e.  RR ) )
72 elfzle1 10815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( J  e.  ( L ... M )  ->  L  <_  J )
7343, 72syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  L  <_  J )
7473adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( J ... M ) )  ->  L  <_  J )
75 elfzle1 10815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( J ... M )  ->  J  <_  i )
7675adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( J ... M ) )  ->  J  <_  i )
7774, 76jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( J ... M ) )  ->  ( L  <_  J  /\  J  <_ 
i ) )
78 letr 8930 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( L  e.  RR  /\  J  e.  RR  /\  i  e.  RR )  ->  (
( L  <_  J  /\  J  <_  i )  ->  L  <_  i
) )
7971, 77, 78sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( J ... M ) )  ->  L  <_  i )
80 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( J ... M )  ->  i  <_  M )
8180adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( J ... M ) )  ->  i  <_  M )
8279, 81jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( J ... M ) )  ->  ( L  <_  i  /\  i  <_  M ) )
8359, 82jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( J ... M ) )  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
84 elfz2 10805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( L ... M )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
8583, 84sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( J ... M ) )  ->  i  e.  ( L ... M ) )
8652, 85jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( J ... M ) )  ->  ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) ) )
8786, 10syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( J ... M ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
8887a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( J ... M )  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( J ... M
) )  ->  ( B `  i )  e.  RR ) )
8924, 48, 51, 88vtoclgaf 2861 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( J ... M )  ->  (
( ph  /\  a  e.  ( J ... M
) )  ->  ( B `  a )  e.  RR ) )
9089anabsi7 792 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( J ... M ) )  ->  ( B `  a )  e.  RR )
9145, 90, 40seqcl 11082 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  J (  x.  ,  B ) `
 M )  e.  RR )
9291adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (  seq  J (  x.  ,  B ) `  M
)  e.  RR )
93 rpre 10376 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  RR+  ->  E  e.  RR )
9416, 93syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
9594adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  E  e.  RR )
9642, 92, 953jca 1132 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (
(  seq  L (  x.  ,  B ) `  M )  e.  RR  /\  (  seq  J (  x.  ,  B ) `
 M )  e.  RR  /\  E  e.  RR ) )
97 remulcl 8838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( a  x.  b
)  e.  RR )
9897adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  J  =  L )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  ( a  x.  b )  e.  RR )
99 simp1 955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  a  e.  RR )
100 recn 8843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  RR  ->  a  e.  CC )
10199, 100syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  a  e.  CC )
102 simp2 956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  b  e.  RR )
103 recn 8843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  RR  ->  b  e.  CC )
104102, 103syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  b  e.  CC )
105 simp3 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  c  e.  RR )
106 recn 8843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  RR  ->  c  e.  CC )
107105, 106syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  c  e.  CC )
108101, 104, 1073jca 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  (
a  e.  CC  /\  b  e.  CC  /\  c  e.  CC ) )
109 mulass 8841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  (
( a  x.  b
)  x.  c )  =  ( a  x.  ( b  x.  c
) ) )
110108, 109syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  (
( a  x.  b
)  x.  c )  =  ( a  x.  ( b  x.  c
) ) )
111110adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  J  =  L )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  c  e.  RR )
)  ->  ( (
a  x.  b )  x.  c )  =  ( a  x.  (
b  x.  c ) ) )
112 zcn 10045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  CC )
11364, 112syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  J  e.  CC )
114 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
115114a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
116113, 115jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( J  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
117 npcan 9076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( J  - 
1 )  +  1 )  =  J )
118116, 117syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  +  1 )  =  J )
119118fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  J
) )
120119eleq2d 2363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  e.  (
ZZ>= `  ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  <->  M  e.  ( ZZ>= `  J )
) )
12145, 120mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( ( J  - 
1 )  +  1 ) ) )
122121adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( ( J  -  1 )  +  1 ) ) )
1236adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  L  e.  ZZ )
12464adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  J  e.  ZZ )
125 1z 10069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
126125a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  1  e.  ZZ )
127124, 126jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  ( J  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )
128 zsubcl 10077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( J  -  1 )  e.  ZZ )
129127, 128syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  ( J  -  1 )  e.  ZZ )
13061, 66jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( L  e.  RR  /\  J  e.  RR ) )
131 leloe 8924 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( L  e.  RR  /\  J  e.  RR )  ->  ( L  <_  J  <->  ( L  <  J  \/  L  =  J )
