Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmul01lt1lem2 Structured version   Unicode version

Theorem fmul01lt1lem2 27672
 Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value larger than any multiplicand, is larger than the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1lem2.1
fmul01lt1lem2.2
fmul01lt1lem2.3
fmul01lt1lem2.4
fmul01lt1lem2.5
fmul01lt1lem2.6
fmul01lt1lem2.7
fmul01lt1lem2.8
fmul01lt1lem2.9
fmul01lt1lem2.10
fmul01lt1lem2.11
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1lem2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem fmul01lt1lem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmul01lt1lem2.1 . . 3
2 fmul01lt1lem2.2 . . . 4
3 nfv 1629 . . . 4
42, 3nfan 1846 . . 3
5 fmul01lt1lem2.3 . . 3
6 fmul01lt1lem2.4 . . . 4
8 fmul01lt1lem2.5 . . . 4
10 fmul01lt1lem2.6 . . . 4
12 fmul01lt1lem2.7 . . . 4
14 fmul01lt1lem2.8 . . . 4
16 fmul01lt1lem2.9 . . . 4
18 simpr 448 . . . . 5
1918fveq2d 5724 . . . 4
20 fmul01lt1lem2.11 . . . . 5
2120adantr 452 . . . 4
2219, 21eqbrtrrd 4226 . . 3
231, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 22fmul01lt1lem1 27671 . 2
245fveq1i 5721 . . 3
25 nfv 1629 . . . . . . . . 9
262, 25nfan 1846 . . . . . . . 8
27 nfcv 2571 . . . . . . . . . 10
281, 27nffv 5727 . . . . . . . . 9
2928nfel1 2581 . . . . . . . 8
3026, 29nfim 1832 . . . . . . 7
31 eleq1 2495 . . . . . . . . 9
3231anbi2d 685 . . . . . . . 8
33 fveq2 5720 . . . . . . . . 9
3433eleq1d 2501 . . . . . . . 8
3532, 34imbi12d 312 . . . . . . 7
3630, 35, 10chvar 1968 . . . . . 6
37 remulcl 9067 . . . . . . 7
3837adantl 453 . . . . . 6
398, 36, 38seqcl 11335 . . . . 5
4039adantr 452 . . . 4
41 fmul01lt1lem2.10 . . . . . . 7
42 elfzuz3 11048 . . . . . . 7
4341, 42syl 16 . . . . . 6
44 nfv 1629 . . . . . . . . 9
452, 44nfan 1846 . . . . . . . 8
4645, 29nfim 1832 . . . . . . 7
47 eleq1 2495 . . . . . . . . 9
4847anbi2d 685 . . . . . . . 8
4948, 34imbi12d 312 . . . . . . 7
506adantr 452 . . . . . . . . . 10
51 eluzelz 10488 . . . . . . . . . . . 12
528, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11
5352adantr 452 . . . . . . . . . 10
54 elfzelz 11051 . . . . . . . . . . 11
5554adantl 453 . . . . . . . . . 10
5650, 53, 553jca 1134 . . . . . . . . 9
576zred 10367 . . . . . . . . . . . 12
5857adantr 452 . . . . . . . . . . 11
59 elfzelz 11051 . . . . . . . . . . . . . 14
6041, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
6160zred 10367 . . . . . . . . . . . 12
6261adantr 452 . . . . . . . . . . 11
6354zred 10367 . . . . . . . . . . . 12
6463adantl 453 . . . . . . . . . . 11
65 elfzle1 11052 . . . . . . . . . . . . 13
6641, 65syl 16 . . . . . . . . . . . 12
6766adantr 452 . . . . . . . . . . 11
68 elfzle1 11052 . . . . . . . . . . . 12
6968adantl 453 . . . . . . . . . . 11
7058, 62, 64, 67, 69letrd 9219 . . . . . . . . . 10
71 elfzle2 11053 . . . . . . . . . . 11
7271adantl 453 . . . . . . . . . 10
7370, 72jca 519 . . . . . . . . 9
74 elfz2 11042 . . . . . . . . 9
7556, 73, 74sylanbrc 646 . . . . . . . 8
7675, 10syldan 457 . . . . . . 7
7746, 49, 76chvar 1968 . . . . . 6
7843, 77, 38seqcl 11335 . . . . 5
7978adantr 452 . . . 4
8016rpred 10640 . . . . 5
8180adantr 452 . . . 4
82 remulcl 9067 . . . . . . . . 9
8382adantl 453 . . . . . . . 8
84 simp1 957 . . . . . . . . . . 11
8584recnd 9106 . . . . . . . . . 10
86 simp2 958 . . . . . . . . . . 11
8786recnd 9106 . . . . . . . . . 10
88 simp3 959 . . . . . . . . . . 11
8988recnd 9106 . . . . . . . . . 10
9085, 87, 89mulassd 9103 . . . . . . . . 9
9190adantl 453 . . . . . . . 8
9260zcnd 10368 . . . . . . . . . . . 12
93 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . . . 13
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
9592, 94npcand 9407 . . . . . . . . . . 11
9695fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10
9743, 96eleqtrrd 2512 . . . . . . . . 9
9897adantr 452 . . . . . . . 8
996adantr 452 . . . . . . . . 9
10060adantr 452 . . . . . . . . . 10
101 1z 10303 . . . . . . . . . . 11
102101a1i 11 . . . . . . . . . 10
103100, 102zsubcld 10372 . . . . . . . . 9
104 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12
105 eqcom 2437 . . . . . . . . . . . 12
106104, 105sylnib 296 . . . . . . . . . . 11
10757, 61leloed 9208 . . . . . . . . . . . . 13
10866, 107mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12
109108adantr 452 . . . . . . . . . . 11
110 orel2 373 . . . . . . . . . . 11
111106, 109, 110sylc 58 . . . . . . . . . 10
112 zltlem1 10320 . . . . . . . . . . . 12
1136, 60, 112syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
114113adantr 452 . . . . . . . . . 10
115111, 114mpbid 202 . . . . . . . . 9
116 eluz2 10486 . . . . . . . . 9
11799, 103, 115, 116syl3anbrc 1138 . . . . . . . 8
118 nfv 1629 . . . . . . . . . . . 12
