Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmul01lt1lem2 Unicode version

Theorem fmul01lt1lem2 27818
 Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value larger than any multiplicand, is larger than the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1lem2.1
fmul01lt1lem2.2
fmul01lt1lem2.3
fmul01lt1lem2.4
fmul01lt1lem2.5
fmul01lt1lem2.6
fmul01lt1lem2.7
fmul01lt1lem2.8
fmul01lt1lem2.9
fmul01lt1lem2.10
fmul01lt1lem2.11
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1lem2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem fmul01lt1lem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmul01lt1lem2.1 . . 3
2 fmul01lt1lem2.2 . . . 4
3 nfv 1609 . . . 4
42, 3nfan 1783 . . 3
5 fmul01lt1lem2.3 . . 3
6 fmul01lt1lem2.4 . . . 4
76adantr 451 . . 3
8 fmul01lt1lem2.5 . . . 4
98adantr 451 . . 3
10 fmul01lt1lem2.6 . . . 4
1110adantlr 695 . . 3
12 fmul01lt1lem2.7 . . . 4
1312adantlr 695 . . 3
14 fmul01lt1lem2.8 . . . 4
1514adantlr 695 . . 3
16 fmul01lt1lem2.9 . . . 4
1716adantr 451 . . 3
18 simpr 447 . . . . 5
1918fveq2d 5545 . . . 4
20 fmul01lt1lem2.11 . . . . 5
2120adantr 451 . . . 4
2219, 21eqbrtrrd 4061 . . 3
231, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 22fmul01lt1lem1 27817 . 2
24 nfcv 2432 . . . . . . . . 9
25 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11
262, 25nfan 1783 . . . . . . . . . 10
271, 24nffv 5548 . . . . . . . . . . 11
28 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11
2927, 28nfel 2440 . . . . . . . . . 10
3026, 29nfim 1781 . . . . . . . . 9
31 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11
3231anbi2d 684 . . . . . . . . . 10
33 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11
3433eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10
3532, 34imbi12d 311 . . . . . . . . 9
3610a1i 10 . . . . . . . . 9
3724, 30, 35, 36vtoclgaf 2861 . . . . . . . 8
3837anabsi7 792 . . . . . . 7
39 remulcl 8838 . . . . . . . 8
4039adantl 452 . . . . . . 7
418, 38, 40seqcl 11082 . . . . . 6
4241adantr 451 . . . . 5
43 fmul01lt1lem2.10 . . . . . . . 8
44 elfzuz3 10811 . . . . . . . 8
4543, 44syl 15 . . . . . . 7
46 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11
472, 46nfan 1783 . . . . . . . . . 10
4847, 29nfim 1781 . . . . . . . . 9
49 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11
5049anbi2d 684 . . . . . . . . . 10
5150, 34imbi12d 311 . . . . . . . . 9
52 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12
536adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
54 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
558, 54syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5655adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5857adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
5953, 56, 583jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14
60 zre 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
616, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6261adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
63 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6443, 63syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
65 zre 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6766adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
68 zre 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6957, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7069adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7162, 67, 703jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16
72 elfzle1 10815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7343, 72syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7473adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
75 elfzle1 10815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7675adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7774, 76jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
78 letr 8930 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7971, 77, 78sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15
80 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8180adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
8279, 81jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
8359, 82jca 518 . . . . . . . . . . . . 13
84 elfz2 10805 . . . . . . . . . . . . 13
8583, 84sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12
8652, 85jca 518 . . . . . . . . . . 11
8786, 10syl 15 . . . . . . . . . 10
8887a1i 10 . . . . . . . . 9
8924, 48, 51, 88vtoclgaf 2861 . . . . . . . 8
9089anabsi7 792 . . . . . . 7
9145, 90, 40seqcl 11082 . . . . . 6
9291adantr 451 . . . . 5
93 rpre 10376 . . . . . . 7
9416, 93syl 15 . . . . . 6
9594adantr 451 . . . . 5
9642, 92, 953jca 1132 . . . 4
97 remulcl 8838 . . . . . . . . . 10
9897adantl 452 . . . . . . . . 9
99 simp1 955 . . . . . . . . . . . . 13
100 recn 8843 . . . . . . . . . . . . 13
10199, 100syl 15 . . . . . . . . . . . 12
102 simp2 956 . . . . . . . . . . . . 13
103 recn 8843 . . . . . . . . . . . . 13
104102, 103syl 15 . . . . . . . . . . . 12
105 simp3 957 . . . . . . . . . . . . 13
106 recn 8843 . . . . . . . . . . . . 13
107105, 106syl 15 . . . . . . . . . . . 12
108101, 104, 1073jca 1132 . . . . . . . . . . 11
109 mulass 8841 . . . . . . . . . . 11
110108, 109syl 15 . . . . . . . . . 10
111110adantl 452 . . . . . . . . 9
112 zcn 10045 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11364, 112syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
114 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115114a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
116113, 115jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
117 npcan 9076 . . . . . . . . . . . . . 14
118116, 117syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
119118fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12
120119eleq2d 2363 . . . . . . . . . . 11
12145, 120mpbird 223 . . . . . . . . . 10
122121adantr 451 . . . . . . . . 9
1236adantr 451 . . . . . . . . . . 11
12464adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
125 1z 10069 . . . . . . . . . . . . . 14
126125a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
127124, 126jca 518 . . . . . . . . . . . 12
128 zsubcl 10077 . . . . . . . . . . . 12
129127, 128syl 15 . . . . . . . . . . 11
13061, 66jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
131 leloe 8924 . . . . . . . . . . . . . . . 16
132130, 131syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
13373, 132mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14
134133adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