) )
132130, 131syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( L  <_  J  <->  ( L  <  J  \/  L  =  J )
) )
13373, 132mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( L  <  J  \/  L  =  J
) )
134133adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  ( L  <  J  \/  L  =  J ) )
135 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  -.  J  =  L )
136 eqcom 2298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  =  L  <->  L  =  J )
137136notbii 287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  J  =  L  <->  -.  L  =  J )
138135, 137sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  -.  L  =  J )
139 orel2 372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  L  =  J  -> 
( ( L  < 
J  \/  L  =  J )  ->  L  <  J ) )
140138, 139syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (
( L  <  J  \/  L  =  J
)  ->  L  <  J ) )
141134, 140mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  L  <  J )
1426, 64jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( L  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ ) )
143 zltlem1 10086 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( L  <  J  <->  L  <_  ( J  - 
1 ) ) )
144142, 143syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( L  <  J  <->  L  <_  ( J  - 
1 ) ) )
145144adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  ( L  <  J  <->  L  <_  ( J  -  1 ) ) )
146141, 145mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  L  <_  ( J  -  1 ) )
147123, 129, 1463jca 1132 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  ( L  e.  ZZ  /\  ( J  -  1 )  e.  ZZ  /\  L  <_  ( J  -  1 ) ) )
148 eluz2 10252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  L
)  <->  ( L  e.  ZZ  /\  ( J  -  1 )  e.  ZZ  /\  L  <_ 
( J  -  1 ) ) )
149147, 148sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  ( J  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  L
) )
150 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i  -.  J  =  L
1512, 150nfan 1783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i ( ph  /\  -.  J  =  L )
152151, 25nfan 1783 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ( ph  /\  -.  J  =  L
)  /\  a  e.  ( L ... M ) )
153152, 29nfim 1781 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( ( ph  /\ 
-.  J  =  L )  /\  a  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  a )  e.  RR )
15431anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( ph  /\  -.  J  =  L
)  /\  i  e.  ( L ... M ) )  <->  ( ( ph  /\ 
-.  J  =  L )  /\  a  e.  ( L ... M
) ) ) )
155154, 34imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( ( ph  /\ 
-.  J  =  L )  /\  i  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )  <->  ( (
( ph  /\  -.  J  =  L )  /\  a  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  a )  e.  RR ) ) )
15610adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  J  =  L )  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
157156a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( L ... M )  ->  (
( ( ph  /\  -.  J  =  L
)  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR ) )
15824, 153, 155, 157vtoclgaf 2861 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( L ... M )  ->  (
( ( ph  /\  -.  J  =  L
)  /\  a  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  a )  e.  RR ) )
159158anabsi7 792 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  J  =  L )  /\  a  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  a )  e.  RR )
16098, 111, 122, 149, 159seqsplit 11095 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  M
)  =  ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  ( J  -  1
) )  x.  (  seq  ( ( J  - 
1 )  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) ) )
161118adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (
( J  -  1 )  +  1 )  =  J )
162161seqeq1d 11068 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  seq  ( ( J  - 
1 )  +  1 ) (  x.  ,  B )  =  seq  J (  x.  ,  B
) )
163162fveq1d 5543 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (  seq  ( ( J  - 
1 )  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
)  =  (  seq 
J (  x.  ,  B ) `  M
) )
164163oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (
(  seq  L (  x.  ,  B ) `  ( J  -  1
) )  x.  (  seq  ( ( J  - 
1 )  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  =  ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 ( J  - 
1 ) )  x.  (  seq  J (  x.  ,  B ) `
 M ) ) )
165160, 164eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  M
)  =  ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  ( J  -  1
) )  x.  (  seq  J (  x.  ,  B ) `  M
) ) )
166 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i  a  e.  ( L ... ( J  - 
1 ) )
167151, 166nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i ( ( ph  /\  -.  J  =  L
)  /\  a  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )
168167, 29nfim 1781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i ( ( ( ph  /\ 
-.  J  =  L )  /\  a  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( B `  a )  e.  RR )
169 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  a  ->  (
i  e.  ( L ... ( J  - 
1 ) )  <->  a  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) ) )
170169anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( ph  /\  -.  J  =  L
)  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  <->  ( ( ph  /\ 
-.  J  =  L )  /\  a  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) ) ) )
171170, 34imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( ( ph  /\ 
-.  J  =  L )  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )  <->  ( (
( ph  /\  -.  J  =  L )  /\  a  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( B `  a )  e.  RR ) ) )
172 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ph )
1736adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  L  e.  ZZ )
17455adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
175 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( L ... ( J  -  1
) )  ->  i  e.  ZZ )