1192, 118nfan 1846 . . . . . . . . . . 11
120119, 25nfan 1846 . . . . . . . . . 10
121120, 29nfim 1832 . . . . . . . . 9
12231anbi2d 685 . . . . . . . . . 10
123122, 34imbi12d 312 . . . . . . . . 9
12410adantlr 696 . . . . . . . . 9
125121, 123, 124chvar 1968 . . . . . . . 8
12683, 91, 98, 117, 125seqsplit 11348 . . . . . . 7
12795adantr 452 . . . . . . . . . 10
128127seqeq1d 11321 . . . . . . . . 9
129128fveq1d 5722 . . . . . . . 8
130129oveq2d 6089 . . . . . . 7
131126, 130eqtrd 2467 . . . . . 6
132 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11
133119, 132nfan 1846 . . . . . . . . . 10
134133, 29nfim 1832 . . . . . . . . 9
135 eleq1 2495 . . . . . . . . . . 11
136135anbi2d 685 . . . . . . . . . 10
137136, 34imbi12d 312 . . . . . . . . 9
1386adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
13952adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
140 elfzelz 11051 . . . . . . . . . . . . . 14
141140adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
142138, 139, 1413jca 1134 . . . . . . . . . . . 12
143 elfzle1 11052 . . . . . . . . . . . . . 14
144143adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
145140zred 10367 . . . . . . . . . . . . . . 15
146145adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
14761adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
14852zred 10367 . . . . . . . . . . . . . . 15
149148adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
150 1re 9082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15261, 151resubcld 9457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
153152adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
154 elfzle2 11053 . . . . . . . . . . . . . . . 16
155154adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
15661lem1d 9936 . . . . . . . . . . . . . . . 16
157156adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
158146, 153, 147, 155, 157letrd 9219 . . . . . . . . . . . . . 14
159 elfzle2 11053 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16041, 159syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
161160adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
162146, 147, 149, 158, 161letrd 9219 . . . . . . . . . . . . 13
163144, 162jca 519 . . . . . . . . . . . 12
164142, 163, 74sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11
165164, 10syldan 457 . . . . . . . . . 10
166165adantlr 696 . . . . . . . . 9
167134, 137, 166chvar 1968 . . . . . . . 8
16837adantl 453 . . . . . . . 8
169117, 167, 168seqcl 11335 . . . . . . 7
170150a1i 11 . . . . . . 7
171 eqid 2435 . . . . . . . . 9
17243adantr 452 . . . . . . . . 9
173 eluzfz2 11057 . . . . . . . . . . 11
17443, 173syl 16 . . . . . . . . . 10
175174adantr 452 . . . . . . . . 9
17676adantlr 696 . . . . . . . . 9
17775, 12syldan 457 . . . . . . . . . 10
178177adantlr 696 . . . . . . . . 9
17975, 14syldan 457 . . . . . . . . . 10
180179adantlr 696 . . . . . . . . 9
1811, 119, 171, 100, 172, 175, 176, 178, 180fmul01 27667 . . . . . . . 8
182181simpld 446 . . . . . . 7
183 eqid 2435 . . . . . . . . 9
1848adantr 452 . . . . . . . . 9
185101a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
18660, 185zsubcld 10372 . . . . . . . . . . . 12
1876, 52, 1863jca 1134 . . . . . . . . . . 11
188187adantr 452 . . . . . . . . . 10
189152, 61, 1483jca 1134 . . . . . . . . . . . . 13
190189adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
19161adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
192191lem1d 9936 . . . . . . . . . . . . 13
193160adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
194192, 193jca 519 . . . . . . . . . . . 12
195 letr 9159 . . . . . . . . . . . 12
196190, 194, 195sylc 58 . . . . . . . . . . 11
197115, 196jca 519 . . . . . . . . . 10
198 elfz2 11042 . . . . . . . . . 10
199188, 197, 198sylanbrc 646 . . . . . . . . 9
20012adantlr 696 . . . . . . . . 9
20114adantlr 696 . . . . . . . . 9
2021, 119, 183, 99, 184, 199, 124, 200, 201fmul01 27667 . . . . . . . 8
203202simprd 450 . . . . . . 7
204169, 170, 79, 182, 203lemul1ad 9942 . . . . . 6
205131, 204eqbrtrd 4224 . . . . 5
20679recnd 9106 . . . . . 6
207206mulid2d 9098 . . . . 5
208205, 207breqtrd 4228 . . . 4
2091, 2, 171, 60, 43, 76, 177, 179, 16, 20fmul01lt1lem1 27671 . . . . 5
210209adantr 452 . . . 4
21140, 79, 81, 208, 210lelttrd 9220 . . 3
21224, 211syl5eqbr 4237 . 2
21323, 212pm2.61dan 767 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936  wnf 1553   wceq 1652   wcel 1725  wnfc 2558   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmul 8987   clt 9112   cle 9113   cmin 9283  cz 10274  cuz 10480  crp 10604  cfz 11035   cseq 11315 This theorem is referenced by:  fmul01lt1  27673 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316
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