135 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15
136 eqcom 2298 . . . . . . . . . . . . . . . 16
137136notbii 287 . . . . . . . . . . . . . . 15
138135, 137sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14
139 orel2 372 . . . . . . . . . . . . . 14
140138, 139syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
141134, 140mpd 14 . . . . . . . . . . . 12
1426, 64jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
143 zltlem1 10086 . . . . . . . . . . . . . 14
144142, 143syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
145144adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
146141, 145mpbid 201 . . . . . . . . . . 11
147123, 129, 1463jca 1132 . . . . . . . . . 10
148 eluz2 10252 . . . . . . . . . 10
149147, 148sylibr 203 . . . . . . . . 9
150 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . 14
1512, 150nfan 1783 . . . . . . . . . . . . 13
152151, 25nfan 1783 . . . . . . . . . . . 12
153152, 29nfim 1781 . . . . . . . . . . 11
15431anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12
155154, 34imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11
15610adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12
157156a1i 10 . . . . . . . . . . 11
15824, 153, 155, 157vtoclgaf 2861 . . . . . . . . . 10
159158anabsi7 792 . . . . . . . . 9
16098, 111, 122, 149, 159seqsplit 11095 . . . . . . . 8
161118adantr 451 . . . . . . . . . . 11
162161seqeq1d 11068 . . . . . . . . . 10
163162fveq1d 5543 . . . . . . . . 9
164163oveq2d 5890 . . . . . . . 8
165160, 164eqtrd 2328 . . . . . . 7
166 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . 15
167151, 166nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . 14
168167, 29nfim 1781 . . . . . . . . . . . . 13
169 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . 15
170169anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14
171170, 34imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13
172 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1736adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
17455adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
175 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
176175adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
177173, 174, 1763jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
178 elfzle1 10815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
179178adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
180175, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
181180adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
18266adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
183 zre 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
18455, 183syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
185184adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
186181, 182, 1853jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
187 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
188187a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
18966, 188jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
190 resubcl 9127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
191189, 190syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
192191adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
193181, 192, 1823jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
194 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
195194adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
196 lem1 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
19766, 196syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
198197adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
199195, 198jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
200 letr 8930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
201193, 199, 200sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
202 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
20343, 202syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
204203adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
205201, 204jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
206 letr 8930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
207186, 205, 206sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
208179, 207jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
209177, 208jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
210209, 84sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
211172, 210jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
212211, 10syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
213212adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14
214213a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
21524, 168, 171, 214vtoclgaf 2861 . . . . . . . . . . . 12
216215anabsi7 792 . . . . . . . . . . 11
21739adantl 452 . . . . . . . . . . 11
218149, 216, 217seqcl 11082 . . . . . . . . . 10
219187a1i 10 . . . . . . . . . 10
220 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13
22145adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
222 eluzfz2 10820 . . . . . . . . . . . . . . 15
22345, 222syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
224223adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
22587adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13
22686, 12syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
227226adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13
22886, 14syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
229228adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13
2301, 151, 220, 124, 221, 224, 225, 227, 229fmul01 27813 . . . . . . . . . . . 12
231230simpld 445 . . . . . . . . . . 11
23292, 231jca 518 . . . . . . . . . 10
233218, 219, 2323jca 1132 . . . . . . . . 9
234 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11
2358adantr 451 . . . . . . . . . . 11
236125a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
23764, 236jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
238237, 128syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
2396, 55, 2383jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14
240239adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
241191, 66, 1843jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16
242241adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
24366adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
244243, 196syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
245203adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
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