176175adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ZZ )
177173, 174, 1763jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ ) )
178 elfzle1 10815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( L ... ( J  -  1
) )  ->  L  <_  i )
179178adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  L  <_  i )
180175, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  ( L ... ( J  -  1
) )  ->  i  e.  RR )
181180adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  i  e.  RR )
18266adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  J  e.  RR )
183 zre 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
18455, 183syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
185184adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
186181, 182, 1853jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( i  e.  RR  /\  J  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
187 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  1  e.  RR
188187a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
18966, 188jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( J  e.  RR  /\  1  e.  RR ) )
190 resubcl 9127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( J  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( J  -  1 )  e.  RR )
191189, 190syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  RR )
192191adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( J  -  1 )  e.  RR )
193181, 192, 1823jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( i  e.  RR  /\  ( J  -  1 )  e.  RR  /\  J  e.  RR ) )
194 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  e.  ( L ... ( J  -  1
) )  ->  i  <_  ( J  -  1 ) )
195194adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  i  <_  ( J  -  1 ) )
196 lem1 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( J  e.  RR  ->  ( J  -  1 )  <_  J )
19766, 196syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  <_  J )
198197adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( J  -  1 )  <_  J )
199195, 198jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( i  <_  ( J  -  1 )  /\  ( J  -  1 )  <_  J ) )
200 letr 8930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  RR  /\  ( J  -  1
)  e.  RR  /\  J  e.  RR )  ->  ( ( i  <_ 
( J  -  1 )  /\  ( J  -  1 )  <_  J )  ->  i  <_  J ) )
201193, 199, 200sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  i  <_  J )
202 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( J  e.  ( L ... M )  ->  J  <_  M )
20343, 202syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  J  <_  M )
204203adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  J  <_  M )
205201, 204jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( i  <_  J  /\  J  <_  M ) )
206 letr 8930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  RR  /\  J  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  (
( i  <_  J  /\  J  <_  M )  ->  i  <_  M
) )
207186, 205, 206sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  i  <_  M )
208179, 207jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( L  <_  i  /\  i  <_  M ) )
209177, 208jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
210209, 84sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( L ... M ) )
211172, 210jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) ) )
212211, 10syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
213212adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  J  =  L )  /\  i  e.  ( L ... ( J  - 
1 ) ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
214213a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( L ... ( J  -  1
) )  ->  (
( ( ph  /\  -.  J  =  L
)  /\  i  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR ) )
21524, 168, 171, 214vtoclgaf 2861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( L ... ( J  -  1
) )  ->  (
( ( ph  /\  -.  J  =  L
)  /\  a  e.  ( L ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( B `  a )  e.  RR ) )
216215anabsi7 792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  J  =  L )  /\  a  e.  ( L ... ( J  - 
1 ) ) )  ->  ( B `  a )  e.  RR )
21739adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  J  =  L )  /\  ( a  e.  RR  /\  j  e.  RR ) )  ->  ( a  x.  j )  e.  RR )
218149, 216, 217seqcl 11082 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  ( J  -  1 ) )  e.  RR )
219187a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  1  e.  RR )
220 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq  J
(  x.  ,  B
)  =  seq  J
(  x.  ,  B
)
22145adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  J )
)
222 eluzfz2 10820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  J
)  ->  M  e.  ( J ... M ) )
22345, 222syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ( J ... M ) )
224223adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  M  e.  ( J ... M
) )
22587adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  J  =  L )  /\  i  e.  ( J ... M ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
22686, 12syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( J ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  i ) )
227226adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  J  =  L )  /\  i  e.  ( J ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  i )
)
22886, 14syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( J ... M ) )  ->  ( B `  i )  <_  1
)
229228adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  J  =  L )  /\  i  e.  ( J ... M ) )  ->  ( B `  i )  <_  1
)
2301, 151, 220, 124, 221, 224, 225, 227, 229fmul01 27813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (
0  <_  (  seq  J (  x.  ,  B
) `  M )  /\  (  seq  J (  x.  ,  B ) `
 M )  <_ 
1 ) )
231230simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  0  <_  (  seq  J (  x.  ,  B ) `
 M ) )
23292, 231jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (
(  seq  J (  x.  ,  B ) `  M )  e.  RR  /\  0  <_  (  seq  J (  x.  ,  B
) `  M )
) )
233218, 219, 2323jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (
(  seq  L (  x.  ,  B ) `  ( J  -  1
) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( (  seq  J
(  x.  ,  B
) `  M )  e.  RR  /\  0  <_ 
(  seq  J (  x.  ,  B ) `  M ) ) ) )
234 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  seq  L
(  x.  ,  B
)  =  seq  L
(  x.  ,  B
)
2358adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L )
)
236125a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
23764, 236jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( J  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )
238237, 128syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  ZZ )
2396, 55, 2383jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( J  -  1
)  e.  ZZ ) )
240239adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( J  -  1 )  e.  ZZ ) )
241191, 66, 1843jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  e.  RR  /\  J  e.  RR  /\  M  e.  RR )
)
242241adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (
( J  -  1 )  e.  RR  /\  J  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
24366adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  J  e.  RR )
244243, 196syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  ( J  -  1 )  <_  J )
245203adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  J  <_  M )
246244, 245jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (
( J  -  1 )  <_  J  /\  J  <_  M ) )
247 letr 8930 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  -  1 )  e.  RR  /\  J  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  (
( ( J  - 
1 )  <_  J  /\  J  <_  M )  ->  ( J  - 
1 )  <_  M
) )
248242, 246, 247sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  ( J  -  1 )  <_  M )
249146, 248jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  ( L  <_  ( J  - 
1 )  /\  ( J  -  1 )  <_  M ) )
250240, 249jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( J  -  1
)  e.  ZZ )  /\  ( L  <_ 
( J  -  1 )  /\  ( J  -  1 )  <_  M ) ) )
251 elfz2 10805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  -  1 )  e.  ( L ... M )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( J  -  1 )  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  ( J  - 
1 )  /\  ( J  -  1 )  <_  M ) ) )
252250, 251sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  ( J  -  1 )  e.  ( L ... M ) )
25312adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  J  =  L )  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  i )
)
25414adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  J  =  L )  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  <_  1
)
2551, 151, 234, 123, 235, 252, 156, 253, 254fmul01 27813 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (
0  <_  (  seq  L (  x.  ,  B
) `  ( J  -  1 ) )  /\  (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  ( J  -  1 ) )  <_  1 ) )
256255simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  ( J  -  1 ) )  <_  1 )
257233, 256jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (
( (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  ( J  -  1 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( (  seq  J (  x.  ,  B ) `  M )  e.  RR  /\  0  <_  (  seq  J (  x.  ,  B
) `  M )
) )  /\  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  ( J  -  1 ) )  <_  1 ) )
258 lemul1a 9626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  ( J  -  1 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( (  seq  J (  x.  ,  B ) `  M )  e.  RR  /\  0  <_  (  seq  J (  x.  ,  B
) `  M )
) )  /\  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  ( J  -  1 ) )  <_  1 )  ->  ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  ( J  -  1 ) )  x.  (  seq 
J (  x.  ,  B ) `  M
) )  <_  (
1  x.  (  seq 
J (  x.  ,  B ) `  M
) ) )
259257, 258syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (
(  seq  L (  x.  ,  B ) `  ( J  -  1
) )  x.  (  seq  J (  x.  ,  B ) `  M
) )  <_  (
1  x.  (  seq 
J (  x.  ,  B ) `  M
) ) )
260165, 259eqbrtrd 4059 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  M
)  <_  ( 1  x.  (  seq  J
(  x.  ,  B
) `  M )
) )
261 recn 8843 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  J (  x.  ,  B ) `  M )  e.  RR  ->  (  seq  J (  x.  ,  B ) `
 M )  e.  CC )
26292, 261syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (  seq  J (  x.  ,  B ) `  M
)  e.  CC )
263 mulid2 8852 . . . . . . 7  |-  ( (  seq  J (  x.  ,  B ) `  M )  e.  CC  ->  ( 1  x.  (  seq  J (  x.  ,  B ) `  M
) )  =  (  seq  J (  x.  ,  B ) `  M ) )
264262, 263syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (
1  x.  (  seq 
J (  x.  ,  B ) `  M
) )  =  (  seq  J (  x.  ,  B ) `  M ) )
265260, 264breqtrd 4063 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  M
)  <_  (  seq  J (  x.  ,  B
) `  M )
)
2661, 2, 220, 64, 45, 87, 226, 228, 16, 20fmul01lt1lem1 27817 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  J (  x.  ,  B ) `
 M )  < 
E )
267266adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (  seq  J (  x.  ,  B ) `  M
)  <  E )
268265, 267jca 518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (
(  seq  L (  x.  ,  B ) `  M )  <_  (  seq  J (  x.  ,  B ) `  M
)  /\  (  seq  J (  x.  ,  B
) `  M )  <  E ) )
269 lelttr 8928 . . . 4  |-  ( ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 M )  e.  RR  /\  (  seq 
J (  x.  ,  B ) `  M
)  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  M
)  <_  (  seq  J (  x.  ,  B
) `  M )  /\  (  seq  J (  x.  ,  B ) `
 M )  < 
E )  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  M
)  <  E )
)
27096, 268, 269sylc 56 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  M
)  <  E )
2715fveq1i 5542 . . . 4  |-  ( A `
 M )  =  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 M )
272271breq1i 4046 . . 3  |-  ( ( A `  M )  <  E  <->  (  seq  L (  x.  ,  B
) `  M )  <  E )
273270, 272sylibr 203 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  L )  ->  ( A `  M )  <  E )
27423, 273pm2.61dan 766 1  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  <  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   ...cfz 10798    seq cseq 11062
This theorem is referenced by:  fmul01lt1  27819
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063
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